tif.
Les observations que nous avons faites sur les r´esultats num´eriques que nous avons obtenus sur les valeurs propres de l’Hamiltonien effectif Hef f ne sont pas en d´esaccords
avec celle faites par d’autre travaux [26][77][25][35], cependant les interpr´etations `a faires sur les diff´erences de comportements des valeurs propres entre les diff´erents r´egimes (di- lu´es, spatialement et optiquement dense, taille inf´erieure `a la longueur d’onde λ) sont `a consid´erer avec prudence.
D’une mani`ere g´en´erale nous avons vu que l’influence des termes de champ proche, pr´esents dans le cas vectoriel, donnait lieu `a des diff´erences drastiques entre ce dernier et le cas scalaire lorsque nous consid´erions des milieux denses. L’apparition de modes aux longs temps de vies dans le cas scalaire et absent dans le cas scalaire, o`u les modes aux
des largeurs des modes doivent ˆetre effectu´ees avec prudence dans les syst`eme que nous ´etudions, o`u l’influence des interactions longues port´ees est non n´egligeable. L’´etude des comportement asymptotiques des largeurs des modes nous a aussi permis de voir que le physique des ´etats ayant les temps de vies les plus courts (dont les largeurs sont les plus grandes) ´etaient domin´es par les effets coop´eratifs d´ependant donc de l’´epaisseur optique b0 alors que ceux qui avaient les temps de vie les plus longs (dont la largeur est tr`es petite
devant celle de l’atome unique Γat ≪ Γ0) ´etaient majoritairement domin´es par les paires
sousradiantes coop´eratives `a l’exception des milieux denses dans le cas scalaire dont les largeurs moyenne minimum pr´esentent de singuli`eres d´eviations avec le comportement pr´edit pour les paires.
L’´etude des distributions des positions des modes P (Eat) nous a permis de voir un
changement de forme de ces derni`eres entre les r´egimes denses et dilu´es mais la consid´e- rations des distributions des ´ecarts entre niveaux d’´energies cons´ecutifs P (∆Eat) ne nous
a pas permis de mettre en ´evidence un changement de comportement drastique entre les deux r´egimes dans le mesure o`u il n’y a jamais de r´epulsions entre les positions des modes et ce que ce soit dans le cas scalaire ou vectoriel.
Apr`es s’ˆetre affranchis des ´etats associ´es aux paires coop´eratives d’atomes, les consi- d´erations des distributions des distances plus proches voisins dans le plan complexe P (s) nous a permis de constater un changement de comportement entre les milieux optique- ment denses et dilu´ees domin´e par les effets coop´eratifs, dans le mesure o`u la formes des distributions P (s) ne d´epend uniquement que de l’´epaisseur optique b0. N’ayant pas
malheureusement les comportements asymptotiques de ces distributions dans les r´egimes denses nous ne sommes pas en mesure de faire une analyse d’´echelle afin de voir si ce changement de comportement est li´e `a une transition de phase.
Enfin l’´etude de recouvrement entre les modes nous donne un r´esultat surprenant lorsque l’on consid`ere la quantit´e assimil´ee parfois au nombre de Thouless g dans le sens o`u l’on observe un changement de comportement drastique de l’´evolution de cette der- ni`ere en fonction de la taille du syst`eme k0L lorsque l’on consid`ere des syst`emes dont la
densit´e spatiale de diffuseurs est sup´erieure `a ρλ3 = 26.35. Tout laisserait `a penser que ce changement de comportement est le signature de la transition d’Anderson mais sa per- sistance dans la limite de Dicke, o`u la taille du syst`eme est bien inf´erieure `a la longueur d’onde (L < λ), et un comportement similaire observ´e dans la situation consid´erant des syst`emes parfaitement ordonn´es (r´eseau cubique) nous empˆechent `a ce stade d’affirmer que ce changement de comportement est reli´e `a la transition M´etal-Isolant pr´evue dans le contexte de la th´eorie sur la localisation d’Anderson.
ayant lieu dans le cas scalaire et absent dans le cas vectoriel entre les r´egimes spatialement dilu´es et denses. Il est encore difficile `a ce stade de relier ce changement `a une transition de phase et bien mˆeme d’affirmer qu’il ne peut jamais avoir lieu dans le cas vectoriel : le cas que nous consid´erons suppose un d´esordre dans les orientations relatives des dipˆoles atomiques ce qui peut ˆetre n´eglig´e th´eoriquement comme l’on fait les ´etudes [21,53][155] et aussi affranchit de mani`ere exp´erimentale. D’autre processus physiques pourraient aussi permettre d’introduire un d´esordre diagonal `a l’Hamiltonien effectif que nous consid´erons tout comme l’ajout d’un faisceau incident provoquant un d´eplacement lumineux ou encore celui d’un gradient de champ magn´etique levant la d´eg´en´erescence Zeeman dans le cas vectoriel.
2
Etude des ´´
etats propres du Hamiltonien effectif.
Apr`es avoir consid´er´e les valeurs propres du Hamiltonien effectif dans les cas scalaire et vectoriel nous nous int´eressons dans cette section `a ses vecteurs propres afin d’obtenir des indications sur les m´ecanismes `a l’origine de la localisation du photon dans un ensemble de dipˆoles ponctuels plac´es de mani`ere al´eatoire dans un syst`eme `a 3 dimensions spatiales. L’id´ee principale ´etant que, malgr´e le fait que les valeurs propres de l’Hamiltonien effectif Hef f soient reli´ees aux ´etats propres, il est tout `a fait possible que dans la situation
particuli`ere que nous consid´erons, l’information sur une localisation du photon caus´ee par le d´esordre soit contenue dans les ´etats propres et non pas dans les valeurs propres du Hamiltonien effectif. Pour cela nous consid´ererons dans un premier temps une quantit´e fr´equemment utilis´ee dans le contexte de travaux men´es sur la localisation d’Anderson qui est le taux de participation du mode (le P R (Participation Ratio)) ou son inverse (l’IP R (Inverse Participation Ratio)). Cette quantit´e, si l’espace de Hilbert dans lequel on la consid`ere est la base canonique r´eelle, peut ˆetre directement proportionnelle au volume spatial du mode, plus pr´ecis´ement au nombre de sites participant `a l’´etat d’excitation collective.