Apr`es avoir explicit´e et discut´e des approximations du Hamiltonien mati`ere rayonne- ment que nous consid´erons, dans cette section nous allons d´eriver le Hamiltonien effectif, qui est le point de d´epart de notre ´etude num´erique. L’id´ee principale ´etant de s’affranchir tout d’abord des variables correspondant au champ afin de ne consid´erer que les celles qui sont reli´ees aux atomes. Affirmer que les ´etats propres du Hamiltonien effectif repr´esentent les ´etats atomiques est une id´ee erron´ee, cependant la consid´eration de ces ´etats propres peut nous amener une information int´eressante sur la perturbation qu’induit le couplage entre le champ et la mati`ere sur les niveaux atomiques.
Commen¸cons tout d’abord par r´esoudre les ´equations d’´evolutions des op´erateurs reli´es au champ, qui sont les op´erateurs cr´eation et annihilation. L’´equation d’´evolution de l’op´erateur annihilation en repr´esentation de Heisenberg s’´ecrit :
dakˆε dt = 1 i~[akˆε, H] = −iωkakεˆ(t) + N X j=1 r ωk 2ǫ0V~ Dj(t)ˆε∗e−ik.rj (2.76)
Afin d’obtenir cette expression il faut utiliser la relation de commutation [akεˆ, a†k′ˆε′] =
δ(k− k′)δεˆˆε′ et la relation [A, BC] = [A, B]C + B[A, C]. La solution de l’´equation (2.76)
peut s’´ecrire de mani`ere formelle telle que : akεˆ(t) = e−iωktakεˆ(0) + 1 ~ Z t 0 dt′ N X j=1 r ~ωk 2ǫ0V Dj(t− τ)ˆε∗e−ikrje−iωkτ (2.77)
avec τ = t−t′. Le premier terme de cette ´equation est reli´e au champ libre en l’absence de sources et le deuxi`eme terme est reli´e au champ source ´emis par les atomes. En r´einjectant le terme correspondant au champ source dans l’expression du champ ´electrique transverse au point ri (eq. (2.73)) on obtient l’expression :
E(ri, t) = 1 ~ X j X k,ˆε Z t 0 dτ ~ωk 2ǫ0V
iDj(t− τ)eik.(ri−rj)e−iωkτεˆˆε∗+ h.c
(2.78) Il faut noter que par cette m´ethode on s’est affranchis des op´erateurs correspondant au champ (op´erateurs cr´eation et annihilation) et que l’op´erateur champ transverse ne contient plus que des op´erateurs atomiques.
Afin d’obtenir l’expression du Hamiltonien effectif nous allons utiliser la m´ethode de la r´esolvante. Cette m´ethode fr´equemment utilis´e dans les probl`emes `a N corps a ´et´e
vide. L’espace de Hilbert E peut ´egalement ˆetre d´ecompos´e en deux autre sous espaces l’un correspondant `a la situation o`u le photon est absorb´e par un atome, d´ecrit par l’´etat |Eαii = |gg...eiα...gi ⊗ |0i et l’autre correspondant `a la situation o`u tous les atomes sont
dans leur ´etats fondamental |Gi = |gg...g...gi ⊗ |k, ˆεi. En introduisant les projecteurs P et Q sur ces deux derniers sous espaces tels que :
P|Eαii = |Eαii, P |Gi = 0 (2.79) Q|Ei
αi = 0, Q|Gi = |Gi (2.80)
on peut d´esormais s’int´eresser `a l’amplitude de transition entre un ´etat|ΨIi o`u l’excitation est dans le nuage, appartenant par cons´equent `a l’espace de Hilbert d´ecrivant les ´etats excit´es atomique EA, et un autre ´etat |ΨFi appartenant au mˆeme sous espace de Hilbert.
Pour cela il faut calculer l’´el´ement de matrice TIF =hΨF|T |ΨIi de l’op´erateur T tel que
T = V + V GV . En se servant des projecteurs d´efinis `a l’´equation (2.80) on peut exprimer l’´el´ement de matrice TIF tel que :
TIF =hΨF|(V + V G(EI + iη)V )|ΨIi = hΨF|(V + V P G(EI + iη)P V )|ΨIi (2.81)
η ´etant une quantit´e r´eelle et positive que l’on fera tendre vers 0 `a la fin du calcul et EI =
~ω0 (on consid`ere que le photon incident est `a r´esonance). En introduisant l’op´erateur d´eplacement R(z) tel que :
R(z) = V + Q z− QH0Q− QV Q (2.82) et en se servant de la d´efinition [34] : P G(EI + iη)P = P EI + iη− Hef f (2.83) avec Hef f = P H0P + P R(z)P , on peut d´esormais expliciter les ´el´ements de matrice de
l’op´erateur d´eplacement et par cons´equent ceux du Hamiltonien effectif. En utilisant l’ex- pression pr´ec´edemment obtenue pour l’op´erateur champ ´electrique `a l’´equation (2.78) dans la d´efinition du Hamiltonien d’interaction V , et en se servant du fait que les op´erateurs P et Q sont des projecteurs sur deux sous espaces compl´ementaires tels que P2 = P , Q2 = Q et Q = 1− P , l’´el´ement de matrice de l’op´erateur d´eplacement peut s’expliciter sous la forme : hEαj′|R(z)|E i αi = d2 2ǫ0V X k,ˆε ~ωkεˆα.ˆεα′ eik.|ri−rj| z− ~ω0 (2.84)
Pour i = j cette expression se r´eduit `a un imaginaire pur correspondant `a la largeur naturelle de l’´etat excit´e Γ0 que l’on a exprim´e pour une transition Jg = 0→ Je= 1, telle
que :
hEi
α′|R(z)|Eαii = −i
~Γ0
2 δαα′ (2.85)
o`u la d´efinition de Γ0 est la mˆeme que celle donn´ee pr´ec´edemment `a l’´equation (2.32).
Il est `a noter que nous avons perdu l’information sur le d´eplacement de Lamb d’un seul atome, qui aurait ´et´e la partie r´eelle de l’expression pr´ec´edente, car nous avons l’avons incorpor´e `a la d´efinition de ω0.
Pour i6= j, en faisant l’approximation de Markov : hEi
α′|R(z)|Eαji = −i
~Γ0
2 gαα′(rij) (2.86) o`u rij = ri− rj repr´esente la distance entre les atomes i et j et gαα′(rij) est le potentiel
d’interaction obtenu dans le cas vectoriel `a la section 1.1 tel que4 : gαα′(rij) = 3 2 eik0rij k0rij −1 −k i 0rij + 1 (k0rij)2 δαα′ + 1 + 3i k0rij − 3 (k0rij)2 rαrα′ r2 (2.87)
avec rij = |ri − rj|. On peut donc expliciter au final un Hamiltonien effectif Hef f du
syst`eme, d´ecrivant sa relaxation dans les modes du vide, tel que Hef f = N X i=1 X α,α′ −i~Γ20δαα′ | eiαiheiα′ | +~Γ0 2 X i6=j X α,α′ gαα′(rij)| eiαihejα′ | (2.88)
Il est `a noter que contrairement `a d’autre ´etudes portant sur des effets de localisation d’Anderson [55][44][36][56], ce Hamiltonien d´ecrit un d´esordre totalement hors diagonal, et que l’interaction entre chaque paires d’atomes sera d´ecrite par une matrice 3× 3, un syst`eme contenant N atomes sera donc d´ecrit pas un Hamiltonien effectif de dimension 3N×3N. Les ´etats propres de ce Hamiltonien d´ecrivent l’excitation `a l’int´erieur du syst`eme coupl´ee aux diffuseurs, qui sont les atomes dans notre cas. Il faut aussi souligner l’absence d’un terme correspondant au champ incident, ce qui rend l’´equation (2.88) diff´erente des expressions obtenues pour des Hamiltoniens effectifs dans d’autres ´etudes sur l’interaction de la lumi`ere avec un nuage d’atomes [57][58]. Une remarque important est aussi de voir que ce Hamiltonien effectif est un op´erateur non hermitien. En effet ses valeurs propres Λi sont de la forme :
Λi = Ei− i
Γi
2 (2.89)
o`u Ei repr´esente la position en fr´equence de l’´etat propre |Ψii et Γi sa largeur, et il faut
admettre que pour des syst`emes contentant plus de N = 2 atomes ses ´etats propres sont g´en´eralement non orthogonaux (hΨj|Ψii 6= 0). Enfin il est utile de citer que ce Hamiltonien
4. Il est `a noter que l’approximation d’une diffusion quasi r´esonante (ω≃ ω0) a ´et´e faite afin d’obtenir
g(rij) =−
e 0
k0rij
(2.90)
ce terme de couplage repr´esente le potentiel d’interaction entre les atomes dans le cas scalaire et correspond aussi `a la matrice de Green qui a ´et´e d´eriv´ee au d´ebut de ce chapitre `a l’´equation (2.12).
Les identit´es utilis´ees et les discussions sur les diff´erentes approximations (Born-Markov, Approximation de l’Onde tournante,...) afin d’obtenir l’Hamiltonien effectif dans les cas scalaires et vectoriel se trouvent dans l’AnnexeA o`u nous d´erivons `a partir de l’Hamilto- nien d’interaction mati`ere rayonnement l’´equation sur les dipˆoles coupl´es. Il est ´egalement important de souligner que les effets de retards, li´es au temps de propagation du photon entre deux ´ev`enements cons´ecutifs d’absorption r´e´emmission par deux atomes diff´erents, ont ´et´e n´eglig´es. Certains travaux [23] se sont pench´es sur les cons´equences de telles ap- proximations dans une situation d´ecrivant deux atomes coupl´es via un champ vectoriel.
Il est int´eressant de noter que certaines ´etudes admettent que les effets de localisation de la lumi`ere sont majoritairement caus´es par un d´esordre radial plutˆot que par un d´esordre angulaire [15]. En effet l’expression d´ecrite `a l’´equation (2.90) pr´esente une invariance par rotation et ne consid`ere qu’un d´esordre purement radial, ce qui n’est pas le cas de l’´equation (2.87) qui, avant d’ˆetre moyenn´ee sur les orientations des paires d’atomes, pr´esente `a la fois un d´esordre radial et un d´esordre angulaire. Cependant mˆeme si nous verrons par la suite que ne consid´erer qu’un d´esordre radial favorise certains effets que l’on pourrait qualifier de localisation du photon `a l’int´erieur du nuage, il n’est pas ´evident de pr´edire `a priori que les effets de localisation sont principalement dus `a un d´esordre radial.
Enfin il est important de souligner qu’au mˆeme titre que les ´equations (2.12) et (2.29), qui ont ´et´e d´eriv´ees de mani`eres classique, les op´erateurs correspondant le Hamiltonien effectif dans les cas scalaires (eq. (2.90)) et vectoriel (eq. (2.87)) appartiennent eux aussi `a la grande famille des Matrices Al´eatoires Euclidiennes. Les spectres de ces matrices d´esordonn´es, ´etudi´ees depuis les ann´ees 1960 dans de nombreux domaines diff´erents de la physique, peuvent pr´esenter des propri´et´es remarquables dans certains cas limites no- tamment pour des op´erateurs hermitiens. Avant de pr´esenter nos r´esultats num´eriques, il est donc utile de faire un bref rappel des ´el´ements th´eoriques qui ont ´et´e ´elabor´es afin de d´ecrire les comportements des valeurs propres des Matrices Al´eatoire Euclidiennes en g´en´eral et de faire un bref ´etat de l’art sur les travaux th´eoriques portant sur l’´etude des effets coop´eratifs et de la localisation d’Anderson de la lumi`ere.
LUMI`ERE ET EFFETS COOP´ERATIFS.
3
Matrices al´eatoires euclidiennes, localisation d’An-
derson de la lumi`ere et Effets coop´eratifs.
Cette section a pour but de faire un ´etat de l’art sur les travaux th´eoriques, ´elabor´es par d’autres ´equipes et inscrits dans le contexte des recherches men´ees au cours de ce travail de th`ese, que ce soit dans le domaine de la localisation d’Anderson de la lumi`ere, de l’´etude des effets coop´eratifs, ou encore des propri´et´es math´ematiques des Matrices Al´eatoires Euclidiennes non hermitiennes, qui composent l’ensemble d’objets math´ematiques auquel appartient l’Hamiltonien effectif que nous avons pr´ec´edemment d´eriv´e.
Cette partie n’a aucunement la pr´etention d’amener des ´el´ements de recherche nouveaux dans le cadre des travaux portant sur les effets coop´eratifs et la localisation d’Anderson mais plutˆot d’effectuer un bref rappel sur les concepts fondamentaux ´etablis dans chaque domaines afin de justifier certains approches que nous effectuerons lors de notre ´etudes num´erique des ´etats propres de l’Hamiltonien effectif. En effet comme nous avons pu l’´evoquer pr´ec´edemment, le support math´ematique, qui est l’Hamiltonien effectif, utilis´e afin de mener notre ´etude num´erique sur les effets coop´eratifs et la localisation d’Anderson, n’est pas commun´ement utilis´e afin d’´etudier ces ph´enom`enes physiques. C’est pourquoi il est important de souligner les analogies mais aussi les diff´erences fondamentales existantes entre le mod`eles que nous consid´erons et les autre mod`eles utilis´es pour ´etudier les effets de localisation fortes due au d´esordre et les effets coop´eratifs li´e `a la synchronisation des dipˆoles atomiques.
Dans un premier temps nous allons rappeler certaines propri´et´es g´en´erales de Matrices Al´eatoires Euclidiennes qui nous seront utiles lors de notre ´etude num´erique, nous discute- rons par la suites des diff´erents travaux qui ont ´et´e r´ealis´es sur la localisation d’Anderson pour des ondes ´electromagn´etique notamment pour la lumi`ere et nous discuterons des difficult´es que comprennent les travaux ´etudiants les effets li´es au d´esordres tout en consi- d´erant des interactions longues port´ees. Nous pr´esenterons ensuite certains travaux qui ont ´et´e men´es sur les effets coop´eratifs et les diff´erents mod`eles utilis´es pour les ´etudier.