La rotation mod´er´ee

En comparant les graphiques repr´esentant les diff´erences de fr´equences sans les corrections de d´eg´en´erescence avec ceux les incluant, on remarque que la correction permet de r´eduire drastiquement les diff´erences entre les fr´equences issues du calcul complet et celles issues du calcul perturbatif. En effet, pour les modes ℓ = 0 (deux graphiques du haut de la Fig. 3.3), la correction permet de passer d’une erreur maximale pour l’ensemble des modes de 16 µHz `a une erreur de 10 µHz. Pour les modes ℓ = 1 (deux graphiques du bas de la Fig. 3.3), c’est encore plus spectaculaire. La correction de la d´eg´en´erescence permet de r´eduire l’erreur sur les fr´equences d’un facteur 2 (de 10 µHz `a 5 µHz).

Toujours d’apr`es cette Figure 3.3, on peut ´etablir qu’en l’absence de correction de la d´eg´en´erescence, la m´ethode perturbative d’ordre 2 n’est plus valide au del`a de 5%Ωk si l’on accepte une erreur de l’ordre des barres d’erreur CoRoT pour un long run, la validit´e est ´etendue `a 10%Ωk pour un short run. Ces domaines de validit´e sont ´equivalents pour les modes ℓ = 0 et ℓ = 1. Ces valeurs semblent confirmer les domaines ´etablis dans Burke et al. (2011). Si l’on inclut la correction sur la d´eg´en´erescence accidentelle, le domaine de validit´e correspondant aux barres d’erreur pour un long run n’est pas am´elior´e, tandis pour les barres d’erreur correspondant au short run, le domaine de validit´e semble s’´etendre `a environ 12%Ωk.

On peut n´eanmoins questionner la pertinence de cette m´ethode d’´evaluation des domaines de validit´e par comparaison avec les barres d’erreur observationnelles. En ef-fet, une autre mani`ere d’´evaluer la validit´e de l’approche perturbative serait d’´etudier l’impact des approximations sur une mesure de la rotation `a partir du splitting ro-tationnel. Ceci fera l’objet de futurs travaux de comparaison, utilisant par ailleurs le code d’oscillation non perturbatif bidimensionnel ACOR qui est pr´esent´e dans le second volet de cette th`ese.

3.4 La rotation mod´er´ee

Lorsque la rotation est mod´er´ee, dans le d´eveloppement perturbatif des fr´equences en puissance de la vitesse angulaire de rotation, l’ordre 3 peut s’av´erer important, en particulier pour les calculs de splittings, qui impliquent des diff´erences de fr´equences. On s’int´eresse ici `a la m´ethode perturbative d’ordre cubique, telle qu’elle a ´et´e d´evelopp´ee par Soufi et al. (1998). Remarquons qu’avec les m´ethodes classiques de th´eories pertur-batives, comme d´evelopp´ees `a la section pr´ec´edente, il est `a chaque fois n´ecessaire de calculer les fonctions propres `a l’ordre n pour d´eriver les fr´equences propres `a l’ordre n+1. Soufi et al. (1998) ont d´evelopp´e une m´ethode astucieuse, selon laquelle il est possible de construire un syst`eme d’ordre≪pseudo-z´ero≫qui contient une partie de la contribution de la force de Coriolis d’ordre 1. De cette mani`ere, il n’est pas n´ecessaire de calculer les fonctions propres du syst`eme `a l’ordre 2 pour trouver les corrections d’ordre 3 sur les fr´equences propres. En ce qui concerne la prise en compte de la d´eformation centrifuge, on proc`ede de la mˆeme mani`ere que pour la m´ethode perturbative d’or-dre 2 : la partie `a sym´etrie sph´erique de la d´eformation centrifuge est incluse dans le syst`eme `a travers la gravit´e effective, et on calcule la partie non sph´erique en r´esolvant l’´equilibre hydrostatique et l’´equation de Poisson pour le potentiel gravitationnel. On peut alors d´eriver les quantit´es ˜p0, ˜ρ0, ˜Φ0, ainsi que p22, ρ22 et Φ22.

Chapitre 3. Rotation faible : Approches perturbatives 53 L’´equation de mouvement (3.1) est alors mise sous la forme :

L→− ξ = (Z + ǫ F) ^−→ξ + ǫ² (D + ǫ C) ^−→ξ + O(ǫ⁴) = 0 (3.37) avec Z = L0 − ˜ρ0σ˜² F = 2 ˜ρ₀Ω ˜σ Km D = L2 − ρ22σ˜2 C = 2 ρ22Ω ˜σ Km (3.38)

On rappelle l’usage de ˜σ = σ + mΩ. L0, L2, et Km ayant la mˆeme signification qu’`a la section pr´ec´edente. Z repr´esente l’op´erateur lin´eaire d’oscillation qui subsiste sans rotation (pour ˜σ = σ), l’op´erateur F correspond `a l’effet de la force de Coriolis, les deux derniers op´erateurs sont dus au fait que les oscillations ne se font pas autour d’un ´etat d’´equilibre sph´erique, mais autour d’un ´etat sph´ero¨ıdal aplati, ce qui provoque une d´eformation de la structure (qui g´en`ere D), ainsi qu’une modification de l’acc´el´eration de Coriolis (C). On suppose un d´eveloppement des fr´equences propres et fonctions propres comme suit : on rappelle que ǫ = Ω R3/2/ (GM)1/2,

~

ξ = ~ξ0 + ǫ^2~ξc + O(ǫ⁴) σ = σ0 + ǫ²σc + O(ǫ⁴) (3.39) Dans lesquels l’ordre 1 (en ǫ) et l’ordre 1 (en ǫ3) sont respectivement contenus im-plicitement dans l’ordre ≪ pseudo-z´ero≫, et ≪pseudo-deux ≫. Ainsi, les op´erateurs Z, F, D et C peuvent ´egalement se d´ecomposer en contributions ≪pseudo-z´ero≫, et

≪pseudo-deux≫. En ne conservant que les contributions d’ordre inf´erieur `a 4, l’´equation d’oscillation devient alors :

L−→_{ξ = L}

0−→_ξ

0 + ǫ²[− 2 σcZI + (D0 + ǫ C0)]−→_ξ

0 + ǫ²L0−→_ξ

c + O(ǫ⁴) = 0 (3.40) O`u les indices 0 pour les op´erateurs correspondent aux op´erateurs exprim´es dans (3.38) pour lesquels ˜σ = σ0. On d´efinit ´egalement Z0 + F0 = L0, et Zc + Fc = − 2 σcZI.

3.4.1 R´esolution du probl`eme `a l’ordre

pseudo-z´ero

Nous supposons, pour les fonctions propres du syst`eme `a l’ordre ≪pseudo-z´ero≫, un d´eveloppement du mˆeme type que celui effectu´e dans (3.6) en une partie polo¨ıdale, et une partie toro¨ıdale :

~ ξ0 = ~ξp0 + ǫ ~ξt1 (3.41) o`u ^~ξ_p0 = +∞ X ℓ≥|m|  r y_ℓ(r) Ym ℓ (θ, ϕ) −→_{er + r zℓ(r)}^−→_∇hYm ℓ  ~ ξ_t1 = +∞ X ℓ≥|m| ¯ Ω ˜ σ ^{rτℓ(r) −}→_{er ×}^−→_∇hYm ℓ

54 3.4. La rotation mod´er´ee On consid`ere comme fonctions propres d’ordre≪pseudo-z´ero≫ les solutions du syt`eme d’´equations : h L₀−→_ξ p0 i pol = −→_{0 (3.42)} h L0−→ ξ 0 + ǫ²D0−→ ξp0 i tor = −→₀

Le reste des contributions sera alors consid´er´e comme une perturbation de ce syst`eme. Les indices ≪pol≫ et ≪tor ≫ correspondent `a prendre la composante polo¨ıdale ou toro¨ıdale de l’expression entre crochets. On obtient alors des fonctions propres qui se d´ecomposent sur les harmoniques sph´eriques comme :

~ ξp0 = r ^yℓ(r) Y^m_ℓ (θ, ϕ) −→_{er + zℓ(r)}^−→_∇hYm ℓ  (3.43) ~ ξ_t1 = r ^Ω¯ ˜ σ0  τ_ℓ+1(r) −→_{er × ˜∇hY}m ℓ+1 + ˜τ_ℓ−1(r) −→_{er ×}^−→_∇hYm ℓ−1 

O`u y, z, τ et ˜τ sont obtenus en r´esolvant le syst`eme (3.42). la relation d’orthogonalit´e des fonctions propres n’implique que leur partie polo¨ıdale :

Z ~

ξp0,i [ ˜ρ0(˜σ0,i + ˜σ0,k) − 2 Ω Km] ~ξp0,kd³r = 2 σ_0,k⁽⁰⁾I δi,k (3.44) Ici, I est le moment oscillatoire polo¨ıdal : Ik = R

˜ ρ0_ξ˜∗

p0,i_ξ˜_p0,kd3r. Par ailleurs (3.44) permet de d´eriver σ⁽⁰⁾_0,k lorsque i = k, qui peut ˆetre assimil´ee comme ´etant la v´eritable contribution d’ordre z´ero `a la fr´equence propre d’ordre ≪pseudo-z´ero≫. La r´esolution du syst`eme (3.42) permet ´egalement de trouver la fr´equence propre totale `a l’ordre

≪pseudo-z´ero≫, que l’on peut r´e´ecrire :

σ0,k = σ_0,k⁽⁰⁾ + m ¯Ω (1 − Cn,ℓ − Jn,ℓ) + O(ǫ²) (3.45) O`u σ_0,k⁽⁰⁾ est la fr´equence propre en l’absence de rotation.

3.4.2 Correction perturbative des fr´equences propres

Le choix du syst`eme d’ordre≪pseudo-z´ero≫`a r´esoudre ne permet pas de consid´erer que l’on a L0−→_ξ

0 = 0. C’est-`a-dire que subsiste pour les fonctions propres trouv´ees pr´ec´edemment un terme que l’on notera T0, tel que : L0−→_ξ

0 = ǫ2T0−→_ξ

0. L’´equation d’oscillation (3.40) s’´ecrit alors :

L−→_{ξ = ǫ}2^hL0−→_ξ c − 2 σcZI−→_ξ 0 + (T0 + D0 + ǫ C0) −→_ξ 0 i + O(ǫ⁴) = 0 (3.46) Par ailleurs, on suppose que les corrections aux fonctions propres peuvent se d´ecomposer sur la base des fonctions propres de l’ordre ≪pseudo-z´ero≫. En projetant (3.46) sur cette base, on obtient :

1 2 I Z − → ξ0 L0−→ ξc d³r − σcσ⁽⁰⁾₀ + ^H 2 I ^{+ O(ǫ} 2) = 0 (3.47) avec H = Z − → ξ0 [T0 + D0 + ǫ C0]−→ ξ0d³r

Chapitre 3. Rotation faible : Approches perturbatives 55 Le premier terme de (3.47) peut ˆetre consid´er´e comme ´etant de l’ordre de ǫ2. En effet, L₀ est hermitique, et L₀ξ^˜₀ = ǫ2T0_ξ˜

0. On obtient alors la correction sur la fr´equence : σ_c = ^H

2 I σ₀^{(0) = σ}

T + σ^C + σ^D + O(ǫ⁴) (3.48)

Ainsi, au total, les fr´equences d’oscillation peuvent se noter :

σ = σ0 + ǫ²σc, (3.49)

o`u σ0 = σ₀⁽⁰⁾ + σ1 + σ₂^eigen + σ₃^eigen, et σc = σ₂^D + σ₂^T + σ₃^D + σ₃^T + σ₃^C.

O`u σ₂^eigen et σ₃^eigen sont inclus implicitement dans le terme O(ǫ2) de (3.45), tandis que σ2T et σ3T, sont les effets d’ordre 2 et 3 de l’acc´el´eration de Coriolis, σ2D et σ3D effets d’ordre 2 et 3 de la distorsion centrifuge, et σ3C couplage des deux effets, d’ordre 3.