Classification des modes

6.4.3 V´erification du comportement au centre . . . 113 6.5 Comparaison des fr´equences propres . . . 120 6.6 Un croisement ´evit´e . . . 122

Afin de valider notre approche des oscillations adiabatiques non radiales d’´etoiles en rotation, nous avons effectu´e un certain nombre de tests. Dans la courte revue pr´esent´ee en Section 1.4.3 du chapitre d’introduction, l’approche non perturbative de Reese et al. (2006) a ´et´e pr´esent´ee. Il s’agit d’une m´ethode spectrale bidimensionnelle qui permet de calculer les modes d’oscillation adiabatique de mod`eles polytropiques d´eform´es. L’effet de la force centrifuge ainsi que celui de la force de Coriolis ´etant pris en compte de mani`ere compl`ete. La qualit´e de leurs r´esultats a ´et´e confirm´ee par un test variationnel. Afin de valider notre approche j’ai donc tenu, dans un premier temps, `a comparer les r´esultats de nos calculs aux leurs. Pr´ecisons que les comparaisons peuvent ˆetre consid´er´ees comme ´etant tout `a fait fiables, car une collaboration ´etroite avec Daniel Reese a permis d’effectuer des comparaisons de calculs d’oscillation partant des mˆemes mod`eles d’´equilibre polytropiques. Pour des raisons de simplicit´e, les deux approches seront d´esign´ees par les acronymes ACOR (Adiabatic Code of Oscillation including Rotation) pour notre approche, et TOP (Two-dimensionnal Oscillation Program) pour celle de Reese et al. (2006).

110 6.1. Mod`eles d’´equilibre

6.1 Mod`eles d’´equilibre

Pour ces travaux de comparaison, nous avons utilis´e des mod`eles polytropiques bidimensionnels d’indice N = 3 en rotation uniforme tels qu’ils sont d´evelopp´es dans Reese et al. (2006). Un mod`ele polytropique d’´etoile est un mod`ele simplifi´e dans lequel on a introduit une relation ad hoc entre la densit´e et la pression. Ceci permet de calculer la structure acoustique du mod`ele sans avoir `a r´esoudre l’´equation r´egissant le transport de chaleur. Ces mod`eles satisfont aux relations suivantes :

P0 = Kρ^γ₀ (6.1) − → ∇P0 − ρ0−→ ∇  Φ0 − ¹ 2^Ω 2s²  = −→_{0 (6.2)} ∆Φ₀ = 4πGρ₀ (6.3)

La premi`ere relation est la relation polytropique, elle relie la pression d’´equilibre P0

`a la densit´e ρ<sub>0</sub> sans faire appel `a la temp´erature. Dans cette ´equation, K repr´esente la constante polytropique, γ l’exposant polytropique. Il est reli´e `a l’indice polytropique par γ = 1 + 1/N. La seconde ´equation est l’´equation d’´equilibre hydrostatique qui exprime l’´equilibre entre le gradient de pression et le gradient de potentiel total (gravitationnel Φ0 et centrifuge o`u s est la distance `a l’axe de rotation). La derni`ere ´equation est l’´equation de Poisson pour le potentiel gravitationnel. En introduisant une pseudo-enthalpie d´efinie par h₀ = R dP0/ρ₀ que l’on substitue `a ρ<sub>0</sub> et P<sub>0</sub>, on peut int´egrer ais´ement l’´equation de mouvement qui, inject´ee dans l’´equation de Poisson, r´eduit le probl`eme `a une ´equation diff´erentielle du second ordre. Le d´etail de la r´esolution peut ˆetre trouv´ee dans Rieutord et al. (2005).

6.2 Similitudes et diff´erences entre les deux approches

6.2.1 Similitudes

Comme Reese et al. (2006), nous avons choisi comme syst`eme de coordonn´ees spa-tiales les coordonn´ees sph´ero¨ıdales propos´ees par Bonazzola et al. (1998) qui a pour principe de base de diviser l’espace en domaines choisis de mani`ere `a ce que les discon-tinuit´es physiques soient situ´ees aux fronti`eres.

Nous adoptons ´egalement une approche spectrale pour les d´ependances angulaires des fonctions propres (Rieutord 1987) qui sont d´evelopp´ees sur une base d’harmoniques sph´eriques.

La condition aux limites impos´ee en surface correspond dans les deux approches `a une condition de surface libre, c’est-`a-dire que la perturbation lagrangienne de la pression tend vers z´ero en surface.

6.2.2 Diff´erences

Le choix de la base de vecteurs de l’espace physique diff`ere. Nous avons choisi une base orthogonale (voir Eq.4.4).

Chapitre 6. Validation : comparaison avec Reese et al. (2006) 111 Le choix des ´equations d´eriv´ees `a partir de l’´equation de mouvement est ´egalement diff´erent.

La discr´etisation du syst`eme diff´erentiel dans notre approche se fait au moyen d’une m´ethode de r´esolution par les diff´erences finies (Scuflaire et al. 2008), alors que Reese et al. (2006) effectuent un d´eveloppement spectral des coefficients radiaux f′

ℓ sur une base de polynˆomes de Tchebichev. Pour des mod`eles polytropiques, cette approche peut s’av´erer pertinente car les grandeurs de structures ne pr´esentent pas de vari-ations abruptes. On s’attend donc pour les fonctions propres `a des comportements radiaux lisses, de type polynomial. Pour des mod`eles plus r´ealistes, c’est-`a-dire non polytropiques, une r´esolution radiale par les diff´erences finies semble plus adapt´ee.

Les conditions aux limites impos´ees au centre dans l’approche TOP diff`erent de celles adopt´ees dans ACOR (voir Chap. 4 Sect. 4.4.1).

6.3 M´ethode de comparaison

Figure 6.1: Scheme of the comparison process between the two computations : the N=3 polytropic spectral equilibrium models used for TOP calculations are interpolated on a denser radial grid in order to be given in input to ACOR. The eigenfrequency computed by TOP is then taken as the target eigenvalue for frequency determination with ACOR.

Nous avons proc´ed´e de la mani`ere suivante : comme mod`ele d’´equilibre, TOP prend en entr´ee un mod`ele polytropique bidimensionnel calcul´e par la m´ethode d´ecrite en Sec-tion 6.1 dont les comportements radiaux sont d´ecompos´es sur une base de polynˆomes de Tchebichev. Ce mod`ele spectral est interpol´e sur une grille r´eguli`ere de points ra-diaux, puis plac´e en entr´ee de notre code. Pour la recherche des fr´equences propres par ACOR (rappelons que nous utilisons un sch´ema it´eratif), nous avons proc´ed´e a un suivi des modes en augmentant progressivement la rotation. Tout d’abord, pour les deux premi`eres vitesses de rotation, nous avons pris comme fr´equence cible la fr´equence propre d’un mode d’oscillation calcul´e par TOP puis, pour les vitesses de rotation suiv-antes, nous avons effectu´e une extrapolation lin´eaire de la fr´equence cible `a partir des fr´equences calcul´ees par ACOR pour les deux vitesses de rotation pr´ec´edentes. En pra-tique, la fr´equence cible σnpour le calcul des modes d’oscillation `a la vitesse de rotation Ωn, est calcul´ee par :

σn = σn−2 Ωn − Ωn−1 Ωn−2 − Ωn−1 + σn−1 Ωn−2 − Ωn Ωn−2 − Ωn−1

112 6.4. Comparaison des modes propres d’oscillation Cette interpolation lin´eaire peut sembler simpliste, mais `a l’observation de l’´evolution de la fr´equence avec la vitesse angulaire de rotation, elle semblera tout `a fait justifi´ee (cf Fig. 6.10). ´Etant donn´e la m´ethode de r´esolution du probl`eme aux valeurs propres dans ACOR, comme ´evoqu´e `a la section 5.2.1, l’algorithme d’it´eration inverse converge sur les fonctions propres du syst`eme lin´eaire, les valeurs propres correspondantes ´etant calcul´ees a posteriori par le rapport de Rayleigh. Une attention particuli`ere sera donc d’abord port´ee sur les comparaisons des fonctions propres d’oscillation issues des deux programmes.

Nous avons effectu´e des comparaisons de calculs d’oscillations pour des mod`eles polytropiques (d’indice 3) identiques pour des vitesses de rotation uniformes allant de 0 `a 80% de la vitesse k´eplerienne, et pour un ´echantillon de modes repr´esentatifs de l’ensemble des oscillations stellaires observ´ees : modes d’oscillation `a basse fr´equence, `a haute fr´equence, pairs ou impairs, et de bas degr´e angulaire.

6.4 Comparaison des modes propres d’oscillation

6.4.1 Classification des modes

Un des principaux effets de la rotation sur les modes d’oscillation stellaire est dˆu `a la d´eformation centrifuge qui induit une rupture de la sym´etrie sph´erique de la structure d’´equilibre. Contrairement au cas sans rotation, une seule harmonique sph´erique ne suffit plus `a d´ecrire le comportement angulaire des modes propres d’oscillation, on d´eveloppe alors les fonctions propres sur une somme d’harmoniques sph´eriques :

f^′(ζ, θ, ϕ) = ^X

|m|≤ℓ

f_ℓ^′(ζ) Y_ℓ^m(θ, ϕ) (6.4)

Les diff´erents termes du d´eveloppement sont coupl´es par l’interm´ediaire des termes non sph´eriques qui interviennent dans le syst`eme aux valeurs propres. `A faible rotation, les termes de d´egr´es angulaires diff´erents sont peu coupl´es, et le degr´e du coefficient dom-inant dans le d´eveloppement correspond au degr´e du mode en l’absence de rotation. Si l’on consid`ere des vitesses de rotation plus importantes, le couplage entre les diff´erents termes est plus fort, et le mode pr´esente des caract´eristiques angulaires mixtes, mettant en jeu plusieurs harmoniques sph´eriques de degr´es diff´erents. En g´en´eral, le caract`ere dominant est le mˆeme qu’`a basse vitesse de rotation, mais il peut arriver que le mode change de comportement angulaire dominant lors de croisements ´evit´es (ce ph´enom`ene est abord´e plus en d´etail en Section 6.6). Notons que ce couplage ne permet plus de parler de mode de degr´e donn´e ℓ, on parlera plutˆot de mode `a dominance ℓ.