Comme ´evoqu´e dans l’introduction de ce chapitre, le d´eveloppement du programme ACOR s’est fait avec la pr´eoccupation constante d’une mise en œuvre simple et rapide du calcul des oscillations, dans le cadre de la mod´elisation int´egr´ee `a une chaˆıne d’in-terpr´etation de donn´ees. Nous ´evaluons donc dans cette partie le rˆole des param`etres num´eriques pour la convergence des modes d’oscillation, et les performances de calcul de l’impl´ementation. Tel que le code a ´et´e impl´ement´e, ce qui mobilise principalement les ressources de calcul et de m´emoire de la machine est l’int´egration angulaire des coefficients de matrices du probl`eme. Si nous symbolisons le syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles par l’op´erateur E, cette int´egration s’exprime :
∀ℓ1 ≥| m |, +∞ X ℓ2≥|m| Z sin θdθdϕ 4π Eℓ2(Yℓ2,m) Yℓ∗1,m = 0 (5.30) En effet, ces coefficients sont ´evalu´es en chaque couche radiale (pour Nr couches) par une projection des ´equations sur la base des M harmoniques sph´eriques prises en compte dans le calcul. Le produit scalaire pour cette projection consistant en une int´egration de Gauss-Legendre sur les Nµsecteurs angulaires. Ainsi, en ´evaluant le rˆole des param`etres de calculs Nr, et M, nous pourrons en d´efinir les valeurs optimales pour un bon com-promis entre le temps de calcul, l’espace m´emoire occup´e, et la pr´ecision des r´esultats.
5.3.1 D´eveloppement spectral
1×10−14 1×10−12 1×10−10 1×10−8 1×10−6 1×10−4 1×10−2 1×100 0 5 10 15 20 25 30 35 40 σM − σM−1 Résolution spectrale M 18.5 % Ωk 38 % Ωk 59 % ΩkFigure 5.4: Convergence as a function of the number of spherical harmonics included in the spectral expansion, taken as the difference between frequency resulting from computations with M-1 spherical harmonics and computations using M spherical harmonics, for an n = 3 mode dominated by an ℓ = 1, m = 0 component, and for three different rotational velocities : 18.5% Ωk in blue, 38% Ωk in orange and 59% Ωk in red.
Le d´eveloppement spectral bidomaine tel que nous le pratiquons pour notre r´esolution des comportements angulaires (cf Chap. 4, Sect.4.1.1) est connu pour ˆetre d’une grande pr´ecision. Dans le cas id´eal o`u les grandeurs d´ecrivant le mod`ele de structure seraient C∞, la pr´ecision des calculs angulaires augmenterait avec le nombre de termes de cou-plage M comme e−M. La rotation induit des profils non sph´eriques pour les grandeurs
106 5.3. Performances de structure ainsi que pour les fonctions propres. Plus la rotation est importante, plus l’´ecart `a la sph´ericit´e augmente, et plus il faut prendre en compte des contributions de degr´es angulaires diff´erents dans le calcul.
Sur la Figure 5.4 nous reportons la convergence sur les fr´equences propres en fonc-tion du nombre de termes impliqu´es dans le d´eveloppement spectral. Ces calculs ont ´et´e r´ealis´es pour des mod`eles de structure polytropiques bidimensionnels en rotation uniforme. L’allure de ces courbes est conforme `a nos attentes. Plus la vitesse angulaire de rotation est importante, plus grand est le nombre de termes du d´eveloppement spec-tral n´ecessaire `a la convergence. En effet, si nous consid´erons un mod`ele de structure en rotation `a Ω = 18.5% Ωk, la convergence est atteinte pour 7 termes de couplage, tandis qu’au minimum 16 termes sont n´ecessaires pour un mod`ele tournant `a 38% Ωk. Lorsque le mod`ele pr´esente une rotation de 59% Ωk, une convergence satisfaisante est atteinte autour de 25 termes de couplage. Lorsque la convergence est atteinte, elle pr´esente une bonne stabilit´e.
5.3.2 R´esolution radiale
Figure 5.5: Convergence as a function of the radial resolution, taken as the differences between frequency resulting from computations with r points in the radial grid and computations using (r+1) points. For example, at the abscissa corresponding to 1000 points is plotted the difference between the frequency obtained with 2000 points and the one obtained with 1000 points. These plots have been performed for modes dominated by an ℓ = 2, m = 0 component with an n = 3 on the left pannel, and n = 9 on the right pannel, both at three different rotational velocities : 18.5% Ωk in green, 37.9% Ωk
in light blue and 58.9% Ωk in dark blue.
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Etant donn´e que ce qui demande le plus de temps de calcul est l’int´egration angulaire des coefficients de matrices du probl`eme lin´eaire, et que celle-ci est calcul´ee en chaque point de la grille radiale, nous ´etudions ici la convergence des fr´equences propres en fonction de la r´esolution de cette grille radiale. Bien sˆur, plus la fr´equence d’un mode est ´elev´ee, plus son ordre radial est ´elev´e, et plus le mode pr´esente d’oscillations radiales. Ainsi, comme nous pouvons le remarquer d’apr`es la Figure 5.5, alors que la convergence est atteinte pour des mod`eles de 660 points pour les modes basse fr´equence, pour les modes de fr´equence plus ´elev´ee, cette convergence est plus difficle. Ceci est valable quelle que soit la vitesse de rotation du mod`ele.
Chapitre 5. M´ethode num´erique 107
5.3.3 Le temps et l’espace m´emoire
Si ce qui demande le plus de temps de calcul est la projection des ´equations dans l’espace des harmoniques sph´eriques, ce qui mobilise le plus la m´emoire de la machine est l’inversion des grandes matrices A et Aδσ. Dans le tableau suivant figurent les chiffres de la m´emoire occup´ee et du temps de calcul de notre code en fonction de la r´esolution radiale (Nr), et de la r´esolution spectrale (M).
Table 5.1: Numerical resources used by ACOR with a spectral resolution M and a radial one of Nr.
Nr M taille de la matrice temps m´emoire
2500 40 110 × 106 25 min 3,1 Go 2500 26 46 × 106 7 min 30 1,3 Go 2500 18 22 × 106 3 min 30 700 Mo 2500 10 7 × 106 1 min 300 Mo 1250 40 55 × 106 12 min 1,5 Go 1250 26 23 × 106 3 min 30 700 Mo 1250 18 11 × 106 1 min 30 350 Mo 1250 10 3.5 × 106 30 s 140 Mo 625 40 27 × 106 5 min 10 790 Mo 625 26 12 × 106 1 min 45 350 Mo 625 18 5.5 × 106 46 s 180 Mo 625 10 3.5 × 106 30 s 75 Mo ´
Etant donn´e que les grandes matrices A et Aδσ ne sont pas des matrices pleines, les dimensions donn´ees dans ce tableau correspondent `a la somme des dimensions des blocs qui les constituent. Dans l’int´erieur stellaire, cela correspond `a (2×4×M)×(4×M)×Nint, et dans le vide `a (2 × 2 × M) × (2 × M) × Nvide (car chaque bloc couple deux couches successives).
Chapitre 6
Validation : comparaison avec
Reese et al. (2006)
Sommaire
6.1 Mod`eles d’´equilibre . . . 110