Revue théorique

La théorie de la régulation incitative s’intéresse au monopole naturel en prenant en compte les problèmes d’asymétries d’information. L’entreprise a une information privée qu’elle utilise à des fins stratégiques. Ce cas est étudié par le modèle de Baron et Meyrson (1982) dans le cadre du paradigme principal-agent où, pour résoudre le problème de sélection adverse, le régulateur définit un mécanisme révélateur des coûts de l’entreprise. Les contrats incitatifs reposent sur un arbitrage entre efficacité et extraction de rente. Une tarification Cost plus¹ de remboursement des coûts permet de contrôler les profits de l’entreprise mais ne l’incite pas à réduire ses coûts. Par contre, une tarification Price cap² de prix plafond incite l’entreprise à faire des économies afin d’accroître ses profits qui ne sont pas réglementés. Les problèmes de régulations et de tarification des monopoles naturels sont difficilement dissociables de l’analyse de leur performance.

Dans la littérature, le problème de la tarification en télécommunication remonte au problème de la répartition des coûts de l’utilisation des équipements communs. En effet, les mêmes infrastructures de réseau sont utilisées par plusieurs entreprises, infrastructures qui le plus souvent seront la propriété d’une seule entreprise, elle-même utilisatrice du réseau. Il est donc important de trouver une répartition des coûts entre les différentes entreprises de telle sorte qu’il y ait la concurrence sur le marché et que l’utilisateur final (client) ne soit pas surfacturé.

On distingue trois grandes classes de méthodes de répartition des coûts (Boyer et ali. 2006) : les règles de proportionnalité, les méthodes inspirées de la théorie des jeux coopératifs et la répartition séquentielle.

 Les règles de proportionnalité

En notant Q la demande totale de toutes les entreprises, C(Q) le coût total nécessaire pour la satisfaction de la demande Q, cai(Q) le coût directement attribuable à l’entité i, cc(Q) les coûts communs, on peut écrire :

1 Le modèle de tarification cost-plus est utilisé dans le monde de la téléphonie mobile, pour caractériser la façon dont les opérateurs disposant d'un réseau fixent leurs tarifs de gros vis-à-vis des opérateurs virtuels clients.

2 Une forme de réglementation qui fixe des limites supérieures sur les prix des services.

𝑐𝑐(𝑄) = 𝐶(𝑄) − ∑ 𝑐𝑎_𝑖(𝑄)

𝑖

En notant cmi(Q) le coût incrémental pour desservir l’entité i en plus des autres, on peut écrire : 𝑐𝑚_𝑖(𝑄) = 𝐶(𝑄) − 𝐶(𝑄^𝑁\{𝑖})

Où N est l’ensemble des n entreprises et 𝑄^𝑁\{𝑖} est la demande des entreprises contenu dans l’ensemble N\{i}.

Notons x la règle de répartition, xi la charge imputée à l’entité i. on a x = (x1, x2, …, xn) et

∑ 𝑥_𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝐶(𝑄)

La méthode consiste à exiger une contribution de base xbi de l’entité i et à répartir le résidu du coût total du projet, une fois soustraites les contributions de base, entre toutes les entités, proportionnellement aux valeurs d’une certaine variable ti. La formule générale est :

𝑥_𝑖 = 𝑥𝑏_𝑖 + 𝑡_𝑖

∑^𝑛_𝑗=1𝑡_𝑗(𝐶(𝑄) − ∑ 𝑥𝑏_𝑗

𝑛

𝑗=1

)

Suivant le choix de 𝑥𝑏_𝑖 et de 𝑡_𝑖, on distingue plusieurs méthodes telles que la méthode des coûts moyens, la méthode des bénéfices résiduels, les méthodes comptables.

 Les méthodes inspirées de la théorie des jeux coopératifs

Ces méthodes ont été développées principalement par Shapley (1953), Shubik (1962) et Aumann (1974).

La théorie des jeux est un outil d’analyse des interactions stratégiques (jeux) entre agents (joueurs), le but de chaque agent (joueur) étant de maximiser ses gains (principes de la rationalité économique). Il arrive que le postulat fondamental selon lequel la recherche du profit individuel conduit à l’intérêt général soit violé, en d’autres termes les agents gagneraient à coopérer (former des coalitions) qu’à « jouer » individuellement. On distingue donc deux sortes de jeux : les jeux coopératifs et les jeux non coopératifs.

Le problème de partage de coûts peut donc être vu comme un jeu coopératif, appelé jeu de coût où le gain de chaque joueur (agent) est la réduction de ses coûts. Toutefois le problème peut

être abordé sous forme de répartition des coûts plutôt que des gains, comme proposé dans CIRANO 2006.

Les résultats de la théorie des jeux deviennent donc applicables. Entre autres, la valeur de Shapley (1953) caractérisé par trois conditions appelées conditions d’équité.

 Symétrie : Deux agents interchangeables doivent recevoir le même paiement

 Agent inutile : Un agent inutile doit recevoir un paiement égal à la valeur de sa coalition singleton

 Additivité : Si un jeu est répété, les paiements sont additionnés.

Shubik (1962) a proposé la première application de la valeur de Shapley aux jeux de coût, connue sous l’appellation méthode de Shapley-Shubik. Aumann propose plus tard une généralisation de la méthode de Shapley-Shubik au cas où il y a une infinité de joueurs.

 La répartition séquentielle

Les demandes des n entités sont données par des nombres qi, i=1,…,n. On suppose q1 ≤ q2 ≤ …≤ qn. Typiquement, avec les méthodes de ce type, toutes les entités se voient imputer

une part égale du coût d’un projet ou d’une capacité tout juste suffisant pour répondre aux besoins de n entités ayant une demande identique à la plus petite des demandes, celle de la première entité ici. Ensuite, les n-1 autres entités se voient imputer, en plus, une part égale de l’accroissement de coût qu’entraînerait un accroissement de capacité suffisant pour répondre à des demandes de leur part qui seraient égales à celle de l’entité 2. On continue ainsi à imputer les coûts associés à des accroissements de capacité nécessités par des demandes de plus en plus grandes jusqu’à l’entité n. Pour décrire cette méthode de façon formelle, on introduit des suites de demande intermédiaire Qⁱ, i=1,…,n, de même dimension que Q=(q1,…, qn). Elles sont définies par :

𝑞_𝑗^𝑖 = 𝑚𝑖𝑛{𝑞_𝑖, 𝑞_𝑗} Autrement dit : 𝑄^𝑖 = (𝑞₁, … , 𝑞_𝑖−1, 𝑞_𝑖, 𝑞⏟ _𝑖, … , 𝑞_𝑖

𝑛−𝑖 𝑓𝑜𝑖𝑠

)

Les i premiers éléments de Qⁱ sont ceux de Q. Les autres sont tous remplacés par qi. On a Qⁿ=Q et on pose Q⁰=(0,…,0). La formule générale de la répartition séquentielle est définie par :

𝑥_𝑖 = ∑𝐶(𝑄^𝑗) − 𝐶(𝑄^𝑗−1) 𝑛 + 1 − 𝑗

𝑖

𝑗=1

, 𝑖 = 1, … , 𝑛

Cette méthode satisfait : ∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖 = 𝐶(𝑄). De plus x1 ≤ x2 ≤ …≤ xn. A noter que, s’il y a un coût fixe, cette méthode le répartit également entre toutes les entités dont la demande est positive.

Ce coût fixe est en effet compris dans le premier C(Q^j) positif.

Le problème de répartition des coûts étant résolu, nous allons à présent aborder le problème de la tarification optimale des infrastructures communes. A ce sujet, il existe deux grands types de tarification : La tarification à la Ramsey-Boiteux, aussi dite linéaire, et la tarification non linéaire.

 Tarification à la Ramsey-Boiteux

La théorie économique nous enseigne que, pour assurer la maximisation du bien-être des consommateurs, les biens et services doivent être vendus à leur coût marginal social (ce dernier inclut les dommages à l’environnement et les effets pervers pour les autres agents). Cependant, en présence d’économies d’échelle, ce mode de tarification donne un déficit. Une solution possible consiste à combler ce déficit par les subventions, comme on le fait pour le transport en commun par exemple. Dans d’autres situations, cela est politiquement impossible et on requiert plutôt que le responsable de la production s’autofinance, au moins en partie. Pour ce faire, il doit alors majorer les prix (du moins certains d’entre eux) au-dessus des coûts marginaux. La règle de Ramsey-Boiteux indique comment opérer cette majoration, tout en générant le moins de distorsion possible par rapport aux consommateurs de dernier rang obtenues avec la tarification au coût marginal. Elle maximise le bien-être total des consommateurs sous la contrainte budgétaire. Elle suppose la fonction de demande connue ou, du moins, l’élasticité de cette dernière.

Considérons un monopole qui produit un bien. Il fait face à un coût fixe C, nécessaire au fonctionnement et à l’entretient de l’infrastructure. Dans ce cas, le coût marginal est en effet toujours inférieur au coût moyen et ce dernier est toujours décroissant. La tarification au coût marginal donnerait un profit négatif. En supposant deux catégories de consommateurs, avec des élasticités respectives 𝜂₁(𝑝₁) et 𝜂₂(𝑝₂), pouvant être servies à des coûts marginaux respectifs 𝑐₁ et 𝑐₂, pour maximiser le profit, les prix doivent être choisis de manière à satisfaire la condition suivante :

𝑝₁− 𝑐₁

𝑝₁ = 1

𝜂₁(𝑝₁) 𝑝₂− 𝑐₂

𝑝₂ = 1 𝜂₂(𝑝₂)

De façon générale, les prix ne doivent jamais être tels que les élasticités soient inférieures à 1.

Supposons dorénavant que le monopole n’ait pas le droit de maximiser ses profits mais qu’on lui permette simplement de couvrir ses coûts, c’est-à-dire d’atteindre l’équilibre budgétaire.

Comment doivent alors être fixés les prix qui atteignent l’objectif de second rang ? La règle est donnée par la formule suivante :

𝑝₁− 𝑐₁

𝑝₁ = 𝜆

𝜂₁(𝑝₁) 𝑝₂− 𝑐₂

𝑝₂ = 𝜆 𝜂₂(𝑝₂)

Dans cette formule, 𝜆 est fixé de façon à satisfaire la condition d’équilibre budgétaire. Si on pose 𝜆 = 1, on retrouve la solution qui maximise le profit. Avec 𝜆 = 0, on obtient les prix de la solution de premier rang 𝑝₁ = 𝑐₁, 𝑝₂ = 𝑐₂ qui donne un déficit. La solution de second rang, correspondant au cas de l’équilibre budgétaire, est quelque part entre les deux : 0 < 𝜆 < 1. Les prix qui sont définis par (R2) sont dits de Ramsey-Boiteux. La règle (R2) elle-même est souvent appelée la règle de l’inverse de l’élasticité.

 La tarification non linéaire

La théorie économique nous enseigne qu’il est possible de faire mieux que les tarifs de Ramsey-Boiteux, en offrant aux consommateurs un menu de différents tarifs polynômes, parmi lesquels chacun peut librement choisir. Un tarif polynôme est un tarif non linéaire, défini par différent prix qui s’applique à différentes caractéristiques de la demande. Un tarif non linéaire peut, par exemple, être composé d’une charge fixe et de différents prix par unité pour différentes utilisations de l’infrastructure.

Un tarif binôme est défini par un couple (𝑓, 𝑝), où 𝑓 est une charge fixe, par période de temps par exemple, et 𝑝 une charge variable qui s’applique à l’utilisation de l’infrastructure (nombre de passages, nombres de minutes, distance parcourue, etc.). Considérons maintenant une suite de tarifs binômes (𝑓₁, 𝑝₁), (𝑓₂, 𝑝₂), (𝑓₃, 𝑝₃),…, telle que :

𝑝₁ > 𝑝₂ > 𝑝₃ > ⋯ 𝑓₁ < 𝑓₂ < 𝑓₃ < ⋯

Cette suite constitue un menu de tarifs binômes, si l’on permet aux consommateurs de choisir, dans cette suite, le couple (𝑓_𝑖, 𝑝_𝑖) suivant lequel ils vont être facturés. Le concept de tarif binôme peut être généralisé à un nombre quelconque de composantes. Un tarif peut prendre la forme (𝑓_𝑖, 𝑝_𝑖, 𝑟_𝑖, 𝑠_𝑖), où 𝑓_𝑖 est une charge fixe et 𝑝_𝑖, 𝑟_𝑖 et 𝑠_𝑖 représentent des charges variables, chacune afférente à une caractéristique différente du service. Par exemple, 𝑝_𝑖 pourrait être le prix à la (R2)

minute d’une consommation Internet, 𝑟_𝑖 celui du volume d’information téléchargée et 𝑠_𝑖 celui du volume téléversé. Un tel vecteur est un tarif polynôme. Une suite de tarifs polynômes est un menu de tarifs polynômes.

Gupta, Stahl et Whinston (1995)

Ce travail se place dans l'hypothèse d'un marché au comptant, avec utilisation de files d'attente prioritaires, les paquets de session bénéficiant de priorités différentes en fonction de la classe de priorité payée par le client. Il s'agit d'un modèle fondé sur des prévisions et des valeurs stochastiques (les valeurs ne sont pas connues avec certitude). Il existe K classes de services ne pouvant être interrompus, les utilisateurs choisissant l'une d'entre elles en fonction de l'urgence de leur demande. La classe k = 1 (classe de priorité la plus élevée) correspond à l'encombrement le plus faible et au prix le plus élevé. Le modèle proposé permet une gestion décentralisée des prix, propre à chaque poste connecté à l'Internet. Les tarifs de location sont ajustés afin de parvenir au meilleur compromis possible entre débit de données et temps d'attente. Les coûts de service escomptés générés par les clients dépendent de la charge de trafic prévue, de la classe de service choisie et du coût des équipements (on peut parler de manière générale des coûts d'investissement associés aux éléments de réseau utilisés en raison de la ou des demandes des utilisateurs). Le prix d'une session est la somme des différents prix de priorité k donnée facturés pour chaque ordinateur du réseau sur la base du nombre d'unités prévues pour le travail de traitement. Les différences de prix entre classes sont modulées de façon itérative pour que les prévisions de trafic puissent prendre en compte les données de trafic mesurées (temps d'attente par exemple). Les coûts facturés aux utilisateurs dépendent des niveaux de prix et des temps de retard.

Une classe de service est attribuée à un client en fonction du tarif de location dont il s'acquitte, qui dépend du coût de retard et qui peut varier d'un client à un autre. Les clients qui paient le plus peuvent espérer bénéficier d'un service temps réel à quasiment tout instant. L'un des attraits de cette étude réside dans l'utilisation de prévisions adaptatives. Le modèle proposé intègre fortement les éléments de la théorie économique.

Marbach (pas d'indication de date)

Marbach a développé deux modèles dans son étude. Le premier modèle est celui d'un "jeu non coopératif", au terme duquel les prix à payer par les utilisateurs varient en fonction du niveau de priorité choisi. Dans ce cas, tous les paquets acceptés sur le réseau bénéficient d'un traitement

trafic en termes de probabilité d'acceptation de ses paquets. Ce modèle est curieux puisque les jeux non coopératifs sont généralement appliqués lorsque les participants sont à même d'exercer une influence sur le résultat final, ce qui n'est pas réaliste pour la plupart des utilisateurs de l'Internet, même la pertinence de cette approche apparaît bien pour des réseaux de plus petite taille. Ce modèle permet également au fournisseur de bénéficier d'une part plus importante des surplus dégagés par les consommateurs grâce à une discrimination des prix. Les clients choisissent un niveau de priorité pour leurs paquets et maîtrisent ainsi le niveau de qualité de service dont ils disposent, dans la limite du bon fonctionnement des divers mécanismes de classe de service.

Les prix à payer par les utilisateurs sont fondés sur le nombre de paquets transmis. Il s'agit là d'un modèle présentant des mesures incitatives plus fortes que celui fondé sur la charge de travail (et proposé par Gupta et autres), qui est caractérisé par une puissance de travail en augmentation rapide, la charge de travail dépendant en quelque sorte d'une décision "endogène

"propre à chaque concepteur de réseau.

Lorsque la capacité disponible est attribuée dans l'ordre des classes de priorité, il existe toujours une classe de priorité pour laquelle tous les paquets ne peuvent pas être envoyés, c'est- à- dire pour laquelle la demande est supérieure à la capacité. Certains paquets de cette classe seront donc perdus.

Tous les paquets dont le niveau de priorité est supérieur à celui de cette classe seront envoyés avec succès. Lorsqu'il n'y a qu'un seul niveau de qualité de service pour tous les paquets envoyés, il existe un prix en cas d'encombrement semblable au prix de réajustement du marché intervenant dans le modèle de mise aux enchères de Machie- Mason et Varian. Les informations aidant les utilisateurs à faire leur choix sont fournies par une liaison de commande (une voie de signalisation contenant des données réseau "intelligentes").

Le second modèle de Marbach élargit cette première approche en un modèle de tarification en cas d'encombrement. Cette tarification repose sur le nombre de paquets envoyés; elle s'applique lorsque plusieurs classes de qualité de service sont disponibles et que la fourniture de ces paquets est certaine. A chaque classe de service est associée une valeur différente de u*. Il s'agit d'un prix permettant au réseau de faire face au trafic entrant sans dégradation de la qualité de service, toute baisse de ce prix entraînant une dégradation de la qualité de service (perte de paquets) du fait de l'accroissement de la demande.

Yuen et Tjioe (pas d'indication de date)

L'étude de Yuen et Tjioe comprend un rapport sur l'utilisation de simulations faites à partir d'un modèle informatique et destinées à vérifier les propriétés du modèle de Marbach. Comme dans le cas de l'étude de Machie- Mason et Varian, le modèle proposé part du principe que les utilisateurs du réseau modifieront leur comportement en fonction des tarifs qui leur sont proposés. Il fait intervenir différentes classes de service, dont une classe de "priorité maximale

"et une classe de "service assuré au mieux". La transmission de tous les paquets appartenant à la classe de priorité maximale est garantie. Le premier service fourni est celui d'une voie de signalisation, au travers duquel chaque utilisateur est informé de la probabilité de transmission en fonction du nombre total de demandes émanant des utilisateurs. Si la demande de trafic est supérieure à la capacité disponible, la probabilité de transmission est inférieure à 1. La probabilité de transmission est déterminée pour toute la durée d'un cycle (jusqu'au cycle suivant) et devient donc moins précise avec le temps. Yuen et Tjioe ont par conséquent adjoint à leur modèle un processus d'administration qui surveille périodiquement l'utilisation du réseau et ajuste les prix afin d'assurer une gestion dynamique des ressources réseau.

Korilis, Varvarigou et Ahuja (pas d'indication de date)

Cette étude porte sur l'optimisation de la gestion d'un réseau d'une certaine taille, qui fait intervenir un nombre limité d'utilisateurs ayant une certaine connaissance du comportement des autres utilisateurs. L'instrument utilisé à cette fin est la tarification, les utilisateurs payant en termes d'unités de flux, dont le prix varie de liaison à liaison afin de gérer l'encombrement du réseau. Le modèle proposé est donc celui d'un jeu non coopératif, chaque utilisateur modifiant sa stratégie en fonction des décisions de routage des autres utilisateurs. L'" optimisation" est obtenue dans un premier temps liaison par liaison, les consommateurs (utilisateurs) agissant au mieux au regard de leurs demandes, des ressources réseau disponibles et des tarifs.

Les auteurs ont ensuite élargi leur modèle pour permettre une détermination "endogène "des prix sur chaque liaison en fonction du débit de données. Ils se sont placés dans le cadre d'un marché de services Internet temps réel dans lequel les utilisateurs cherchent à acquérir des capacités de ressources à un instant donné. Les informations fournies aux utilisateurs portent sur la capacité résiduelle et le prix de chaque ressource. L'idée est de minimiser l'encombrement moyen du système grâce à la mise en oeuvre d'une tarification judicieuse.

Le comportement du fournisseur de réseau en termes de dimensionnement du réseau (c'est- à- dire l'évolution de l'offre) n'est pas traité dans cette étude. Le modèle proposé peut permettre à un fournisseur en situation de monopole d'obtenir un maximum de profits ou peut être

utilisépour parvenir à un maximum de bien - être collectif. L'adaptation de ce modèle faisant intervenir un seul fournisseur pour le transformer en un modèle faisant intervenir un nombre limité de fournisseurs en situation de concurrence (chacun d'eux étant à même de fournir le trafic demandé) pourrait s'avérer utile pour gérer un réseau des réseaux.

Paschalidis et Tsitsiklis (2000)

Le modèle de Paschalidis et Tsitsiklis (P&T) fait intervenir un fournisseur de services dont la capacité est constante (ce qui signif ie que la tarification ne tient pas compte de la nécessité d'accroître la capacité d'un réseau en extension rapide). Les auteurs étudient principalement la tarification sous l'angle de la maximisation des recettes, bien qu'ils procèdent parfois également à une brève analyse de la maximisation du bien - être collectif, la facturation proposée par les fournisseurs de services se faisant alors sur la base du volume acheminé par unité de temps.

Paschalidis et Tsitsilites comparent ce qu'ils appellent une tarification dynamique quasi optimale à une tarification statique. La tarification dynamique correspond à un ajustement continuel des prix destinés à refléter l'état du système (c'est- à- dire la charge du réseau). La structure de tarification dynamique optimale doi t être fondée sur l'état du réseau, les prix étant déterminés en temps réel au niveau de chacun des noeuds. Les auteurs font intervenir plusieurs classes de service, bien qu'à cet égard leur modèle soit plutôt restrictif puisqu'il suppose que les classes présentent des caractéristiques identiques. L'idée sous - jacente est que le réseau opérera une distinction entre clients en fonction de l'urgence de leurs demandes et leur imposera des tarifs différents. Ce mécanisme est connu sous le nom de discrimination tarifaire; il peut

Paschalidis et Tsitsilites comparent ce qu'ils appellent une tarification dynamique quasi optimale à une tarification statique. La tarification dynamique correspond à un ajustement continuel des prix destinés à refléter l'état du système (c'est- à- dire la charge du réseau). La structure de tarification dynamique optimale doi t être fondée sur l'état du réseau, les prix étant déterminés en temps réel au niveau de chacun des noeuds. Les auteurs font intervenir plusieurs classes de service, bien qu'à cet égard leur modèle soit plutôt restrictif puisqu'il suppose que les classes présentent des caractéristiques identiques. L'idée sous - jacente est que le réseau opérera une distinction entre clients en fonction de l'urgence de leurs demandes et leur imposera des tarifs différents. Ce mécanisme est connu sous le nom de discrimination tarifaire; il peut