Restriction aux éléments elliptiques d’un quasi-caractère sur G(F ) de

SoitD un quasi-caractère surG(F), notonsθD sa fonction associée. Disons queD est de niveau0sur les elliptiques si et seulement siθDsatisfait à la condition suivante : (1) pour tout élémentε∈G(F)qui estp⁰-compact modZ(G)et pour toutX∈gε,tn(F) tel queεexp(X)∈Gell(F), la fonction λ7→θD(εexp(λ²X))suroF appartient àE.

Remarques

(2) Pourε∈G(F)p⁰ etX∈gε,tn(F),εexp(X)ne peut être elliptique que siAG_ε=AG. A fortiori,εestp⁰-compact modZ(G).

(3) La même preuve qu’au (ii) du lemme 5.2 montre que (1) équivaut à la condition : – pour tout élément ε ∈ G(F) qui est p⁰-compact modZ(G) et pour tout O ∈ Nil(gε), il existe cD,O ∈ C de sorte que, pour tout X ∈ gε,tn(F) tel que εexp(X)∈Gell(F), on ait l’égalité

θD(εexp(X)) = X

O∈Nil(gε)

cD,Obj(O, X).

(4) Compte tenu de la remarque précédente, la même preuve qu’au (iii) du lemme 5.2 montre que, siBest un sous-ensemble deG(F)p⁰ tel queG(F) =S

ε∈BCG(ε), alorsD est un quasi-caractère de niveau0sur les elliptiques si et seulement si la condition (1) est satisfaite pour toutε∈B.

Proposition. — SoitD un quasi-caractère surG(F) de niveau0 sur les elliptiques.

Alors il existef ∈Dcusp(G)tel queD coïncide avecD_f^G sur G_ell(F).

Démonstration. — Comme on l’a vu dans 3.5, l’espace Dcusp(G) se décompose en produit d’espaces indexés par N. Il en est de même de l’espace des quasi-caractères de niveau 0 sur les elliptiques. On peut donc fixer ν ∈ N et supposer que D est à support dansw⁻¹_G (ν). L’intersectionw_G⁻¹(ν)∩Gell(F)est contenue dans une réunion finie d’ensemblesCG(ε), oùεestp⁰-compact modZ(G). Ces ensembles sont disjoints ou confondus et ils sont ouverts et fermés. On peut fixer un élément p⁰-compact modZ(G), supposer queD est à support dansC_G(ε)et prouver :

(5) il existe f ∈Ccusp(G)tel queD^G_f soit à support dansCG(ε)et coïncide avec D surCG(ε)∩Gell(F).

Comme on l’a dit dans la remarque (2), on peut supposer AG_ε = AG, sinon la solution de (5) est triviale.

Écrivons comme dans la remarque (3) θD(εexp(X)) = X

O∈Nil(gε)

cD,Obj(O, X)

pour tout X ∈gε,tn(F)tel queεexp(X)∈G_ell(F). Notonsτ la fonction surgε(F), à support topologiquement nilpotent, qui est égale sur cet ensemble au membre de droite ci-dessus. En la moyennant sur le groupeZG(ε)(F)/Gε(F), on peut la supposer invariante parZG(ε)(F). La fonction τ est la fonction associée à un quasi-caractère de niveau 0 sur g_ε(F). Celui-ci est de la forme D^G_ϕ^ε pour un élément ϕ ∈ D(g_ε) d’après le (ii) de la proposition 5.5. Si on se restreint aux éléments elliptiques, les distributions induites disparaissent. Donc il existe ϕ∈ Dcusp(gε) tel que τ coïncide avec θ_DGε

ϕ sur gε,ell(F). Fixons un tel ϕ = (ϕb)b∈B, où B est un sous-ensemble fini de Facmax(Gε). Parce que τ est invariante par ZG(ε)(F), on peut supposer que ϕ l’est aussi (pour l’action naturelle de ce groupe sur Dcusp(g_ε)). PuisqueA_Gε =A_G, Imm(Gε,AD)s’identifie àImm(GAD)^ε, cf. 4.10. Pour toutb∈B, il y a donc une unique facetteFb∈Imm(GAD)telle queFb∩Imm(GAD)^ε=b. On aε∈K_F^ν

b etF^νb est réduit à un point, autrement dit (Fb, ν) ∈ Fac^∗_max(G). De la fonction ϕ_b, on déduit une fonctionfbsurG^ν_F

b(kF)de la façon suivante. Par l’exponentielle, on identifieϕbà une fonctionfb,1 surGε,b(kF)à support unipotent, telle quefb,1(exp(X)) =ϕb(X)pour tout élément nilpotentX∈g_ε,b(kF). En notantεla réduction deεdansG^ν_Fb(kF), on définit une fonctionf_b,2 surG^ν_F

b(k_F), à support dansεG_ε,b(k_F), telle quef_b,2(εx) = fb,1(x)pour toutx∈Gε,b(kF). Enfin, on pose

fb(x) =|ZG_F

b(ε)(kF)|⁻¹ X

y∈G_Fb(kF)

fb,2(y⁻¹xy)

pour toutx∈G^ν_F

b(k_F).

Lemme

(i) On a l’égalité fb(εexp(X)) =ϕb(X)pour tout élément nilpotentX ∈g_ε,b(kF).

(ii) la fonction fb appartient àCcusp(G^ν_Fb).

Démonstration. — Rappelons que, d’après la proposition 4.10, Gε,b est la compo-sante neutre du groupe ZG_Fb(ε). Pour un élément nilpotent X ∈g_ε,b(kF), l’élément εexp(X)a pour composante semi-simple ε et pour composante unipotente exp(X).

Le support de la fonction fb,2 est formé de tel éléments. En conséquence, pour un tel élément x = εexp(X) et pour y ∈ G_Fb(kF), on n’a fb,2(y⁻¹xy) 6= 0 que si y∈ZG_Fb(ε)(kF). On obtient

fb(x) =|ZG_Fb(ε)(kF)|⁻¹ X

y∈ZGFb(ε)(k_F)

fb,2(εexp(y⁻¹Xy)).

D’après la définition defb,2, le (i) de l’énoncé résulte de l’assertion : – la fonctionϕb est invariante par l’action deZG_F

b(ε)(kF).

D’après le corollaire 4.8, ce groupe est l’image naturelle dans G_Fb(kF) du groupe ZG(ε)(F) ∩ K_F⁰

b. Or ϕ est invariant par ZG(ε)(F), donc ϕb est invariante par Z_G(ε)(F)∩K_F⁰

b. Cela démontre (i).

Pour prouver (ii), on doit montrer que, pour tout espace parabolique propre P^ν deG^ν_Fb et pour toutx∈P^ν(kF), on a

X

u∈U_P(k_F)

f_b(xu) = 0.

Il suffit de prouver que, pour tout espace parabolique propreP^ν deG^ν_Fb et pour tout x∈P^ν(k_F), on a

(6) X

u∈UP(kF)

fb,2(xu) = 0.

En effet, la première assertion pourP^νrésulte de la seconde appliquée à chaque espace y⁻¹P^νy pour y∈G_Fb(kF). Fixons doncP^ν. SiP^ν(kF) ne coupe pas le support de fb,2, l’assertion (6) est claire. Supposons queP^ν(kF)coupe ce support. Il existe donc un élément nilpotentX ∈g_ε,b(k_F)tel queεexp(X)∈P^ν(k_F). Puisqueεet exp(X) commutent, puisquead(ε)est d’ordre premier àptandis quead(exp(X))est d’ordre une puissance dep,ad(ε)appartient au groupe engendré parad(εexp(X)). Ce dernier opérateur conserve P, donc ad(ε) conserve lui aussi P, c’est-à-dire ε ∈ P^ν(kF).

D’après le lemme 4.9, on peut fixer une composante de LeviM^νdeP^νqui contientε.

NotonsMεetPεles composantes neutres des groupes des points fixes de l’opérateur ad(ε)dansM et P. Le groupePεest un sous-groupe parabolique deGε,b etMεen est une composante de Levi. Montrons que

(7) P_ε6=G_ε,b.

Notons AM, resp.A_Fb le plus grand sous-tore central déployé de M, resp.G_Fb. Notons AM,ε, resp.A_Fb,ε, la composante neutre du sous-groupe des points fixes de l’opérateur ad(ε) dans A_M, resp.A_Fb. Puisque P^ν est propre, A_M,ε contient strictement A_Fb,ε. Donc dim(AM,ε) > dim(A_Fb,ε) > dim(AG). Le tore AM,ε est contenu dans le plus grand sous-tore central déployéAM_ε deMε. Doncdim(AM_ε)>

dim(AG). On a supposé dim(AG) = dim(AGε) et on a dim(AGε) = dim(AG_ε,b) puisque b est un sommet de Imm(G_ε,AD). Donc dim(A_Mε) > dim(A_Gε,b), ce qui signifie queMεest un Levi propre deGε,b. Cela démontre (7).

On peut dans (6) se restreindre au cas oùx∈M^ν(kF), c’est-à-dire x=εmavec m∈M(k_F). Montrons que

(8) si m 6∈ exp(m_ε,nil)(k_F), l’ensemble des u ∈ U_P(k_F) tels que xu appartient au support defb,2 est vide ; si m= exp(Y)avecY ∈mε,nil(kF), alors cet ensemble est contenu dans celui desexp(N)pour N ∈uP_ε(kF).

Dire que xuappartient au support def_b,2 implique quexu=εexp(X)avec X ∈ g_ε,b,nil(kF), ou encoremu= exp(X). Si on appliquead(ε)à cette égalité, puisqueX commute àε et que ad(ε) conserveM et UP, on obtient mu= ad(ε)(m) ad(ε)(u), ce qui entraîne m = ad(ε)(m) et u = ad(ε)(u). Cette dernière relation implique

queu= exp(N)pour unN ∈uP_ε(kF). La première, jointe au fait quemest forcément

Puisque Pε est un sous-groupe parabolique propre deGε,b, ceci est nul puisqueϕb

est cuspidale. Cela achève la preuve du lemme.

Reprenons la preuve de la proposition. On définit la distributionD^G_f

b. Notonsθbsa fonction associée. Il est clair que son support est contenu dans la réunion des conjugués du support def_b. D’après la construction de cette fonction et le lemme 4.7, ce support est contenu dans l’ensemble desk⁻¹C(ε)k pour k∈K_F⁰

b. Donc le support de θb est contenu dans CG(ε) et il nous suffit de calculer θb(εexp(X)) pour X ∈ gε,tn(F).

C’est le calcul que l’on a fait dans la section précédente. L’ensemble Γ_ε contient Z_G(ε)(F)K_F⁰ appartienne à ce support. Comme on l’a dit ci-dessus, il existe donc k ∈ K_F⁰

b et Y ∈ gε,tn(F) tels que g⁻¹εexp(X)g = k⁻¹εexp(Y)k. En fixant un entier c > 1 premier à ptel que ε^c∈Z(G)(F), et en élevant l’égalité précédente à la puissancec, on obtientexp(cg⁻¹Xg) = exp(ck⁻¹Y k), d’oùexp(g⁻¹Xg) = exp(k⁻¹Y k), d’où aussi g⁻¹εg =k⁻¹εk. Mais alors gk⁻¹ ∈ ZG(ε)(F) et γ ∈ ZG(ε)(F)K_F⁰

b contrairement à l’hypothèse. Cela démontre (9).

On peut donc supposer γ ⊂ Z_G(ε)(F). On vérifie qu’alors, les constantes m_γ intervenant dans la section précédente sont toutes égales. Le (i) du lemme ci-dessus assure que les fonctions ϕγ intervenant dans l’assertion 5.7 (6) sont les images ^γϕb

deϕ_b par l’action deγ surD(g_ε). Cette assertion devient θ_b(εexp(X)) =c_bX

γ∈γ

θγϕb(X),

oùc_b est une certaine constante non nulle. On posef =P

b∈Bc⁻¹_b |γ|⁻¹f_b. C’est un

puisθ⁰(εexp(X)) =θD(εexp(X))siX∈gε,tn(F)etεexp(X)∈Gell(F). Cela prouve (5)

et la proposition.

5.9. Filtration sur le groupe et quasi-caractères. — Notons Qc(G) l’espace des