Un premier théorème

Théorème. — L’image de l’application D^G : D(G) → I(G)^∗ est formée de quasi-caractères de niveau0 sur G(F).

Démonstration. — En vertu du (ii) du lemme 5.4, il suffit de prouver que, pour tout élémentf ∈Dcusp(G),D_f^Gest un quasi-caractère de niveau0 surG(F). La famillef peut être infinie mais la définition des quasi-caractères de niveau 0 est locale et, localement, seuls un nombre fini de fonctions de la famillef interviennent. On peut donc aussi bien supposer qu’il y a une seule fonction. C’est-à-dire que l’on peut fixer

(F, ν)∈ Fac^∗_max(G)et f ∈ Ccusp(G^ν_F)et supposer que f est réduit à l’unique fonc-tionf. On a alorsD^G_f =D^G_f

F. C’est un quasi-caractère d’après 5.2 (6). On noteθsa fonction localement intégrable associée. Soitεun élément deG(F)qui estp⁰-compact modZ(G). On doit calculerθ(εexp(X))pour toutX ∈g_ε,tn(F)tel queεexp(X)soit fortement régulier. On peut évidemment supposerν =wG(ε), sinon cette fonction est nulle. FixonsX. NotonsT le commutant deX dansGε, qui est aussi le commutant de εexp(X) dans G. Notons M le commutant de A_T dans G. C’est un Levi de G contenantεetexp(X)par construction. On poseMε=Gε∩M. C’est un Levi deGε

et on aX∈mε(F). L’élémentX est elliptique dansmε(F)et εexp(X)est elliptique dansM(F). Notons que AT =AMε=AM. D’après 5.2 (7), on a

(1) θ(εexp(X)) = (−1)^aM−aGD^G(εexp(X))^−1/2m(AM)m(AG)⁻¹J_M^G(εexp(X), f_F)

= (−1)^aM−aGm(AM)m(AG)⁻¹ Z

A_M(F)\G(F)

f_F(g⁻¹εexp(X)g)vM(g)dg.

Pourg∈G(F), on a

(2) g⁻¹εexp(X)g∈K_F^ν si et seulement sig⁻¹εg∈K_F^ν et g⁻¹exp(X)g∈K_F⁰. En effet, soit c > 1 un entier premier à p tel que ε^c ∈ Z(G)(F). Supposons g⁻¹εexp(X)g∈K_F^ν. Alorsg⁻¹ε^cexp(cX)g∈K_F^†. On a aussi

g⁻¹ε^cg∈Z(G)(F)⊂K_F^†.

Donc g⁻¹exp(cX)g ∈ K_F^†. Il en résulte que g⁻¹exp(X)g ∈ K_F^† et, puisque c’est un élément topologiquement unipotent, on a forcément g⁻¹exp(X)g ∈K_F⁰. Puisque g⁻¹εexp(X)g∈K_F^ν, cela entraîneg⁻¹εg∈K_F^ν. La réciproque est évidente. D’où (2).

On a aussi :

(3) la classe de conjugaison parG(F)deεcoupeK_F^ν en un nombre fini de classes de conjugaison parK_F⁰.

En effet, notonsCl(ε)cette classe de conjugaison parG(F). C’est un sous-ensemble fermé deG(F), donc son intersection avecK_F^ν est compacte. L’application

Z_G(ε)(F)\G(F)−→Cl(ε) g7−→g⁻¹εg

est un homéomorphisme. Puisque les orbites de l’action de K_F⁰ sur l’ensemble de départ sont ouvertes, il en est de même de celles sur l’ensemble d’arrivée. Puisque Cl(ε)∩K_F^ν est compact, il n’y a donc qu’un nombre fini de telles orbites, d’où (3).

NotonsΓ_εl’ensemble des g∈G(F)tels queg⁻¹εg∈K_F^ν. En conséquence de (3), l’ensemble Gε(F)\Γε/K_F⁰ est fini. Fixons-en un ensemble de représentants γ. Pour toutγ∈γ, définissons comme en 3.4 la facetteγFet posons

mγ = mes(Gε(F)∩K_γ⁰_F)⁻¹,

la mesure étant calculée relativement à la mesure implicitement fixée sur Gε(F).

pour toute fonction intégrableϕsurAM(F)\Γε. On applique cela à la fonction ϕ(g) =f_F(g⁻¹εexp(X)g)vM(g).

La fonctionf_F est invariante par conjugaison parK_F⁰. On voit que f_F(k⁻¹γ⁻¹g⁻¹εexp(X)gγk) = (^γf)_γF(εexp(g⁻¹Xg))

Mais, si y est topologiquement unipotent, on peut remplacer dans cette relation le groupe (G_F)^ε par sa composante neutreG_ε,F⁰. De plus cette réductiony est unipo-tente. En appliquant cela à y= exp(g⁻¹Xg), on en déduit le (i) de l’énoncé.

Notons A_F⁰ le plus grand sous-tore central et déployé deGε,F⁰. Notons M⁰ son commutant dansG_F, qui est un Levi de ce groupe. Fixons un élémentx_∗∈X_∗(A_F⁰) en position générale, notons P⁰ le sous-groupe de G_F engendré par M⁰ et par les groupes radiciels relatifs à l’action deA_F⁰associés aux racinesαtelles quehα, x_∗i>0.

C’est un élément deP(M⁰). Le toreA_F⁰ est contenu dans l’ensemble des points fixes de l’action de ε sur G_F. Il en résulte que cette action conserve M⁰ et P⁰. Alors

P^0ν = εP⁰ est un espace parabolique de G^ν_F d’espace de Levi M^0ν = εM⁰. Sur la clôture algébrique kF, les valeurs propres de l’action de εdans uP⁰ sont des racines de l’unité, puisque ε est p⁰-compact modZ(G). L’espace des points fixes de l’action deεdansg_F estg_ε,F0, qui est inclus dansm⁰ par définition deM⁰. Donc les valeurs propres de l’action deεdans u_P⁰ sont toutes différentes de1. Il en résulte aisément que, pour tout élément unipotentn∈M⁰(kF), l’action 1−ad(εn)dansuP⁰(kF)est un isomorphisme. Pour un tel élémentn, il s’en déduit l’égalité

X

u∈U_P0(kF)

f(εnu) = X

u∈U_P0(kF)

f(u⁻¹εnu).

Puisque f est invariante par conjugaison, le membre de droite n’est autre que

|UP⁰(kF)|f(εn). Supposons queP^0ν soit un espace parabolique propre deG^ν_F. Alors le membre de gauche est nul puisque f est cuspidale et invariante par conjugai-son. Dans ce cas f(εn) = 0. A fortiori, cela est vrai pour tout élément unipotent n ∈ Gε,F⁰(kF), auquel cas f(εn) = f⁰(n). D’où f⁰ = 0. Pour démontrer le (ii) de l’énoncé, il suffit de prouver que, sous les hypothèses de cette assertion, l’espace parabolique P^0ν est propre, ou encore que M⁰ 6=G_F. On démontre la contraposée de cette assertion. Supposons donc M⁰ = G_F. Notons A_F le plus grand sous-tore central déployé dans G_F et notons A^ν_F le plus grand sous-tore contenu dans l’en-semble des points fixes de l’action deεdansA_F. L’hypothèseM⁰=G_F signifie que A_F⁰ ⊂A_F. Puisqueεagit trivialement sur A_F⁰, cela entraîneA_F⁰ ⊂A^ν_F d’où l’éga-lité A_F⁰ = A^ν_F car l’inclusion opposée est immédiate. Puisque (F, ν) ∈ Facmax(G), on a dim(A^ν_F) = dim(AG). D’où dim(A_F⁰) = dim(AG). Or on a évidemment dim(A_F⁰)>dim(A_Gε)>dim(A_G). Ces trois dimensions sont donc égales. L’égalité dim(A_F⁰) = dim(AG_ε)équivaut à ce queF⁰ soit réduit à un point. L’égalité des trois dimensions précédentes est donc le contraire de l’hypothèse de (ii), ce qui achève la démonstration de cette assertion.

Supposons maintenant quedim(A_Gε) = dim(A_G)et queF⁰ soit réduit à un point, prouvons quef⁰est cuspidale. Fixons un sous-groupe parabolique propreP⁰_εdeGε,F⁰

de composante de LeviM⁰_ε. NotonsA⁰ le plus grand sous-tore central déployé deM⁰_ε etM⁰le commutant deA⁰dansG_F. Fixons un élémentx∗∈X∗(A⁰)tel quehα, x∗i>0 pour toute racineαdeA⁰dansu_P⁰

ε. On définit un sous-groupe paraboliqueP⁰deG_F par la condition :u_P⁰ est la somme des espaces radiciels associés aux racinesαdeA⁰ dans g_F telles que hα, x∗i > 0. En supposant x∗ en position générale, P⁰ a pour composante de LeviM⁰ et on aP⁰∩G_ε,F⁰ =P⁰_ε. De plusP⁰ est propre puisqueP⁰_ε l’est. L’argument est maintenant similaire à celui de la preuve de (ii). L’ensemble P^0ν =εP⁰ est un espace parabolique deG^ν_F d’espace de LeviM^0ν =εM⁰. Pour un

et cette dernière expression est nulle car f est cuspidale. La nullité de la première expression signifie quef⁰ l’est. Cela démontre le lemme.

Notons γ_max le sous-ensemble des γ ∈ γ tels que F⁰γ soit réduit à un point. Si dim(AG_ε)>dim(AG), le (ii) du lemme et la formule (4) impliquent queθ(εexp(X)) = 0 et on a terminé. Supposons désormais dim(AG_ε) = dim(AG). Alors les assertions (i) et (ii) du lemme entraînent que la formule (4) se transforme en

(5) θ(εexp(X)) = (−1)^aMε−aGm(A_Mε)m(A_G)⁻¹ grâce au choix d’un sous-groupe compact spécial deG(F). Fixons aussi un tel sous-groupe compactKεdu groupeGε(F), qui permet de définir un poidsvM_ε. Une formule d’Arthur, que l’on a reprise en [34, Lem. 3.3], dit que, pourg∈G_ε(F),v_M,γ(g)−vMε(g) est une somme finie de termesv_Q⁰

ε(g), oùQ_ε est un sous-groupe parabolique propre deGεcontenantMεetv⁰_Q

εest une fonction localement intégrable surGε(F)invariante à gauche parMε(F)et parUQ_ε(F). Pour de telles données, notonsLεla composante de Levi deQ_εcontenantM_ε. En utilisant la décomposition d’Iwasawa, on calcule

Z où c > 0 ne dépend que des mesures de Haar. Puisque X est régulier, l’intégrale intérieure enuse transforme en très cuspidale d’après le (iii) du lemme. Les fonctionsv_Q⁰

ε ne contribuent donc pas à la formule (5) et on peut récrire cette formule

θ(εexp(X)) = (−1)^aMε−aGm(AMε)m(AG)⁻¹

Y 7→ θγ(exp(Y)), définie sur gε,tn(F), n’est autre que la fonction associée à la distributionD^G_ϕγ^ε surgε(F). Notons θϕ_γ cette fonction. On obtient la formule finale (6) θ(εexp(X)) = (−1)^aGε−aGm(AG_ε)m(AG)⁻¹ X

γ∈γ_max

mγθϕ_γ(X).

On applique le (ii) de la proposition 5.5. Il entraîne que chaque fonction θϕ_γ est combinaison linéaire de fonctionsY 7→bj(O, Y)oùOparcourt les orbites nilpotentes de g_ε(F). Il en est donc de même de la fonction X 7→ θ(εexp(X)). Cela signifie

queD_f^G est un quasi-caractère de niveau0surG(F).

5.8. Restriction aux éléments elliptiques d’un quasi-caractère sur G(F) de