Injectivité de D G

M∈LminD(G, M).

Proposition

(i) L’applicationD^G:D(G)→I(G)^∗ est injective.

(ii) Pour tout n ∈ Z, l’espace D^G(D(G))∩AnnⁿI(G)^∗ est égal à la somme des D^G(D(G, M))oùM parcourt les éléments deLmintels que aM >n.

Démonstration. — Notons Dⁿ(G)la somme desD(G, M)oùM parcourt l’ensemble de Levi indiqué ci-dessus. Par construction, on a

Dⁿ(G) =Dⁿ⁺¹(G) + X

M∈Lⁿmin

D(G, M).

Il résulte des définitions que, pour tout M ∈ Lⁿmin, D(G, M) est l’image naturelle dansD(G)deDcusp(M)^WG(M). On a aussiD^G(Dⁿ(G))⊂D^G(D(G))∩AnnⁿI(G)^∗. On en déduit une suite d’applications

L

M∈Lⁿmin

Dcusp(M)^WG(M)−→ L

M∈Lⁿmin

D(G, M)−→Dⁿ(G)/Dⁿ⁺¹(G) δⁿ

−−−→(D^G(D(G))∩AnnⁿI(G)^∗)/(D^G(D(G))∩Annⁿ⁺¹I(G)^∗)

−→GrⁿI(G)^∗' L

M∈Lⁿmin

Icusp(M)^∗WG(M). Le corollaire précédent, appliqué aux Levi M ∈ Lⁿmin, implique que l’application composée est injective. Les deux premières applications de la suite sont surjectives. Il en résulte queδⁿ est injective. Pour n=a_G, on a

D^G(D(G))∩Ann^aGI(G)^∗=D^G(D(G)) =D^G(Dⁿ(G)).

L’injectivité deδⁿ pour toutnentraîne alors par récurrence que, pour toutn, on a D^G(D(G))∩AnnⁿI(G)^∗=D^G(Dⁿ(G)) et Ker(D^G)⊂Dⁿ(G).

Pourn=a_Mmin+ 1, cette dernière relation implique l’injectivité deD^G. 3.12. Variantes avec caractère central. — Pour un groupe topologique abélien et localement compact X, nous appelons caractère de X un homomorphisme continu deX dansC^×. Soitξun caractère deAG(F). On noteC_c,ξ^∞(G(F))l’espace des fonc-tions surG(F), à valeurs complexes, localement constantes, telles que

f(ag) =ξ(a)⁻¹f(g) pour tousa∈AG(F)et toutg∈G(F)

et telles que l’image dans AG(F)\G(F) du support de f soit compacte. Pour f ∈ C_c^∞(G(F)), notons f_ξ la fonction définie par

f_ξ(g) = Z

A_G(F)

f(ag)ξ(a)da.

L’application linéaire f 7→ fξ est une surjection de C_c^∞(G(F)) sur C_c,ξ^∞(G(F)).

De même que l’on a défini I(G), on définit l’espace Iξ(G). L’action de AG(F) sur C_c^∞(G(F))se descend en une action surI(G). Le groupe A_G(F)agit dualement sur I(G)^∗. L’espaceI_ξ(G)^∗dual deI_ξ(G)s’identifie au sous-espace des éléments deI(G)^∗ qui se transforment selonξ. Précisément, un élémentdde ce sous-espace s’identifie à l’élément de Iξ(G)^∗ qui envoiefξ surd(f)pour toutf ∈C_c^∞(G(F)).

SoitF∈Fac(G). Le groupeAG(F)est contenu dansK_F^†. Il agit par multiplication sur ce groupe. La multiplication par a ∈ AG(F) envoie un sous-ensemble K_F^ν sur K_F^ν+νa, où on a posé ν_a =w_G(a). Si (F, ν) ∈ Fac^∗_max(G), on a aussi(F, ν +ν_a) ∈ Fac^∗_max(G). Dans ce cas, la multiplication parase descend en un isomorphisme encore noté

a:Ccusp(G^ν_F)−→Ccusp(G^ν+ν_F ^a).

Ces isomorphismes définissent une action deA_G(F)sur l’espaceDcusp(G)(on prendra soin de la distinguer de l’action par conjugaison, qui est triviale). L’action du sous-groupe AG,tu(F) est triviale. L’action se descend en une action sur Dcusp(G) que l’on note(a,f)7→f^a. Soitξun caractère modérément ramifié deAG(F), c’est-à-dire trivial sur A_G,tu(F). On note Dcusp,ξ(G) le sous-espace des éléments f ∈ Dcusp(G) tels quef^a=ξ(a)f pour touta∈AG(F).

Plus généralement, on définit de même les variantes « à caractère central » de beaucoup d’objets déjà définis (au sens ci-dessus : il s’agit d’un caractèreξdeAG(F)).

On les note en ajoutant un indiceξdans les notations. Notons en particulier l’égalité (1) D^G(D(G))∩I(G)^∗_ξ =D^G(Dξ(G)),

qui résulte aisément de l’injectivité de D^G. Plus généralement, siξ₁, . . . , ξ_n sont des caractères deAG(F),

(2) D^G(D(G))∩ X

i=1,...,n

I(G)^∗_ξ

i

=D^G X

i=1,...,n

Dξi(G) .

Démonstration. — On peut supposer lesξidistincts. Par interpolation, sidappartient au membre de gauche, les composantesd_ideddans chaqueI(G)^∗_ξ

i sont combinaisons linéaires finies de translatésd^a pour des a∈AG(F). Or cesd^a appartiennent tous à D^G(D(G)). Doncdi∈D^G(D(G))∩I(G)^∗_ξ

i et il reste à appliquer l’égalité (1).

4. Éléments compacts,p⁰-éléments

4.1. Retour sur les éléments topologiquement unipotents. — Pour x ∈ Gtu(F), l’homomorphismen7→xⁿdeZdansG(F)se prolonge en un homomorphisme continu z7→x^z deZp dansG(F). Il en résulte que,

(1) siJ ⊂G(F)est un sous-groupe fermé et s’il existe un entierc>1premier àptel quex^c ∈J, alorsx∈J.

On a :

(2) l’application naturelle Gtu(F) → GAD,tu(F) est surjective ; ses fibres sont les orbites de l’action par multiplication de(Z(G)⁰)tu(F)dansGtu(F).

Démonstration. — Notons π : G → GAD l’homomorphisme naturel. L’hypothèse (Hyp)(G)entraîne queGAD(F)/π(G(F))est d’ordre premier àp. Poury∈GAD,tu(F), il y a donc un entier c>1 premier àptel que y^c ∈π(G(F)). D’après (1), y appar-tient à π(G(F)). Soitx∈G(F) tel que π(x) =y. On décomposex=x_ssx_u, oùx_ss est semi-simple,xuest unipotent etxss etxu commutent. Fixons un sous-tore maxi-mal T de G tel que xss ∈ T(F) et fixons une extension galoisienne finie F⁰ de F, de degré dpremier à p, de sorte que T soit déployé surF⁰. Posons T_ad =T /Z(G).

L’élémentπ(xss)est topologiquement unipotent. La projectionTtu(F⁰)→Tad,tu(F⁰) s’identifie à

X_∗(T)⊗_Z(1 +pF⁰)−→X_∗(Tad)⊗_Z(1 +pF⁰).

Elle est surjective car l’hypothèse (Hyp)(G) implique que l’image de X_∗(T) dans X∗(Tad)est un sous-groupe d’indice fini premier àp. On peut donc choisirx1∈Ttu(F⁰) tel que π(x₁) = π(x_ss). L’élément x₂ = Norme_F0/F(x₁) appartient à T_tu(F) et on a π(x2) = π(x^d_ss). D’après (1), cela implique qu’il existe x3 ∈ Ttu(F) tel que π(x3) =π(xss). L’élémentx3xu appartient à Gtu(F)et satisfait àπ(x3xu) =y. Cela démontre la première assertion.

L’hypothèse (Hyp)(G) entraîne que Z(G)/Z(G)⁰ est d’ordre premier à p. La se-conde assertion s’en déduit par le même argument qui prouvait ci-dessus que y

ap-partient àπ(G(F)).

On a :

(3) pourx∈Gtu(F), l’image réciproque deZG_AD(xad)dansGest égale à ZG(x).

Démonstration. — Notons simplement ZG(xad) cette image réciproque. Il est bien connu que ZG(x) est un sous-groupe distingué d’indice fini dansZG(xad) et l’hypo-thèse (Hyp)(G)implique que cet indice est premier à p. Soitg ∈ Z_G(x_ad). Il existe donc un entier c > 1 premier à p tel que g^c commute à x. Puisque g ∈ Z_G(x_ad) il existe z ∈Z(G) tel que g⁻¹xg =zx. On a alors z^c = 1. Or, puisque x et g⁻¹xg sont topologiquement unipotents,zest lui aussi topologiquement unipotent. L’égalité

z^c= 1entraîne alors que z= 1, doncg∈Z_G(x).

On utilisera souvent la propriété suivante :

(4) soit x un élément semi-simple de G(F) et soit y ∈ Z_G(x)(F)∩G_tu(F); alors y∈G_x,tu(F).

En effet, l’ordre du groupeZ_G(x)/G_xest borné par le nombre d’éléments du centre du revêtement simplement connexe deGAD. Il est donc premier àpd’après (Hyp)(G).

4.2. Éléments topologiquement nilpotents et exponentielle. — On note g l’al-gèbre de Lie de G. On appelle « conjugaison » parGl’action adjointe de G dansg.

Pour g ∈ G, on note cette action de g, soit ad(g), soitX 7→ gXg⁻¹. On notegreg

l’ensemble des éléments semi-simples réguliers deg.

SoitX ∈g(F), fixons un sous-tore maximal T deGtel que Xss ∈t(F) et fixons une extension finie F⁰ de F telle que T soit déployé sur F⁰. L’élément X est dit topologiquement nilpotent si et seulement siχ(Xss)∈pF⁰ pour toutχ∈X^∗(T)(cela

ne dépend pas du choix deT). Une autre caractérisation est la suivante. Fixons une sous-algèbre d’Iwahori b de g, c’est-à-dire b = k_F pour une facette F ∈ Fac(G) de dimension maximale. Notons uson radical pro-p-nilpotent, c’est-à-dire u=k⁺_F pour la même facette. Alors X est topologiquement nilpotent si et seulement si X est conjugué par un élément de G(F)à un élément de u(F). On notegtn(F)l’ensemble des éléments topologiquement nilpotents deg(F).

On peut définir une application exponentielle exp qui envoie un voisinage de 0 dans g(F)sur un voisinage de 1 dans G(F)et qui est équivariante pour les actions par conjugaison de G(F). Sous l’hypothèse (Hyp)(G), ces voisinages sont les plus grands possibles, c’est-à-dire qu’on dispose de l’application exponentielle

exp :gtn(F)−→Gtu(F)

équivariante pour les actions par conjugaison de G(F) et qui un homéomorphisme entre les ensembles de départ et d’arrivée, cf. [9, App. B] pour cette propriété et celles ci-dessous.

Pour F ∈ Fac(G), l’exponentielle se restreint en des homéomorphismes de gtn(F)∩k_F surGtu(F)∩K_F⁰ et de k⁺_F surK_F⁺. Il s’en déduit une bijection

(gtn(F)∩k_F)/k⁺_F −→(Gtu(F)∩K_F⁰)/K_F⁺.

On peut prolonger les paires K_F⁰ ⊃ K_F⁺ et k_F ⊃ k⁺_F en des suites (K_F,n)_n∈N et (k_F,n)_n∈N de sorte que

– K_F⁰ =K_F,0, K_F⁺=K_F,1,K_F,n⊃K_F,n+1,∩n∈NK_F,n={1}; – k_F=k_F,0,k⁺_F =k_F,1,k_F,n⊃k_F,n+1,∩_n∈Nk_F,n={0};

– pour n>1, K_F,n est un sous-groupe distingué de K_F^† et k_F,n est un oF-idéal dek_F;

– pour n >1, K_F,n = exp(k_F,n) et l’exponentielle se réduit en un isomorphisme de groupes dek_F,n/k_F,n+1 surK_F,n/K_F,n+1.

4.3. Élémentsp⁰-compacts. — Soitx∈G(F). On dit quexest

– p⁰-compact si et seulement s’il existe un entierc>1premier àptel quex^c= 1; – p⁰-compact modZ(G) si et seulement si l’image x_ad de x dansG_AD(F) est p⁰ -compacte.

Pourx∈G(F), fixons un sous-tore maximalT deGcontenantxss. Alors : – xestp⁰-compact si et seulementx=xss et il existe un entierc>1 premier àp tel queχ(x)^c= 1pour toutχ∈X^∗(T);

– xest p⁰-compact modZ(G) si et seulementx=x_ss et il existe un entier c >1 premier à p tel que χ(x)^c = 1 pour tout χ ∈X^∗(T) dont la restriction à Z(G)est triviale.

Puisque les classes de conjugaison de sous-tores maximaux deG sont en nombre fini, on peut choisir une extensionF⁰/F d’ordre premier àptelle que tout sous-tore maximal de G soit déployé sur F⁰. Notons c le nombre d’éléments non nuls de son corps résiduel. C’est un entier premier àp. On voit qu’il n’y a qu’un nombre fini de classes de conjugaison par G(F) d’éléments p⁰-compacts et que l’on a x^c = 1 pour

tout élément p⁰-compact de G(F). Plus généralement, on a x^c ∈ Gtu(F) pour tout élément compactx∈G(F). On a :

(1) tout élément compact x ∈ G(F) s’écrit de façon unique x= x_p⁰x_tu, où x_p⁰ est p⁰-compact,xtu∈Gtu(F)etxp⁰ etxtu commutent ; de plus,xp⁰ et xtu appartiennent à x^Z.

Démonstration. — Comme on vient de le dire, x^c est topologiquement unipotent.

Soitc⁰l’inverse decdansZp. On posextu= (x^c)^c0etxp⁰ =xx⁻¹_tu. Ces termes satisfont aux conditions requises et on voit que ce sont les seules solutions possibles.

On déduit de (1) et de 4.1 (2) et (3) que

(2) tout élément x ∈ G(F) compact modZ(G) s’écrit x = x_p⁰x_tu, où x_p⁰ est p⁰-compact modZ(G),xtu ∈Gtu(F)etxp⁰ etxtucommutent ; le groupe(Z(G)⁰)tu(F) agit sur l’ensemble des solutions : un élément z ∈ (Z(G)⁰)tu(F) envoie le couple (xp⁰, xtu)sur(xp⁰z⁻¹, xtuz); les solutions forment une unique orbite pour cette action ; de plus, pour toute solution (x_p⁰, x_tu), les deux éléments x_p⁰ et x_tu appartiennent à l’adhérence du groupeZ(G)(F)x^Z.

On utilisera aussi la variante suivante. SoitZ un sous-groupe algébrique deZ(G).

Pourx∈G(F), on dit quexest compact modZ, resp.p⁰-compact modZ, si et seule-ment si l’image dexdans(G/Z)(F)est compacte, resp.p⁰-compacte. Supposons que le quotientZ(G)(F)/Z(F)soit compact. Alorsxest compact modZ si et seulement s’il est compact modZ(G)(la propriété analogue pour «p⁰-compact » est évidemment fausse). On a

(3) tout élément x ∈ G(F) compact modZ(G) s’écrit x = xp⁰xtu, où xp⁰ est p⁰-compact modZ,x_tu∈G_tu(F)et x_p⁰ etx_tucommutent ; le groupeZ_tu(F)agit sur l’ensemble des solutions comme en (2) ; les solutions forment une unique orbite pour cette action.

4.4. p⁰-éléments. — Soitx∈G(F). On lui associe un sous-groupe paraboliqueQ[x]

deGet une composante de LeviL[x]deQ[x]de la façon suivante, cf. [7]. L’élémentx_ss agit par conjugaison surg. On fixe une extension galoisienne finieF⁰ deF telle que toutes les valeurs propres appartiennent à F^0×. On noteΣl’ensemble de ces valeurs propres et, pour σ∈Σ, gσ l’espace propre. Alors l’algèbre de Lieq[x] est la somme des g_σ sur lesσ ∈ Σtelles que |σ|_F⁰ 61 et l[x] est la somme des g_σ sur lesσ ∈Σ telles que|σ|F⁰ = 1. Le couple (Q[x], L[x]) étant uniquement défini et ne dépendant que dexss, il est défini surF et conservé parZG(xss). Cela entraîne

(1) Z_G(x_ss)⊂L[x], a fortioriZ_G(x)⊂L[x]et x∈L[x].

Par construction,x, vu comme élément deL[x], est compact modZ(L[x])(on dira quexest compact dansL[x] modZ(L[x])). Le LeviL[x]est le plus grand LeviLdeG tel quexappartienne àLet quexsoit compact dansLmodZ(L).

Nous dirons que x est un p⁰-élément si et seulement si x est p⁰-compact dans L[x] modZ(L[x]). Avec les notations ci-dessus, cela équivaut à ce que x = xss soit

semi-simple et, pour toutσ∈Σtelle que|σ|F = 1,σsoit une racine de l’unité d’ordre premier àp. On noteG(F)p⁰ l’ensemble desp⁰-éléments deG(F).

Lemme

(i) Tout élément x ∈ G(F) s’écrit x = x_p⁰x_tu où x_p⁰ est un p⁰-élément, x_tu est topologiquement unipotent etxp⁰ etxtu commutent.

(ii) Pour une telle décomposition, les éléments xp⁰ etxtu appartiennent à L[x](F) et on a L[xp⁰] =L[x].

(iii) Pour une telle décomposition, on a

Z_G(x) =Z_G(x_p⁰)∩Z_G(x_tu) et G_x= (G_x

p0)_xtu.

(iv) La décomposition est unique modulo l’action de (Z(L[x])⁰)tu(F) similaire à celle de 4.3 (2).

Démonstration. — Considérons une décomposition x=yx_tu oùx_tu est topologique-ment unipotent ety et xtu commutent. Montrons que

(2) y, xtu ∈L[x] et L[x] =L[y].

Les éléments y etx_tu commutent àxet la première assertion résulte de (1). Notons ici xad, yad et xtu,ad les images de x, y et xtu dans L[x]AD(F). L’adhérence y^Z_ad du groupe engendré par yad est contenue dans le produit des deux groupes x^Z_ad et x^Z_tu,ad. Ce dernier groupe est compact puisquex_tu est topologiquement unipotent. Le premier est compact par définition deL[x]. Doncy_ad^Z est compacte, c’est-à-dire quey est compact modZ(L[x]). Or L[y] est le plus grand Levi L tel que y ∈ L et y soit compact modZ(L). Donc L[x]⊂L[y]. On obtient l’inclusion opposée en échangeant les rôles dexet y(on ay =xx⁻¹_tu). Cela prouve (2).

On a vu que x appartenait à L[x] et était compact modZ(L[x]). En appli-quant 4.3 (2) dans le groupe L[x], on obtient une décomposition x = x_p⁰x_tu où xp⁰, xtu ∈ L[x](F), xp⁰ est p⁰-compact modZ(L[x]), xtu est topologiquement uni-potent et xp⁰ et xtu commutent. D’après (2), on a L[xp⁰] = L[x], donc xp⁰ est p⁰-compact modZ(L[xp⁰]), donc c’est unp⁰-élément. Cela démontre (i).

Pour une décomposition x = x_p⁰x_tu comme en (i), les éléments x_p⁰ et x_tu com-mutent à xdonc appartiennent àL[x]d’après (1). Cela démontre la première asser-tion de (ii) et la seconde résulte de (2). En définitive, les décomposiasser-tionsx=xp⁰xtu

satisfaisant à (i) sont exactement les décompositions dans L[x](F) où l’on impose quex_p⁰ est p⁰-compact modZ(L[x]). Le (iv) résulte donc de 4.3 (2) appliqué dans le groupe L[x].

Pour (iii), les commutants ZG(x) et ZG(xp⁰)sont contenus dans L[x]d’après (1) et la dernière assertion de (ii). On ne perd rien à supposerL[x] =G. Il est clair que ZG(xp⁰)∩ZG(xtu)⊂ZG(x). L’imagextu,addextudansGADappartient à l’adhérence du groupe engendré par xad. L’imagegad d’un élément g ∈ZG(x) commute donc à xtu,ad. D’après 4.1 (2), cela implique queg ∈ZG(xtu). Alorsg appartient forcément aussi àZ_G(x_p⁰). Cela démontre la première égalité de (iii). La composante neutre de ZG(xp⁰)∩ZG(xtu)est clairement(Gx_p0)x_tu, d’où la seconde égalité.

Pour x ∈ G(F), appelons p⁰-décomposition de x une décomposition x = xp⁰xtu

satisfaisant aux conditions du (i) de l’énoncé.

4.5. Décomposition de G(F) associée aux p⁰-éléments. — Pour tout ε ∈ G(F)_p⁰, posonsC(ε) =εGε,tu(F) =εexp(gε,tn(F)). Évidemment, l’action deG(F)par conju-gaison conserveG(F)p⁰ et, pourg∈G(F), on agC(ε)g⁻¹=C(gεg⁻¹). Posons

CG(ε) = S

g∈G(F)

C(g⁻¹εg) = S

g∈G(F)

g⁻¹C(ε)g.

On a déjà utilisé le discriminant de Weyl D^G(x)d’un élément x ∈G(F). Il y a de même un discriminant de WeylD^G(X)pour un élémentX∈g(F).

Lemme

(i) Pour ε∈G(F)p⁰, l’ensemble CG(ε)est ouvert et fermé.

(ii) Pour ε∈ G(F)_p⁰, il existe un nombre réel d^G(ε) >0 tel que, pour tout X ∈ g_ε,tn(F), on ait

D^G(εexp(X)) =d^G(ε)D^Gε(X).

(iii) On a les égalités

G(F) = S

ε∈G(F)_p0

C(ε) = S

ε∈G(F)_p0

CG(ε).

(iv) Soient ε, ε⁰ ∈ G(F)p⁰. Alors C(ε) = C(ε⁰) ou C(ε)∩C(ε⁰) = ∅. L’égalité a lieu si et seulement s’il existe z∈(Z(L[ε])⁰)tu(F)tel queε⁰=εz. Dans ce cas, on a

L[ε] =L[ε⁰], G_ε=G_ε⁰ et z∈G_ε,tu(F).

Démonstration. — La propriété suivante est bien connue (cf. [12, Cor. 2.4]) : soit x∈G(F)un élément semi-simple etV_x⁰ un voisinage de1 dansGx(F); alors il existe un voisinageVx de1dansGx(F)contenu dansV_x⁰ tel qu’en posant

B(x, Vx) ={g⁻¹xyg|y∈Vx, g∈G(F)},

cet ensembleB(x, V_x)soit ouvert et fermé. Appliquons ceci à un élément semi-simple x∈C(ε). On aG_x⊂G_εd’après le (iii) du lemme 4.4. Prenons

V_x⁰={y∈Gx(F)|xy∈C(ε)},

dont on déduit un voisinage Vx. D’après le choix de V_x⁰, B(x, Vx) est contenu dans CG(ε). La réunion desB(x, Vx)quandxparcourt les éléments semi-simples deC(ε) contient tous ces éléments semi-simples. Étant invariante par conjugaison, elle contient tous les éléments semi-simples de CG(ε) et contient en fait CG(ε) tout entier : un élément quelconque est conjugué à un élément arbitrairement voisin de sa partie semi-simple. MaisGε,tu(F)est compact modulo conjugaison parGε(F)et doncCG(ε)est compact modulo conjugaison par G(F). On peut extraire un sous-recouvrement de CG(ε)par un nombre fini d’ensembles B(x, Vx). Il s’agit en fait d’une réunion finie puisque ces ensembles sont contenus dans CG(ε). Puisqu’ils sont ouverts et fermés, on obtient (i).

Les deux parties de la formule (ii) sont insensibles au remplacement de X par sa partie semi-simple. On peut donc supposer X semi-simple. On fixe un sous-tore maximal T de G_ε tel que X ∈ t(F). On a aussi ε ∈ T(F) puisque T commute à ε. Fixons une extension finie F⁰ de F telle queT soit déployé surF⁰. On note Σ l’ensemble des racines de T dans G, Σ^L[ε], resp.Σ^Gε, le sous-ensemble des racines dansL[ε], resp.Gε. On aΣ^Gε⊂Σ^L[ε]. Par définition,

D^G(ε) = Q

α∈Σ(1−α(εexp(X))) _F D^Gε(X) =

Q

α∈Σ^Gεα(X) _F.

Puisqueexp(X)est topologiquement unipotent,α(exp(X))appartient à1 +pF⁰ pour tout α ∈ Σ. A fortiori |α(exp(X))|F⁰ = 1. Si α∈ Σ−Σ^L[ε], on a |α(ε)|F⁰ 6= 1 par définition deL[ε]. Puisque|α(exp(X))|_F⁰ = 1, on a

|1−α(εexp(X))|F⁰ =|1−α(ε)|F⁰

qui est non nul. Si α ∈ Σ^L[ε], α(ε) est une racine de l’unité d’ordre premier à p puisque ε est p⁰-compact modZ(L[ε]). Cette racine est égale à 1 si et seulement si α∈Σ^Gε. Siα∈Σ^L[ε]−Σ^Gε, on a

α(ε)∈o^×_F0 −(1 +p_F⁰) et α(exp(X))∈1 +p_F⁰ donc encore

|1−α(εexp(X))|F⁰ =|1−α(ε)|F⁰ = 1.

Enfin, siα∈Σ^Gε, on aα(ε) = 1donc

|1−α(εexp(X))|F⁰ =|1−α(exp(X))|F⁰ =|1−exp(α(X))|F⁰

avecα(X)∈pF⁰, donc

|1−α(εexp(X))|_F⁰ =|α(X)|_F⁰. L’assertion (i) en résulte.

Le (i) du lemme 4.4 implique la première égalité du (i) d’où trivialement la deuxième.

Soientε, ε⁰∈G(F)p⁰. SupposonsC(ε)∩C(ε⁰)6=∅et fixonsxdans cette intersec-tion. On peut écrire

x=εu=ε⁰u⁰ avecu∈G_ε,tu(F)etu⁰∈G_ε⁰_,tu(F).

Ces deux décompositions sont des p⁰-décompositions. D’après le (iv) du lemme 4.4, il existe z∈(Z(L[ε])⁰)tu(F)tel queε⁰=εz. Inversement, s’il existe un telz, l’asser-tion (2) de 4.4 appliquée àx=ε⁰=εznous dit queL[ε] =L[ε⁰]. D’après l’assertion (1) de 4.4, on a

G_ε=L[ε]_ε et G_ε⁰ =L[ε⁰]_ε⁰ =L[ε]_ε⁰.

Puisque z ∈ Z(L[ε])⁰(F), l’égalité ε⁰ = εz entraîne que L[ε]ε⁰ = L[ε]ε donc aussi G_ε⁰ =G_ε. On a aussi z∈G_ε,tu(F)et on en déduit que

C(ε⁰) =ε⁰Gε⁰,tu(F) =εzGε,tu(F) =εGε,tu(F) =C(ε).

Cela démontre (iv).

4.6. Le cas d’un Levi. — SoitM un Levi deG. On a dansM la même propriété que dansG, à savoir

M(F) = S

ε∈M(F)_p0

C^M(ε),

oùC^M(ε) =εexp(mε,tn(F)). Le lemme ci-dessous énonce une propriété plus fine.

Lemme. — SoitM un Levi deG. Alors (i) G(F)p⁰ ∩M(F)⊂M(F)p⁰; (ii) M(F) =S

ε∈G(F)_p0∩M(F)C^M(ε).

Démonstration. — Soitε∈G(F)p⁰∩M(F). Pour démontrer queε∈M(F)p⁰, on doit prouver que toute valeur propre dead(ε)dansm(F)qui est de valeur absolue1dans une extension convenable de F, est une racine de l’unité d’ordre premier à p. Mais une valeur propre dead(ε)dansm(F)est aussi une valeur propre dead(ε)dansg(F).

La propriété voulue résulte du fait queε∈G(F)p⁰.

Soit x∈ M(F). Écrivons une p⁰-décomposition de xdans G(F) : x =εexp(X), où X ∈ gε,tn(F). On a AM ⊂ Gx puisque x ∈ M(F) et Gx ⊂ Gε d’après le (iii) du lemme 4.4. Donc AM ⊂ Gε, ce qui implique ε ∈ M(F). Alors exp(X) = ε⁻¹x appartient aussi àM(F). On en déduit queXappartient àmε,tn(F)doncxappartient

à C^M(ε), oùεappartient àG(F)_p⁰∩M(F).

4.7. Un lemme sur les classes de conjugaison et les élémentsp⁰-compacts modZ(G) Lemme. — Soit ε ∈ G(F) un élément p⁰-compact modZ(G) et soit F ∈ Fac(G).

Supposonsε∈K_F^†. SoitX ∈gε,tn(F)∩k_F. Alors, pour tout élémentx∈εexp(X)K_F⁺, il existeY ∈g_ε(F)∩k⁺_F tel quexsoit conjugué àεexp(X+Y)par un élément deK_F⁺.

La preuve est standard, on la rappelle pour être complet.

Démonstration. — Fixons un entierc>1premier àptel queε^c ∈Z(G)(F). On intro-duit les deux polynômes

P(T) =c⁻¹(T^c−1+· · ·+T+ 1),

Q(T) =c⁻¹(1−T)(c−1 + (c−2)T+· · ·+T^c−2)

à coefficients dans Zp. On a P(T) +Q(T) = 1. L’opérateur ad(ε) dans g(F) est semi-simple et ses valeurs propres dans F sont des racines c-ièmes de l’unité. Alors l’espacegse décompose en somme de l’espace propre associé à la racine1, qui estgε, et de l’espace somme des espaces propres associés aux racines différentes de1, notons-le g₆₌₁. L’opérateurP(ad(ε)), resp.Q(ad(ε)), est le projecteur sur l’espacegε, resp.g₆₌₁, relativement à cette décomposition. On introduit des suites (K_F,n)n∈N et (k_F,n)n∈N

comme en 4.2. L’actionad(ε)par conjugaison conservek_F,npour toutn. On a donc k_F,n=k_F,n,ε⊕k_F,n,6=1,

k_F,n,ε =k_F,n∩gε(F) =P(ad(ε))(k_F,n) où

k_F,n,6=1 =k_F,n∩g₆₌₁(F) =Q(ad(ε))(k_F,n).

et

Posonsk_F,n=k_F,n/k_F,n+1. L’opérateurad(ε)se réduit en un opérateur de cet espace, que l’on note encoread(ε). On a encore

k_F,n=k_F,n,ε⊕k_F,n,6=1, (1)

k_F,n,ε=k_F,n,ε/k_F,n+1,ε=P(ad(ε))(k_F,n) où

k_F,n,6=1=k_F,n,6=1/k_F,n+1,6=1=Q(ad(ε))(k_F,n).

et

On va prouver par récurrence surn>1 qu’il existe

Yn∈gε(F)∩k⁺_F, Zn ∈k_F,n et kn∈K_F⁺ tels que

k⁻¹_n xk_n=εexp(X+Y_n) exp(Z_n).

Pour n = 1, il suffit de prendre Y1 = 0, k1 = 1 et pour Z1 l’élément de k⁺_F tel que x=εexp(X) exp(Z₁). Supposons ces termes définis au rangn. Posons

xn =εexp(X+Yn).

NotonsZ_nla réduction deZ_ndansk_F,net décomposonsZ_nenZ_n,ε+Z_n,6=1 conformé-ment à la décomposition (1). RelevonsZn,εen un élémentY_n⁰ ∈k_F,n,ε. Les opérateurs ad(exp(X+Yn))etad(xn)conservent eux aussi les espacesk_F,n⁰ pour toutn⁰ et ils se descendent en des opérateurs surk_F,n. Parce queexp(X+Y_n)commute àε, ces opéra-teurs commutent àad(ε)donc préservent la décomposition (1). Sur l’espacek_F,6=1, les valeurs propres dead(ε)sont toutes différentes de1tandis que l’opérateurad(X+Yn) est nilpotent. Il en résulte que1−ad(x⁻¹_n )est inversible sur cet espace. On peut donc fixer un élément Y_n⁰⁰ ∈ k_F,n tel que Z_n,6=1 soit la réduction de (1−ad(x⁻¹_n ))(Y_n⁰⁰).

Posonshn = exp(Y_n⁰⁰). C’est un élément deK_F,n. On a

hnxnexp(Zn)h⁻¹_n =xnexp(ad(x⁻¹_n )(Y_n⁰⁰)) exp(Zn) exp(−Y_n⁰⁰).

Mais on voit que

exp(ad(x⁻¹_n )(Y_n⁰⁰)) exp(Z_n) exp(−Y_n⁰⁰)∈exp(Y_n⁰)K_F,n+1.

Il existeYn+1∈gε(F)∩k⁺_F tel queexp(X+Yn) exp(Y_n⁰) = exp(X+Yn+1). En posant k_n+1=h_nk_n, on obtientk⁻¹_n+1xk_n+1=εexp(X+Y_n+1)z_n+1avecz_n+1∈K_F,n+1 et il reste à prendre pourZ_n+1 l’élément dek_F,n+1tel quez_n+1= exp(Z_n+1)pour obtenir les éléments cherchés au rangn+ 1.

On peut extraire des suites (Yn)n>1 et (kn)n>1 des sous-suites convergentes (en fait, on n’en a même pas besoin, les suites définies ci-dessus convergent). À la limite, on obtient des élémentsY ∈gε(F)∩k⁺_F et k∈K_F⁺ tels quek⁻¹xk =εexp(X+Y).

Cela achève la preuve.

4.8. Un corollaire

Corollaire. — Soit ε ∈ G(F) un élément p⁰-compact modZ(G), soit F ∈ Fac(G) et soit g ∈ G(F). Supposons que ε∈ K_F^† et queg⁻¹εg appartienne àεK_F⁺. Alors g appartient àZG(ε)(F)K_F⁺.

Démonstration. — D’après le lemme précédent, quitte à multiplierg à droite par un élément de K_F⁺, on peut supposer g⁻¹εg = εexp(Y) avec Y ∈ gε,tn(F). Puisque ε et g⁻¹εg sont tous deux p⁰-compacts modZ(G), l’assertion 4.3 (2) entraîne que Y ∈z(G)(F). Donc g appartient à l’image réciproque dans G de Z_GAD(ε_ad). On a déjà dit que le groupeZG(ε)est d’indice fini premier àpdans cette image réciproque.

Il existe donc un entier c > 1 premier à p tel que g^c ∈ ZG(ε). Mais, puisque Y est central, on a g^−cεg^c = εexp(cY). Donc Y = 0 et g⁻¹εg = ε, c’est-à-dire

g∈ZG(ε)(F).

4.9. Un lemme sur les élémentsp⁰-compacts et les espaces de Levi

Lemme. — Soitε∈G(F)un élémentp⁰-compactmodZ(G)et soit(F, ν)∈Fac^∗(G).

Supposons ε ∈ K_F^ν. Notons ε la réduction de ε dans G^ν_F(kF). Soit P^ν un espace parabolique deG^ν_F. Supposonsε∈P^ν(kF). Alors il existe une composante de LeviM^ν deP^ν telle queε∈M^ν(kF).

La preuve s’inspire de celle de [29, Lem. 9].

Démonstration. — On note P le sous-groupe parabolique deG_F associé à P^ν. L’es-pace uP possède une filtration finie (ui)i=1,...,n définie par récurrence par u1 =uP

et, pour i>1, u_i+1 est l’espace engendré par les[U₁, U_i] pour U₁ ∈u₁ et U_i ∈ u_i. La filtration se termine par un={0}. On noteUi = exp(ui). Les Ui sont des sous-groupes distingués de UP, les quotients Ui/Ui+1 sont abéliens et isomorphes aux ui/ui+1. On aUn ={1}. Nous allons prouver par récurrence surique

(1) il existe une composante de Levi Mi et un élément ui ∈ Ui(kF) tels que ad(ε)(M_i) = ad(u_i)(M_i).

Pouri= 1, on choisit pourM₁n’importe quelle composante de Levi deP. Puisque ε ∈ P^ν(k_F), ad(ε)(M₁) est encore une telle composante de Levi de P et on sait que deux telles composantes sont conjuguées par un élément de UP(kF) =U1(kF).

On choisit pouru1l’élément qui conjugueM1enad(ε)(M1). Supposons le problème résolu au rangi>1. Fixons un entierc>1premier àptel queε^c ∈Z(G). On voit par récurrence sur un entierm>1que

ad(ε^m)(Mi) = ad(ui,m)(Mi),

oùui,m= ad(ε^m−1)(ui)· · ·ad(ε)(ui)ui. Pourm=c, on obtient Mi= ad(ui,c)(Mi), doncui,c= 1. Remarquons quead(ε)conserve la filtration(Uj)j=1,...,n. En notantXi

la réduction deu_i dansU_i(k_F)/U_i+1(k_F)et en écrivant ce groupe additivement, on obtient

ad(ε^c−1)(X_i) +· · ·+ ad(ε)(X_i) +X_i= 0.

Par le même argument que dans la preuve de 4.7, cela entraîne l’existence d’un élément Y_i ∈U_i(k_F)/U_i+1(k_F)tel queX_i =Y_i−ad(ε)(Y_i). On relève Y_i env_i ∈U_i(k_F)et on pose Mi+1= ad(vi)(Mi). On calcule

ad(ε)(Mi+1) = ad(ui+1)(Mi+1),

oùui+1 = ad(ε)(vi)uiv_i⁻¹. Par construction devi, on voit queui+1∈Ui+1(kF), ce qui résout le problème en i+ 1.

Pour i =n, le Levi M = M_n est conservé par ad(ε). Alors M^ν = εM est une

composante de Levi deP^ν contenantε.

4.10. Points fixes dansImm(GAD)d’un élémentp⁰-compact modZ(G)

Soitε∈G(F)un élémentp⁰-compact modZ(G). NotonsM le commutant dansG du tore déployéA_Gε. C’est un Levi deG. On aε∈M etG_ε⊂M (εetG_εcommutent à AG_ε). On a aussi AM = AG_ε. En effet, puisque Gε ⊂ M, on a AG_ε ⊂ M et, puisque M commute àAG_ε par construction de M, on a AG_ε ⊂ AM. Inversement, puisque ε∈ M, on aAM ⊂Gε et, puisqueAM commute à M, donc aussi au sous-ensembleG_ε, on aA_M ⊂A_Gε.

Comme en 2.3, notonsImm(GAD, M)la réunion dansImm(GAD)des appartements App(AM⁰)associés aux Levi minimauxM⁰ deM. L’action deM(F)sur Imm(GAD) conserve le sous-ensembleImm(G_AD, M), il en est donc de même des actions deεet de G_ε(F). L’espace vectorielAM/AG agit naturellement surImm(G_AD, M)(il agit sur chaqueApp(AM⁰)et ces actions se recollent). Cette action commute à celles de εet de Gε(F). Notons Imm(GAD)^ε et Imm(GAD, M)^ε les sous-ensembles de points fixes de l’action de ε dans Imm(G_AD), resp.Imm(G_AD, M). L’ensemble Imm(G_AD, M)^ε est stable par l’action de AM/AG. On note Imm(GAD, M)^ε/(AM/AG) l’ensemble quotient. L’action deGε(F)se descend en une action sur ce quotient.

Proposition

(i) On a l’égalité Imm(G_AD)^ε= Imm(G_AD, M)^ε.

(ii) L’ensembleImm(GAD, M)^ε/(AM/AG)muni de son action deGε(F)s’identifie canoniquement àImm(Gε,AD).

(iii) SoitF∈Fac(G)telle que

F∩Imm(GAD)^ε6=∅.

Alors l’image deF∩Imm(GAD)^εest contenue dans une facetteF⁰∈Fac(Gε). L’action naturelle deεsur K_F⁰ se descend en une action algébrique surG_F et le groupeG_ε,F⁰ s’identifie à la composante neutre G^ε,0_F du sous-groupe des points fixes G^ε_F par cette action. Le groupeK_F⁰0 est le groupe desg∈Gε(F)∩K_F⁰ tels que wG_ε(g) = 0. On a

K_F⁺0 =Gε(F)∩K_F⁺, k_F⁰ =gε(F)∩k_F, k⁺_F0 =gε(F)∩k⁺_F.

Démonstration. — Dans la seconde preuve de [30, Th. 1.9], G. Prasad et J.-K. Yu démontrent que Imm(GAD)^ε = Imm(GAD, M)^ε et que cet ensemble, muni de son action deGε(F), s’identifie à l’immeuble étendu du groupeGε,ad=Gε/Z(G). L’iden-tification est canonique à translations près par les éléments de AM/AG. Cela équi-vaut aux assertions (i) et (ii). SoitF ∈Fac(G) telle queF∩Imm(G_AD)^ε 6=∅. Soit x∈F∩Imm(GAD)^ε6=∅, notonsyson image dansImm(Gε,AD). SoitF⁰∈Fac(Gε)la facette à laquelle appartienty. Plongeons les immeubles pour les groupes adjoints dans les immeubles étendus. Comme on le sait, on peut définir un schéma en groupesGx

défini suroF satisfaisant entre autres queGx(oF)est le sous-groupe des éléments de G(F)dont l’action sur l’immeuble étenduImm(G)fixex. On sait que la partie réduc-tive de la composante neutre de sa fibre spéciale n’est autre queG_F. Dans [29, § 3], cf. en particulier les définitions de 3.1 de cette référence, Prasad montre que ε agit naturellement surGxet il définit la composante neutreG^ε,0x du sous-schéma des points fixesG^εx. Il prouve que la composante neutreG⁰ε,y deGε,y s’identifie à ce schémaG^ε,0x . En passant aux parties réductives des fibres spéciales, on obtient queG_ε,F⁰ s’identifie à G^ε,0_F . Cela entraîne

(1) K_F⁰0 ⊂K_F⁰ ∩Gε(F).

En passant aux algèbres de Lie, l’égalitéG⁰ε,y =G^ε,0x entraîne aussi (2) k_F⁰ =k_F∩g_ε(F), k⁺_F0 =k⁺_F∩g_ε(F).

D’après 2.2 (5), ces égalités entraînent queF⁰ne dépend pas dexet est uniquement déterminée, ce qui est la première assertion de (iii). L’égalité

(3) K_F⁺0 =K_F⁺∩Gε(F)

se déduit par l’exponentielle de la seconde égalité de (2).

On peut préciser (1). D’après la définition de K_F⁰0, K_F⁰0 est contenu dans l’en-semble des g ∈K_F⁰ ∩Gε(F) tels que wG_ε(g) = 0. Inversement, un tel g fixe xdonc aussi y (la projection de Imm(GAD)^ε sur Imm(Gε,AD) étant compatible avec l’ac-tion de Gε(F)). Doncg ∈ K_F^†0. Puisque wG_ε(g) = 0, on a g ∈ K_F⁰0. Cela démontre

l’assertion de l’énoncé concernantK_F⁰0.

5. Quasi-caractères

5.1. Transformées de Fourier et intégrales orbitales. — Plusieurs notions que l’on a introduites sur le groupe G(F) ont des analogues sur l’algèbre de Lie g(F).

Pour f ∈C_c^∞(g(F))et X ∈g_reg(F), on définit l’intégrale orbitaleI^G(X, f). On dé-finit aussi l’espaceI(g) quotient deC_c^∞(g(F)) par le sous-espace des fonctions dont toutes les intégrales orbitales sont nulles.

On fixe un caractère continu ψ de F de conducteur pF et une forme bilinéaire

On fixe un caractère continu ψ de F de conducteur pF et une forme bilinéaire

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