L’espace D cusp (G) et le transfert

Proposition. — On suppose (Hyp)_endo(G) satisfaite. Soient d∈ Dcusp(G) et, pour tout G⁰ ∈ E(G), soit d^G0 ∈ Dcusp,λ₁(G⁰₁)^st. Supposons que D^G[d] coïncide avec P

G⁰∈E(G)transfert(D^G01[d^G0])sur G_ell(F). Alors D^G[d] = X

G⁰∈E(G)

transfert(D^G01[d^G0]).

Démonstration. — SoitG⁰ ∈E(G). Des injections naturellesZ(G)b →Z(Gb⁰)→Z(Gb⁰₁) se déduisent des homomorphismes

(1) N^G01 −→N^G0 −→N.

Pourν ∈N, on définit la composanted^νdedcomme dans le paragraphe précédent.

On définitd^G0,ν comme le produit des composantesd^G0,ν0 sur lesν⁰∈N^G01 qui s’en-voient surν par la suite ci-dessus. La famille((d^G0)_G⁰_∈E(G), d)satisfait à l’hypothèse ou la conclusion de la proposition si et seulement si chaque famille((d^G0,ν)G⁰∈E(G), d^ν) les satisfait. On peut donc fixer ν ∈ N et supposer d ∈ Dcusp(G)^ν. Notons X l’en-semble des restrictions àAG(F)c de caractères modérément ramifiés deAG(F). Pour G⁰ ∈E(G), cet ensemble s’identifie à celui des restrictions à A_G⁰

1(F)c de caractères modérément ramifiés deAG⁰₁(F)qui coïncident avecλ1surAG⁰₁(F)∩C1(F): àξ∈X, on associe d’abord l’image réciproque de ξ par la surjection A_G⁰

1(F)_c → A_G(F)_c, puis le produit ξ^G0 de ce caractère par la restriction deζ1 àAG⁰₁(F)c. Ainsi, comme dans le paragraphe 8.3, on associe àd, resp.d^G0, des composantesdξ, resp.d^G0

ξ^G0, pour ξ∈X. La famille((d^G0)_G⁰_∈E(G), d)satisfait à l’hypothèse ou la conclusion de la pro-position si et seulement si chaque famille((d^G_ξG⁰0)_G⁰_∈E(G), dξ)y satisfait. On peut fixer ξ ∈ X et supposer que d = dξ et d^G0 = d^G_ξG⁰0 pour tout G⁰. Prolongeons ξ en un caractère unitaire deAG(F), qui s’identifie comme ci-dessus pour toutG⁰ à un carac-tèreξ^G0 deAG⁰₁(F)dont la restriction àAG⁰₁(F)∩C1(F)coïncide avec la restriction de λ1. On construit un élément d ∈ Dcusp,ξ(G) comme en 8.3 et de façon similaire

des éléments d^G0 ∈ Dcusp,λ1,ξ^G0(G⁰₁). La famille ((d^G0)_G⁰_∈E(G), d)satisfait à l’hypo-thèse ou la conclusion de la proposition si et seulement si la famille((d^G0)_G⁰_∈E(G),d) y satisfait. En résumé, on peut fixer un caractère unitaire ξ de A_G(F), qui déter-mine pour tout G⁰ un tel caractère ξ^G0 de A_G⁰

1(F), et supposer d ∈ Dcusp,ξ(G) et d^G0 ∈Dcusp,λ1,ξ^G0(G⁰₁)pour toutG⁰.

À ce point, on peut simplifier le problème en se ramenant au cas où une unique donnée G⁰ intervient. Pour cela, on introduit la représentation π∈ C[Ell(G)⁰_ξ] telle que ∆_π,cusp = d. On utilise la décomposition (1) de 7.2 et on écrit conformément π=P transfert(D^G01[d^G0])pour tout G⁰, la conclusion de l’énoncé est satisfaite. Cela nous ramène au cas où la famille (d^G0)_G⁰_∈E(G) a au plus une composante non nulle. On note désormaisG⁰l’indice de cette composante et on note(d⁰, d)∈Dcusp,λ₁;ξ⁰(G⁰₁)^st× Dcusp,ξ(G)le couple auquel se réduisent les données de départ.

On introduit la représentationπ∈C[Ell(G)⁰_ξ]telle que∆_π,cusp=det la avec Θtransfert(π⁰) sur les elliptiques. D’après [3, Th. 6.2], π = transfert(π⁰). Soient M ∈LminetP ∈P(M). D’après 6.3 (1) appliqué en remplaçantGparM, la deuxième

Remarquons que, pour M⁰ et w intervenant ci-dessus, on peut transformer la don-née endoscopique M⁰ de M en une donnée w⁻¹(M⁰). Le terme que l’on somme peut se récriretransfert(D^w−1(M10)[d^w−1(M10)])pour un élément convenabled^w−1(M10)∈ Dcusp,w⁻¹(λ1)(w⁻¹(M₁⁰)). C’est-à-dire que la somme (3) est de la même forme que celle qui intervient dans l’énoncé de la proposition. SupposonsM 6=G. En raisonnant par récurrence, on suppose notre proposition prouvée pour M. Alors D^M[∆^M_πP,cusp] est égal à (3). Pour un couple (x⁰₁, x) ∈ G⁰_1,reg(F)×Greg(F) d’éléments qui se corres-pondent, x est compact modZ(G) si et seulement si x⁰₁ est compact modZ(G⁰₁) : cela parce que Z(G)(F) est un sous-groupe cocompact de Z(G⁰)(F). Restreindre D^M[∆^M_πP,cusp]àM(F)∩Gcomp(F)équivaut à restreindre chaque terme de (3) indexé par M⁰ à M₁⁰(F)∩G⁰_1,comp(F). Après restriction à M(F)∩Gcomp(F), on sait que le terme ∆^M_π

P,cusp ne dépend plus de P. Il en est de même des termes intervenant dans (3). On obtient queD^M[∆^M_π

Induisons à G. Évidemment, l’induction est insensible à la torsion par un élément deW^G. Leswdisparaissent de la formule et la somme enwest remplacée par la mul-tiplication par|W^G(M)|. D’autre part, l’induction commute au transfert. On obtient (4) D^G[∆^M_π

On utilise l’égalité 6.3 (2) qui peut se récrire D^G[d] = Θ_π|Gcomp(F)− X

On peut remplacer l’ensemble de sommationL^Gmin,G-rel⁰ parL^Gmin⁰ : pour un Levi non relevant, le terme que l’on somme est nul. En utilisant de nouveau 6.3 (2) cette fois dansG⁰₁, on obtient

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Manuscrit reçu le 25 juin 2019 accepté le 12 janvier 2021

Jean-Loup Waldspurger, CNRS, Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris rive gauche 4 place Jussieu, Boîte courrier 247, 75252 Paris Cedex 05, France

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