Groupes de Levi

contenus dansM. Le groupeAM agit sur chacun de ces appartements et ces actions se recollent en une action sur la réunion. De plus, Imm(GAD, M) est conservé par l’action de M(F). Le quotient de Imm(G_AD, M) par l’action de AM, muni de son action deM(F), s’identifie canoniquement à l’immeubleImm(MAD). En particulier, App(A)/AM s’identifie à l’appartement App^M(A) associé à Mmin dans l’immeuble Imm(MAD). On notepM : App(A)→App^M(A)cette projection.

L’action sur l’immeuble du groupe NormG(M)(F) conserve Imm(GAD, M) et se descend en une action surImm(MAD). Cette action permute les éléments deFac(M).

PourFM ∈Fac(M), on noteK_F^†,G

M le sous-groupe des éléments deNorm_G(M)(F)qui conserventFM. Il contientK_F^†

M comme sous-groupe distingué.

Notons Norm_G(M, A) le normalisateur commun de M et A dans G. L’action du groupe NormG(M, A)(F)dansImm(MAD)conserveApp^M(A).

Pour F∈Fac(G, A), il existe une unique facette notéeF^M ∈Fac(M, A)telle que p_M(F)⊂F^M. SiFest décrit par les relations (1) et (2) de 2.2,F^M est l’ensemble des x∈App^M(A)qui satisfont aux relations

(1) α(x) =c_α,F pour toutα∈Σ_F∩Σ^M;

(2) cα,F < α(x)< c⁺_α,F pour toutα∈Σ^M −Σ_F∩Σ^M.

De l’inclusionZ(G)b →Z(Mc) se déduit un homomorphisme naturelN^M →N. Le diagramme

M(F) //

wM

G(F) wG

N^M //N

est commutatif. Posons M_ad = M/Z(G). On a aussi un homomorphisme naturel N^M →N^Mad. NotonsN^MG-compl’image réciproque dansN^M du sous-groupe de torsion deN^Mad. Alors l’homomorphismeN^M →Nse restreint en un homomorphisme injectif N^MG-comp → N, cf. [36, 6(1)]. On identifie NG-comp^M à son image dans N. On note Fac^∗_G-comp(M) le sous-ensemble des (FM, ν)∈ Fac^∗(M) tels que ν ∈ N^MG-comp (avec les variantesFac^∗_max,G-comp(M)etc.). Remarquons que, pour(FM, ν)∈Fac^∗_G-comp(M) et pourn∈K_F^†,G

M, la conjugaison parnconserve l’ensembleK_F^ν

M. 3. Espaces de fonctions et de distributions

3.1. Les espacesI(G)etI(G)^∗. — Le groupeG(F)agit sur l’espaceC_c^∞(G(F))par conjugaison : pour g ∈ G(F) et f ∈ C_c^∞(G(F)), ^gf est la fonction x 7→ f(g⁻¹xg).

On noteI(G)le quotient deC_c^∞(G(F))par le sous-espace complexe engendré par les

gf−f pourf ∈C_c^∞(G(F))et g∈G(F).

On note Greg le sous-ensemble des éléments fortement réguliers de G. Soit f ∈ C_c^∞(G(F)). Pourx∈Greg(F), on définit l’intégrale orbitale

I^G(x, f) =D^G(x)^1/2 Z

A_Gx(F)\G(F)

f(g⁻¹xg)dg,

où D^G est le discriminant de Weyl usuel. L’espace I(G) est aussi le quotient de C_c^∞(G(F))par le sous-espace des f ∈C_c^∞(G(F))telles que I^G(x, f) = 0 pour tout x∈G_reg(F).

On appelle distribution invariante surG(F)une forme linéaire sur C_c^∞(G(F))qui se quotiente en une forme linéaire sur I(G). On identifie une telle distribution à la forme linéaire quotient. On noteI(G)^∗l’espace des distributions invariantes surG(F).

SoientM un Levi deGetD^M ∈I(M)^∗. On définit une distributionInd^G_M(D^M)∈ I(G)^∗de la façon suivante. On fixe un sous-groupe paraboliqueP ∈P(M). Comme on l’a dit, des mesures de Haar sont fixées surM(F),U_P(F)etG(F). Il s’en déduit ce que l’on peut appeler une pseudo-mesure invariante à droite surP(F)\G(F). Précisément, c’est une forme linéaire non pas surC_c^∞(P(F)\G(F))mais sur l’espace des fonctions localement constantesϕ:G(F)→Cqui satisfont à la relationϕ(mug) =δP(m)ϕ(g)

puis la distributionInd^G_M(D^M)par l’égalité Ind^G_M(D^M)(f) = des éléments elliptiques dans G_reg(F) (la notation étant un peu abusive : il n’y a pas de sous-ensemble algébriqueGell de G). On dit qu’une fonctionf ∈C_c^∞(G(F)) est cuspidale si et seulement si les intégrales orbitales def sont nulles en tout point x∈G_reg(F)−G_ell(F). Autrement dit sif est annulée par Ind^G_M(D^M)pour tout Levi propreM et toutD^M ∈I(M)^∗. On noteC_cusp(G(F))l’espace des fonctions cuspidales et Icusp(G)son image dansI(G).

On dit quefest très cuspidale si et seulement si, pour tout sous-groupe parabolique propreP deG, de composante de LeviM, la fonctionf_UP est nulle. En fait,I_cusp(G) est aussi l’image dansI(G)de l’espace des fonctions très cuspidales, cf. [35, Lem. 2.7].

Pour une fonctionftrès cuspidale, on définit une distributionDf ∈I(G)^∗par l’égalité D_f(ϕ) =

La double intégrale n’est pas absolument convergente mais converge dans cet ordre, cf. [36, Lem. 9].

3.2. Filtrations. — On fixe un ensemble de représentants Lmin ⊂Lmin des classes de conjugaison de Levi de G. Pour tout entiern∈Z, notons Lⁿmin le sous-ensemble desM ∈Lmin tels quea_M =n(on peut évidemment se limiter auxnappartenant à l’intervalle{aG, . . . , aM_min}).

On définit une filtration sur I(G) de la façon suivante. Pour tout n ∈Z, notons FilⁿI(G) l’image dans I(G) du sous-espace des f ∈ C_c^∞(G(F)) qui satisfont à la

condition : pour tout Levi M tel que aM > n et tout m ∈ Greg(F)∩M(F), on a I^G(m, f) = 0. On a

Fil^aG−1I(G) ={0} ⊂Fil^aGI(G) = Icusp(G)⊂ · · · ⊂Fil^aMminI(G) = I(G), et, en posantGrⁿI(G) = FilⁿI(G)/Filⁿ⁻¹I(G), on a

GrⁿI(G)' L

M∈Lⁿmin

I_cusp(M)^WG(M),

cf. 1.4 pour la définition du groupeW^G(M), qui agit naturellement sur Icusp(M).

NotonsAnnⁿI(G)^∗ l’annulateur de Filⁿ⁻¹I(G)dansI(G)^∗. On a

Ann^aMmin+1I(G)^∗={0} ⊂Ann^aMminI(G)^∗⊂ · · · ⊂Ann^aGI(G)^∗= I(G)^∗, et, en posantGrⁿI(G)^∗= AnnⁿI(G)^∗/Annⁿ⁺¹I(G)^∗, on a

(1) GrⁿI(G)^∗' L

M∈Lⁿ_min

I_cusp(M)^∗WG(M).

On vérifie queAnnⁿI(G)^∗ est le sous-espace de I(G)^∗ engendré par les distributions induites Ind^G_M(I(M)^∗) pour les Levi M de G tels que aM > n. Pour M ∈ Lⁿmin

et d^M ∈ I(M)^∗, l’image de Ind^G_M(d^M) dans GrⁿI(G)^∗ est nulle dans les compo-santes Icusp(M⁰)^∗WG(M0) de (1) pour M⁰ 6= M et est l’image naturelle de d^M dans I_cusp(M)^∗WG(M)(c’est-à-dire la restriction de d^M àI_cusp(M)^WG(M)).

3.3. Éléments compacts et topologiquement unipotents. — Soitx∈G(F). On dit que xest compact si et seulement s’il est contenu dans un sous-groupe compact de G(F), c’est-à-dire si l’adhérencex^Zdu groupex^Zengendré parxest compacte. On dit qu’il est compact modZ(G)si et seulement si l’imagex_addexdansG_AD(F)est com-pacte. On dit quexest topologiquement unipotent si et seulement silim_n→∞x^pn = 1 Fixons un sous-tore maximal T de Gcontenant la partie semi-simple xss dexet fixons une extension finieF⁰ deF telle queT soit déployé surF⁰. Alors :

– x est compact si et seulement si χ(xss) ∈ o^×_F0 pour tout χ ∈ X^∗(T); x est compact modZ(G)si et seulement si χ(xss)∈ o^×_F0 pour tout χ ∈X^∗(T) tel que la restriction deχàZ(G)soit triviale ;xest topologiquement unipotent si et seulement siχ(xss)∈1 +pF⁰ pour toutχ∈X^∗(T).

D’autre part, xest compact modZ(G) si et seulement s’il existeF ∈Fac(G)tel que x ∈ K_F^†. L’ensemble des éléments compacts, resp. compacts modZ(G), est un sous-ensemble ouvert et fermé de G(F) invariant par conjugaison. Soit M un Levi deG, soit(FM, ν)∈Fac^∗(M)et soitx∈K_F^ν

M. Alorsxest compact modZ(G)si et seulement si ν∈N^MG-comp.

On noteG_comp(F)l’ensemble des éléments deG(F)qui sont compacts modZ(G) (il serait plus correct de le noter G_compmodZ(G)...). On note Gtu(F) l’ensemble des éléments topologiquement unipotents deG(F). On noteI(G)^∗_compl’ensemble des dis-tributions dont le support est contenu dansGcomp(F).

3.4. Facettes, fonctions et distributions. — Soit (F, ν) ∈ Fac^∗_max(G). On note Ccusp(G^ν_F) l’espace des fonctions sur G^ν_F(kF) qui sont invariantes par conjugaison parG_F(k_F)et qui sont cuspidales. On munit cet espace du produit hermitien défini par

hf, f⁰i=|G_F(k_F)|⁻¹ X

x∈G^ν_F(k_F)

f(x)f⁰(x).

Il est défini positif. Soit f ∈ Ccusp(G^ν_F). L’espace G^ν_F(kF) s’identifie à K_F^ν/K_F⁺. On identifie f à une fonction sur ce quotient K_F^ν/K_F⁺, on la relève en une fonc-tion surK_F^ν puis on l’étend en une fonction surG(F)par0hors de K_F^ν. On notef_F la fonction ainsi obtenue. Elle est très cuspidale, cf. [36, Lem. 10]. On déduit de f_F une distributionDf_F, cf. 3.1, que l’on note simplementDf. Le support de cette dis-tribution est contenu dansG_comp(F).

NotonsDcusp(G)le sous-ensemble des familles (f_F,ν)_(F,ν)∈Fac^∗

max(G)∈ Y

(F,ν)∈Fac^∗_max(G)

Ccusp(G^ν_F)

qui satisfont à la condition : pour toutν∈N, l’ensemble des(F, ν⁰)∈Fac^∗_max(G)tels queν⁰ =ν etf_F,ν⁰ 6= 0est fini.

Pour f = (f_F,ν)(F,ν)∈Fac^∗_max(G) ∈ Dcusp(G), la somme P

F,νDf_F,ν est définie.

En effet, chaque Df_F,ν est à support dans l’ouvert fermé w⁻¹_G (ν) et, pour tout ν, il n’y a qu’un nombre fini de (F, ν⁰) tels que ν⁰ = ν et f_F,ν⁰ 6= 0. Pour tout com-pactCdeG(F), il n’y a donc qu’un nombre fini de(F, ν)tels que le support deD_fF,ν coupeC. On poseDf=P

F,νDf_F,ν. Cela définit une application linéaire D:Dcusp(G)−→I(G)^∗_comp.

Remarque. — Quand un élément deDcusp(G)sera notéf, on notera son imageD_f ouD_f^Gcomme ci-dessus. Quand l’élément sera noté plus symboliquementd, on notera son imageD[d]ouD^G[d].

Pourν ∈N, notonsD^νcusp(G)le sous-espace des

f = (f_F,ν⁰)(F,ν⁰)∈Fac^∗_max(G)∈Dcusp(G) tels quef_F,ν⁰ = 0pour ν⁰ 6=ν. On aDcusp =Q

ν∈ND^νcusp(G). Le groupe G(F)agit naturellement surDcusp(G)en respectant les sous-espacesD^νcusp(G). Il est clair que, pourf ∈Dcusp(G)et g∈G(F), on aDgf−f = 0. Pourν ∈N, notonsD^νcusp(G) l’es-pace des coinvariants, c’est-à-dire le quotient deD^νcusp(G)par le sous-espace engendré par les^gf−f pourf ∈D^νcusp(G)etg∈G(F). On poseDcusp(G) =Q

ν∈ND^νcusp(G).

Il y a un homomorphisme naturelDcusp(G)→Dcusp(G).

Remarque. — Si Nest fini, Dcusp(G)est le quotient des coinvariants de Dcusp(G).

Si Nest infini, c’est un quotient de cet espace de coinvariants.

L’applicationDse quotiente en une application linéaire D:Dcusp(G)−→I(G)^∗_comp.

Notons D⁰(G) la somme directe desDcusp(M) oùM parcourt les Levi deG. On définit une application linéaire

D^G:D⁰(G)−→I(G)^∗ qui, àP

Md^M, associeP

MInd^G_M(D^M[d^M]). Le groupeG(F)agit naturellement sur l’espaceD⁰(G). En effet, un élémentg∈G(F)envoie un LeviM sur le LevigM g⁻¹, une facette(FM, ν)∈Fac^∗_max(M)sur une facette(gFM, gν)∈Fac^∗_max(gM g⁻¹)et une fonction f_FM,ν ∈ Ccusp(M^ν_FM) sur une fonction ^g(f_FM,ν) ∈ Ccusp((gMg⁻¹)^gν_gF

M).

Alors g envoie Dcusp(M) sur Dcusp(gM g⁻¹) et cette application se quotiente en une application de Dcusp(M) sur Dcusp(gM g⁻¹). Il est clair que, pour g ∈ G(F) etf ∈D⁰(G), on aD^Ggf−f = 0. On noteD(G)le quotient des coinvariants pour cette action deG(F)dansD⁰(G). L’application précédente se quotiente en une application linéaire

D^G:D(G)−→I(G)^∗.

3.5. Variantes deD(G). — SoitM un Levi deG. On noteDcusp,G-comp(M)le sous-espace des éléments

f = (f_FM,ν)_{(FM,ν)∈Fac}^∗

max(M)

deDcusp(M)tels quef_FM,ν= 0siν6∈N^MG-comp. On noteDcusp,G-comp(M)son image dans Dcusp(M). On note D⁰G-comp(G)la somme directe des Dcusp,G-comp(M) où M parcourt les Levi deG. On définit comme dans la section précédente le quotient des coinvariantsDG-comp(G), qui s’identifie à un sous-espace deD(G). L’applicationD^G se restreint en une application linéaire

D^G:DG-comp(G)−→I(G)^∗_comp.

Il y a une projection naturelleDcusp(M)→Dcusp,G-comp(M)qui, à un élément (f_FM,ν)_{(FM,ν)∈Fac}^∗

max(M)∈Dcusp(M) associe l’élément

(f_FM,ν)_{(FM,ν)∈Fac}^∗

max,G-comp(M)

deDcusp,G-comp(M). Cette projection se quotiente en une projection deDcusp(M)sur Dcusp,G-comp(M).

Fixons ν∈N. NotonsI(G)^∗ν_comp le sous-espace des distributions invariantes à sup-port contenu dansG_comp(F)∩w⁻¹_G (ν). Pour un LeviM deG, notonsD^νcusp,G-comp(M) le sous-espace des

f = (f_FM,ν⁰)_(FM,ν0)∈Fac^∗_max(M)∈Dcusp,G-comp(M)

tels quef_FM,ν⁰ = 0si ν⁰ 6=ν. À l’aide de ces espaces, on définit comme ci-dessus un espaceD^νG-comp(G). On a des isomorphismes naturels

DG-comp(G)' Y

ν∈N

D^νG-comp(G),

I(G)^∗_comp' Y

ν∈N

I(G)^∗ν_comp,

et l’applicationD^G s’identifie au produit de ses restrictions D^G:D^νG-comp(G)−→I(G)^∗ν_G-comp.

3.6. Calcul deD^G_f0(f_F). — Soit(F, ν)∈Fac^∗(G, A). On a défini le LeviM_F,ν∈Lmin

au paragraphe 2.2. Posons simplement M = M_F,ν. On associe à F la facette F^M ∈ Fac(M, A). L’élément ν appartient à N^MG-comp(F^M), (F^M, ν) appartient à Fac^∗_max(M, A),G_F s’identifie àM_FM etG^ν_F s’identifie àM^ν_FM, cf. [36, Lem. 6]. Soit f ∈Ccusp(M^ν_FM). On identifief à une fonction surG^ν_F(kF), puis à une fonction sur K_F^ν/K_F⁺, que l’on relève en une fonction sur K_F^ν. On prolonge cette fonction en une fonction surG(F), nulle hors deK_F^ν. On notef_F la fonction surG(F)obtenue ainsi.

Elle est par construction invariante par conjugaison parK_F⁰.

Soient L ∈ Lmin, (F⁰, ν⁰) ∈ Fac^∗_max,G-comp(L, A) et f⁰ ∈ Ccusp(L^ν_F⁰0). On a défini la distribution D^G_f0 = Ind^G_L(D^L_f0)sur G(F). Notons N(M,F^M, L,F⁰) l’ensemble des n∈NormG(A)(F)tels quenM n⁻¹ =L et nF^M =F⁰. Cet ensemble (qui peut être vide) est invariant à gauche parA_L(F)(K_F⁰0∩Norm_G(A)(F)). On fixe un ensemble de représentantsN(M,F^M, L,F⁰)du quotient

AL(F)(K_F⁰0∩NormG(A)(F))\N(M,F^M, L,F⁰).

Proposition

(i) D^G_f0(f_F)6= 0seulement si ν=ν⁰ etN(M,F^M, L,F⁰)6=∅. (ii) Supposons ν=ν⁰ etN(M,F^M, L,F⁰)6=∅. Alors

D^G_f0(f_F) = mes(K_F⁰) mes(K_F⁰0) mes(AL(F)c)⁻¹ X

n∈N(M,F^M,L,F⁰)

hⁿf , f⁰i.

Remarques

(1) La fonctionⁿf est celle définie en 3.4.

(2) Supposons M =L,F^M =F⁰ etν =ν⁰. Sif⁰ est invariante parK_F^†,G0 , la formule du (ii) se simplifie et devient

D^G_f0(f_F) = mes(K_F⁰) mes(K_F⁰0) mes(A_L(F)_c)⁻¹[K_F^†,G0 :A_L(F)K_F⁰0]hf , f⁰i.

Démonstration. — Puisque f_F est à support dans w⁻¹_G (ν)et que D^G_f0 est à support dansw⁻¹_G (ν⁰)il est clair queD_f^G0(f_F) = 0siν6=ν⁰. Supposons désormaisν=ν⁰.

Fixons un sous-groupe parabolique Q ∈ P(L). Commençons par calculer f_F,U_Q. On sait définir la facetteF^L ⊂Imm(LAD). SiM ⊂L, on a évidemment(F^L)^M =F^M et la fonctionf_FL surL(F)est bien définie.

Lemme1. — On a les égalités

f_F,U_Q =

(0, siM 6⊂L, mes(UQ(F)∩K_F⁺)f_FL siM ⊂L.

Démonstration. — Rappelons que, pour `∈L(F), on af<sub>F</sub>,U<sub>Q</sub>(`) =R

U_Q(F)f_F(`u)du.

Le groupe Q, resp.L, détermine un sous-groupe parabolique Q de G_F, resp. une composante de LeviL de Q, de sorte que l’image de Q(F)∩K_F⁰, resp.L(F)∩K_F⁰,

dansG_F(kF)soitQ(kF), resp.L(kF). Supposons quef_F,U_Q6= 0. AlorsQ(F)∩K_F^ν6=∅ et il existe un sous-espace paraboliqueQ^ν deG^ν_F, associé au paraboliqueQ, de sorte que l’image dans G^ν_F(k_F) de Q(F)∩K_F^ν soit Q^ν(k_F). Notons L^ν le normalisateur de L dans Q^ν. Posons V = U_Q(F)∩K_F⁰. Fixons ` ∈ L(F) tel que f<sub>F,UQ</sub>(`) 6= 0.

On écrit

f_F,U_Q(`) = Z

UQ(F)/V

Z

V

f_F(`uv)dv du.

Fixonsu∈UQ(F)tel que l’intégrale intérieure soit non nulle. L’élément`uappartient à Q(F)∩K<sub>F</sub><sup>ν</sup>. Décomposons son image dans Q<sup>ν</sup>(k<sub>F</sub>) en `u avec ` ∈ L^ν(k_F) et u∈UQ(kF). On voit alors que

Z

V

f_F(`uv)dv=c X

v∈UQ(k_F)

f(`v),

où c > 0 est une constante provenant des mesures et où on a identifié f à une fonction surG^ν_F(kF). Cette fonction est cuspidale. La somme ci-dessus est donc nulle si Q^ν 6= G^ν_F. Notre hypothèse de non-nullité implique donc Q^ν = G^ν_F, d’où aussi Q =L =G_F. Le toreA détermine un sous-tore déployé maximal A de G_F. On a X_∗(A)'X_∗(A). Les sous-toresA_MF etA_L déterminent des sous-toresA_MF et A_L. Par définition deM_F,AM_F est le plus grand sous-tore déployé contenu dans le centre de G_F. Par définition de L, ce groupe est le commutant de AL dansG_F. L’égalité L=G_F entraîne doncA_L⊂A_MF. D’où aussiA_L⊂A_MF. PuisqueQ^ν =G^ν_F, on a K_F^ν = (Q(F)∩K_F^ν)K_F⁺. On a aussi

K_F⁺= (K_F⁺∩Q(F))(K_F⁺∩U_Q(F)),

oùQest le parabolique de composante de LeviL opposé àQ. Donc K_F^ν = (Q(F)∩K_F^ν)(K_F⁺∩U_Q(F)).

On sait que l’ensembleK_F^ν∩NormG(A)(F)est non vide, cf. [6, 7.4.4]. Mais un élément deNorm_G(A)(F)qui appartient àQ(F)U_Q(F)appartient forcément àNorm_L(A)(F).

Soit doncw∈K_F^ν∩Norm_L(A)(F). Il agit naturellement dansAet conserveA_MF. Par définition deM =M_F,ν,AM est le plus grand sous-tore deAM_F contenu dans l’en-semble des points fixes de l’action dew. Puisquew∈L(F), ce sous-tore contientAL. DoncA_L⊂A_M et M ⊂L. Cela démontre la première assertion du lemme.

Supposons maintenantM ⊂L. Alors, pour`∈L(F)etu∈UQ(F), on a`u∈K_F^ν si et seulement si`∈K<sub>F</sub><sup>ν</sup>L etu∈UQ(F)∩K<sub>F</sub><sup>+</sup>(cela résulte de [36, Lem. 6]). On voit que la fonctionf<sub>F</sub>,UQ est à support dansK<sub>F</sub><sup>ν</sup>L et que, pour un élément`de ce groupe, on a f_F,UQ(`) = mes(UQ(F)∩K<sub>F</sub><sup>+</sup>)f(`), où`est l’image de`dansL^ν_FL(kF)'M^ν_FM(kF).

Par définition de la fonctionf_FL, on obtient la deuxième assertion du lemme, ce qui

achève sa preuve.

SupposonsM ⊂L. Posons

I_FL,F⁰(f, f⁰) = Z

L(F)

f_FL(`)f<sub>F</sub><sup>0</sup>0(`)d`.

Lemme2

(i) Si F^L6=F⁰, alors I_FL,F⁰(f, f⁰) = 0.

(ii) Si F^L=F⁰, alors M =L,F^M =F⁰ etI_FL,F⁰(f, f⁰) = mes(K_F⁰0)hf , f⁰i.

Démonstration. — Ici, tout se passe dansL, on peut aussi bien supposerL=Gpour simplifier les notations. On a donc F^L =F. SupposonsF 6=F⁰. Dans l’appartement App(A), fixons un segment [x, x⁰] joignant un point x ∈ F^ν à un point x⁰ ∈ F^0ν. L’hypothèse F 6= F⁰ entraîne que x 6= x⁰. Il y a une facette F⁰⁰ ∈ Fac(G, A) et un élément x⁰⁰ ∈]x, x⁰[ tel que le segment[x⁰⁰, x⁰[ soit contenu dans F⁰⁰. D’après ce que sont les supports def_F etf_F⁰0, on a

I_F,F⁰(f, f⁰) = Z

K_F^ν∩K^ν

F0

f_F(g)f_F⁰0(g)dg.

Si K_F^ν ∩K_F^ν0 =∅, cette intégrale est nulle et on a démontré (i). Sinon, considérons un élémentg∈K_F^ν∩K_F^ν0. L’action deg sur l’immeuble fixexet x⁰, donc aussi tout le segment[x, x⁰]. En particulier, il fixe[x⁰⁰, x⁰[, doncg∈K_F^†00. On awG(g) =ν, donc g∈K_F^ν00. Alors[x⁰⁰, x⁰[⊂F^00ν. Cela entraîneF⁰⁰6=F⁰ car l’hypothèse

(F⁰, ν)∈Fac^∗_max(G, A)

(rappelons que l’on a supposé L=G) signifie que F^0ν est réduit à un unique point, qui est doncx⁰. Le pointx⁰ est adhérent àF⁰⁰, donc toute la facetteF⁰ est contenue dans l’adhérence deF⁰⁰. Cela entraîneK_F⁰00⊂K_F⁰0. En général, il n’y a pas de relation d’inclusion entre les ensembles K_F^ν00 et K_F^ν0 mais, si l’on suppose que l’intersection de ces deux ensembles n’est pas vide , alors K_F^ν00 ⊂K_F^ν0. Ici, l’intersection des deux ensembles contientg. On sait qu’alors il existe un sous-groupe parabolique propre P de G_F⁰ et un sous-espace parabolique P^ν de G^ν_F0 associé àP, de sorte que l’image deK_F⁰00 dansG_F⁰(k_F)soitP(k_F)et que l’image deK_F^ν00 dansG^ν_F0(k_F)soitP^ν(k_F).

Il est facile d’identifier l’ensembleUP(kF) en décrivant les facettesF⁰ et F⁰⁰ comme en 2.2. On a forcément

Σ_F⁰⁰⊂Σ_F⁰, cα,F⁰⁰ =cα,F⁰ siα∈Σ_F⁰⁰ et cα,F⁰⁰=cα,F⁰ ouc⁻_α,F0 siα∈Σ_F⁰−Σ_F⁰⁰. Notons Ξ l’ensemble des α ∈ Σ_F⁰ −Σ_F⁰⁰ tels que cα,F⁰⁰ =cα,F⁰. AlorsUP(kF)est l’image dans G_F⁰(kF) de Q

α∈ΞUα,c_α,F0. Notons V ce dernier groupe. Il est inclus dans K_F⁰0. Montrons qu’il est inclus dans K_F⁺. En effet, soit α∈ Ξ. Les définitions entraînent que α(x⁰⁰)> α(x⁰) =c_α,F⁰. A fortiori, α(x)> α(x⁰⁰)> c_α,F⁰. Si α∈ Σ_F, on acα,F =α(x)> cα,F⁰ donc

c⁻_α,F>c_α,F⁰ et K_F⁺∩U_α(F) =U_α,c−

α,F ⊃U_α,c

α,F0.

Siα6∈Σ_F,c_α,F est le plus grand élément deΓ_αqui soit strictement inférieur àα(x), donc cα,F > cα,F⁰. On a encore K_F⁺∩Uα(F) = Uα,c_α,F ⊃ Uα,c_α,F0. Cela démontre l’assertion. On peut alors écrire

I_F,F⁰(f, f⁰) = Z

(K_F^ν∩K^ν

F0)/V

Z

V

f_F(gv)f_F⁰0(gv)dv dg.

On vient de voir queV ⊂K_F⁺ et f_F est invariante par ce groupe donc l’intégrale se récrit

I_F,F⁰(f, f⁰) = Z

(K_F^ν∩K^ν

F0)/V

f_F(g) Z

V

f_F⁰0(gv)dv dg.

Pour g intervenant dans cette intégrale, notonsg son image dansG^ν_F0(k_F). On a en fait g ∈ P^ν(kF). À une constante positive près provenant des mesures, l’intégrale intérieure n’est autre que

X

u∈U_P(k_F)

f⁰(gu).

Ceci est nul car f⁰ est cuspidale. Donc I_F,F⁰(f, f⁰) = 0, ce qui démontre le (i) de l’énoncé.

Supposons maintenant F=F⁰. Alors M =M_F,ν =M_F⁰,ν =Gpuisque (F⁰, ν)∈ Fac^∗_max(G, A). D’où F^M = F = F⁰. Un calcul immédiat donne la formule (ii) de

l’énoncé, ce qui démontre celui-ci.

Après ces préliminaires, démontrons la proposition. Notons N un ensemble de représentants du quotient

NormL(A)(F)\NormG(A)(F)/(NormG(A)(F)∩K_F⁰).

Fixons un sous-groupe parabolique Q∈P(L). On définit comme en 3.1 une pseudo-mesure surQ(F)\G(F). On sait queG(F)est union disjointe des ensemblesQ(F)nK_F⁰ quandndécrit N. Pour toutn∈N, introduisons la fonctionϕn surG(F)à support dansQ(F)nK_F⁰ telle que

ϕ_n(`unk) =δ<sub>Q</sub>(`) pour tous`∈L(F), u∈U_Q(F), k∈K_F⁰.

On note mn la valeur de son intégrale contre la pseudo-mesure sur Q(F)\G(F).

Puisquef_F est invariante parK_F⁰, la définition de D^G_f0(f_F)se récrit

(3) D^G_f0(f_F) = X

n∈N

m_nD^L_f0((ⁿ(f_F))_UQ).

Pour n ∈ N, l’action de n transporte F en une facette nF, le Levi M = M_F,ν en le Levi nM n⁻¹ =MnF,ν, la facette F^M en une facettenF^M ∈Fac(nM n⁻¹, A)et f en une fonction ⁿf ∈ Ccusp((nMn⁻¹)^ν_nFM). On a ⁿ(f_F) = (ⁿf)nF. On applique le lemme 1 en y remplaçantFparnFet f_F par(ⁿf)nF. Cette assertion nous dit que la contributionD^L_f0((ⁿf_F)_UQ)denà la formule (3) est nulle sinM n⁻¹6⊂L. On noteN⁰ le sous-ensemble des n∈ N tels que nM n⁻¹ ⊂L. Pourn ∈N⁰, cette contribution estmes(UQ(F)∩K_n⁺_F)D_f^L0((ⁿf)_(nF)L). Par définition, on a

(4) D_f^L0((ⁿf)_(nF)L) = Z

AL(F)\L(F)

Z

L(F)

(ⁿf)_(nF)L(x⁻¹`x)f<sub>F</sub><sup>0</sup>0(`)d` dx.

NotonsN_n⁰ un ensemble de représentants du quotient

AL(F)(K_F⁰0∩NormL(A)(F))\NormL(A)(F)/(K_(n⁰_F)L∩NormL(A)(F)).

On utilise maintenant la décomposition en union disjointe L(F) = F

n⁰∈N_n⁰

AL(F)K_F⁰0n⁰K_(n⁰_F)L.

Pourn⁰ ∈N_n⁰, notonsm⁰_n0 la mesure de

AL(F)\AL(F)K_F⁰0n⁰K_(n⁰_F)L.

Puisque les fonctions(ⁿf)_(nF)L, resp.f_F⁰0, sont invariantes par conjugaison parK_(n⁰_F)L, resp.K_F⁰0, la formule (4) se récrit

D^L_f0((ⁿf)_(nF)L) = X

n⁰∈N_n⁰

m⁰_n0

Z

L(F)

n⁰(ⁿf)_(nF)L(`)f<sub>F</sub><sup>0</sup>0(`)d`.

Pour n⁰ apparaissant ci-dessus, on aⁿ⁰(ⁿf)_(nF)L = (ⁿ⁰ⁿf)_(n⁰_nF)L avec des définitions similaires aux précédentes. Remarquons que M_n⁰_nF,ν = n⁰nM(n⁰n)⁻¹. La formule ci-dessus se récrit

D_f^L0((ⁿf)_(nF)L) = X

n⁰∈N_n⁰

m⁰_n0I_(n0nF)^L,F⁰(ⁿ⁰ⁿf, f⁰).

Pour toutn⁰, on applique le lemme 2 en y remplaçantFparn⁰nFetf parⁿ⁰ⁿf. Le (i) de ce lemme nous permet de nous limiter auxn⁰ tels que

n⁰nM(n⁰n)⁻¹=L, (n⁰nF)^L=n⁰nF^M =F⁰.

Notons N_n⁰⁰ l’ensemble des n⁰ ∈N_n⁰ satisfaisant à ces conditions. En utilisant le (ii) du lemme 2, on obtient

D^L_f0((ⁿf)_(nF)L) = X

n⁰∈N_n⁰⁰

m⁰_n0mes(K_F⁰0)hⁿ⁰ⁿf , f⁰i.

En rassemblant ces calculs, on obtient (5) D_f^G0(f_F) = X

n∈N⁰

X

n⁰∈N_n⁰⁰

m_nmes(U_Q(F)∩K_n⁺_F)m⁰_n0mes(K_F⁰0)hⁿ⁰ⁿf , f⁰i.

On vérifie que de l’application

{(n, n⁰)|n∈N⁰, n⁰∈N_n⁰⁰} −→NormG(A)(F) (n, n⁰)7−→n⁰n

se déduit une bijection de l’ensemble de départ sur le quotient AL(F)(K_F⁰0∩NormG(A)(F))\N(M,F^M, L,F⁰).

SiN(M,F^M, L,F⁰)est vide, on a doncD^G_f0(f_F) = 0, ce qui démontre le (i) de la propo-sition. SupposonsN(M,F^M, L,F⁰)6=∅. On peut supposer queN(M,F^M, L,F⁰)est égal à l’ensemble desn⁰npour(n, n⁰)comme ci-dessus. Pour un tel couple, on vérifie

les propriétés suivantes

K_n⁰_F∩Q(F) = (K_n⁰_F∩L(F))(K_n⁰_F∩U_Q(F)), K_n⁰_F∩L(F) =K_(n⁰_F)L,

K_n⁰_F∩UQ(F) =K_n⁺_F∩UQ(F),

cf. [36, Lem. 6];

m_n= mes(K_F⁰) mes(K_(n⁰_F)L)⁻¹mes(K_n⁺_F∩U_Q(F))⁻¹; mes(K_(n⁰_F)L) = mes(K_F⁰0);

m⁰_n0 = mes(AL(F)\AL(F)K_F⁰0) = mes(K_F⁰0) mes(AL(F)c)⁻¹.

En utilisant ces propriétés, la formule (5) devient celle du (ii) de la proposition.

3.7. Relèvement de fonctions à G(F). — Pour (F, ν) ∈ Fac^∗(G), notons C(G^ν_F) l’espace des fonctions à valeurs complexes sur G^ν_F(kF) et notons E^ν_F l’espace des fonctions surG(F), à support dansK_F^ν et invariantes par multiplication à droite ou à gauche parK_F⁺. Ces espaces s’identifient comme en 3.4 : pour une fonctionf ∈C(G^ν_F), on identifief à une fonction surK_F^ν/K_F⁺, on la relève en une fonction surK_F^ν puis on l’étend en une fonction surG(F)par0hors deK_F^ν. On notef_F la fonction obtenue, qui appartient à E^ν_F.

SoitM un Levi deGet soit(FM, ν)∈Fac^∗_G-comp(M). Fixons une facetteF∈Fac(G) telle que

(F, ν)∈Fac^∗(G), M_F,ν =M_FM,ν et F^M =FM.

C’est possible d’après [36, Lem. 6 & 7]. On a M^ν_FM =G^ν_F doncC(M^ν_FM) =C(G^ν_F).

Ainsi, pourf ∈C(M^ν_F

M), on définit la fonctionf_F∈E^ν_F.

Lemme. — L’image def_F dansI(G)ne dépend pas du choix deF.

Démonstration. — SoitF⁰∈Fac(G)satisfaisant aux mêmes conditions queF. On doit prouver que les images dansI(G)def_F et f_F⁰ sont égales. On peut supposerF6=F⁰ sinon c’est évident. On ne perd rien à supposer que (FM, ν) ∈ Fac^∗_G-comp(M, A).

Notons X l’image réciproque de F^νM dans Imm(GAD). C’est un sous-ensemble de App(A). Les ensembles F^ν et F^0ν sont contenus dans X et sont des ouverts de cet ensemble, cf. [36, Lem. 7]. Fixons des points x ∈ F^ν et x⁰ ∈ F^0ν. Le découpage de App(A) en facettes induit un découpage du segment [x, x⁰] en points et segments ouverts. C’est-à-dire que l’on a des points xi pouri= 1, . . . , n, des facettesFi pour i= 1, . . . , n−1 et des facettesF⁰⁰i pouri= 1, . . . , nde sorte que

[x, x₁[ = [x, x⁰]∩F, ]x_n, x⁰] = [x, x⁰]∩F⁰; ]xi, xi+1[ = [x, x⁰]∩Fi pouri= 1, . . . , n−1 ;

{xi}= [x, x⁰]∩F⁰⁰i pouri= 1, . . . , n.

Un élémentk∈K_F^ν

Mappartient à la fois àK_F^ν etK_F^ν0. Donc son action surImm(G) fixe tout le segment [x, x⁰]. Il en résulte queν appartient à N(Fi) et àN(F⁰⁰i)pour tout iet que l’on peut aussi bien ajouter des exposantsν dans les égalités ci-dessus, par exemple ]xi, xi+1[= [x, x⁰]∩Fi^ν. On décrit les facettes comme en 2.2. Parce que

M ⊃M_F,ν ⊃M_F, on a Σ_F= Σ_FM et, parce queF^M =FM, on acα,F =cα,FM pour tout α∈ Σ^M. Il en est de même en remplaçant F par F⁰. Fixons i = 1, . . . , n−1.

L’ensemble Σ_Fi est celui des α tels que, pour un point y ∈ Fi, ou pour tout point y∈Fi,α(y)appartient àΓ_α. Puisque[x, x⁰]∩Fi est ouvert dans[x, x⁰], il revient au même de dire que α ∈ Σ_F∩Σ_F⁰ et cα,F =cα,F⁰. La description ci-dessus entraîne alors Σ_Fi = Σ_F = Σ_F⁰ = Σ_FM. Donc M_Fi = M_F. L’espace AM_{Fi ,ν} est le sous-espace des points fixes de l’action de l’élément k ci-dessus dans AM_Fi. Il en est de même en remplaçant Fi par F. Puisque M_Fi =M_F, cela entraîne M_Fi,ν =M_F,ν = M_FM,ν. Enfin, on a évidemment Fi^M = FM. Cela démontre que chaque facette Fi

satisfait aux mêmes conditions que F et F⁰. On peut définir une fonction f_Fi pour toutiet il nous suffit de démontrer successivement que les fonctionsf_F, f_F1, . . . , f_Fn−1 et f_F⁰ ont même image dans I(G). On est ramené au cas de facettes consécutives, autrement dit au cas n = 1 dans notre construction. Notons simplement F⁰⁰ = F⁰⁰1. Les facettesFetF⁰ déterminent des espaces paraboliquesP^ν etP^0ν deG^ν_F00 :K_F^ν est inclus dans K_F^ν00 et P^ν(k_F) est l’image deK_F^ν dans G^ν_F00(k_F). Ils ont un espace de Levi commun M^ν, qui est isomorphe à G^ν_F et à G^ν_F0, ou encore à M^ν_FM : c’est l’image deK_F^ν∩K_F^ν0. La fonctionf s’identifie à une fonction surM^ν(kF). Notonsf^P la fonction sur G^ν_F00(k_F), à support dans P^ν(k_F), telle que f^P(mu) = f(m) pour tous m ∈ M^ν(kF) et u ∈ UP(kF). Il résulte des constructions que f_F = (f^P)_F⁰⁰. Définissons une fonctionf⁰⁰ surG^ν_F00(kF)par l’égalité

f⁰⁰(g) =|P(kF)|⁻¹ X

x∈G_F00(k_F)

f^P(x⁻¹gx)

pour tout g ∈ G_F⁰⁰(kF). En posant c = |G_F⁰⁰(kF)||P(kF)|⁻¹, on voit que les fonctionsf_F⁰⁰00 et c(f^P)_F⁰⁰ ont même image dans I(G). Il en est donc de même des fonctions f_F⁰⁰00 et cf_F. On a utilisé l’espace P^ν pour construire f⁰⁰. On peut refaire la construction en utilisant l’espace P^0ν. Le point est que la fonction f⁰⁰ obtenue est la même, c’est la fonction « induite » de f. Donc les fonctions f_F⁰⁰00 et cf_F⁰ ont même image dans I(G)et il en est de même des fonctions f_F et f_F⁰. Cela achève la

démonstration.

Remarque. — Le groupe K_F^†,G

M agit naturellement sur M^ν_F

M(k_F) et sur C(M^ν_F

M).

Pour g ∈K_F^†,G

M et f ∈C(M^ν_F

M), notons^gf l’image de f par l’action deg. Il résulte du lemme que les fonctions(^gf)_F et f_F ont même image dansI(G).

3.8. Un espace de fonctions. — On noteE(G)le sous-espace deC_c^∞(G(F))engendré par lesE^ν_F quand(F, ν)décritFac^∗(G). On noteIE(G)l’image deE(G)dansI(G).

Pour M ∈ Lmin, le groupe Norm_G(A)(F)∩Norm_G(M)(F) agit sur l’ensemble Fac^∗_max,G-comp(M, A). Fixons un ensemble de représentantsFac^∗_max,G-comp(M, A)des orbites. Pour chaque (FM, ν) ∈ Fac^∗_max,G-comp(M, A), l’action du groupe K_F^†,G

M sur C(M^ν_FM)conserve l’espaceCcusp(M^ν_FM)et on noteCcusp(M^ν_FM)^K

†,G

FM le sous-espace

des invariants. On pose

E(G, M) = L

(FM,ν)∈Fac^∗_max,G-comp(M,A)

Ccusp(M^ν_FM)^K

†,G FM.

Pour tout (FM, ν)∈Fac^∗_max,G-comp(M, A), fixons comme dans la section précédente une facetteF^GM ∈Fac(G, A)telle que

(F^GM, ν)∈Fac^∗(G, A), M_FG

M,ν =M et (FM^G)^M =FM. Pour f ∈ C_cusp(M^ν_F

M)^K

†,G

FM, on a défini la fonction f_FG

M sur G(F). L’application f 7→f_FG

M se prolonge par linéarité en une application deE(G, M)dansE(G). On note e(G, M) : E(G, M) → IE(G) la composée de cette application et de la projection E(G)→IE(G). On noteIm(e(G, M))l’image de e(G, M).

Lemme. — On a l’égalitéIE(G) =P

M∈LminIm(e(G, M)).

Démonstration. — Soit(F, ν)∈Fac^∗(G)et f ∈C(G^ν_F). On veut prouver que l’image def_FdansI(G)appartient à la somme desIm(e(G, M)). On ne perd rien à supposerf invariante par conjugaison parG_F(k_F). On sait que l’on peut écriref comme somme finie de fonctions « induites »Ind^G_M^νν(f_M^ν)(la définition a été rappelée dans la preuve précédente), où M^ν est un espace de Levi deG^ν et fM^ν est une fonction cuspidale surM^ν(kF)invariante par conjugaison parM(kF)(cette décomposition résulte par exemple de [4, Th. 2.11]). On peut aussi bien supposer quef est l’une de ces fonctions induites, disonsf = Ind^G_M^νν(f⁰). Fixons une telle fonction et un espace paraboliqueP^ν de composante de Levi M^ν. Au sous-groupe parabolique P correspond une facette F⁰ ∈Fac(G)dont l’adhérence contientF. On a encore(F⁰, ν)∈Fac^∗(G)d’après l’exis-tence d’un espaceP^ν de parabolique associé P. On a vu dans la preuve précédente que les images dansI(G)def_F et de f_F⁰0 étaient proportionnelles. Cela nous ramène au problème de départ où l’on a remplacé F et f par F⁰ et f⁰. En oubliant cette construction, on peut supposerf cuspidale.

On peut conjuguer F et f par un élément de G(F), cela ne change pas l’image de f_F dans I(G). On peut donc supposer F ⊂ App(A). Posons M = M_F,ν. On a défini la facette F^M ⊂Imm(MAD)associée àF. On aν ∈N^MG-comp(F^M)d’après [36, Lem. 6(i)]. La dernière assertion de ce lemme et l’égalité M =M_F,ν entraînent que F^M,ν est réduit à un point, c’est-à-dire que(F^M, ν)∈Fac^∗_max(M, A). De nouveau, par conjugaison, on peut supposer

M ∈Lmin et (F^M, ν)∈Fac^∗_max,G-comp(M, A).

Les espaces G^ν_F et M^ν_FM s’identifient, on peut considérer f comme un élément de Ccusp(M^ν_FM). Remarquons queFsatisfait aux les mêmes propriétés que la facetteF^GM

que l’on a fixée plus haut. D’après le lemme 3.7, les fonctions f_F et f_FG

M ont même image dans I(G). La fonction f n’est pas forcément invariante par conjugaison par K_F^†,G_M. Mais, d’après la remarque 3.7, on peut moyenner f par l’action de ce groupe sans changer l’image def_F dansI(G). On peut donc supposerf invariante parK_F^†,GM.

On a alors f ∈ E(G, M) et l’image de f_F dans I(G) est égale à l’image de f par

l’applicatione(G, M).

3.9. Deux espaces en dualité. — Pour M ∈ Lmin, notons DG-comp(G, M) l’image dansDG-comp(G)de l’espaceDcusp,G-comp(M). SiM =G,DG-comp(G;G)est simple-ment l’espaceDcusp(G)déjà défini. On a

DG-comp(G) = X

M∈Lmin

DG-comp(G, M).

Pour toutM ∈Lmin, on vérifie que le sous-espace

(1) Y

(FM,ν)∈Fac^∗_max,G-comp(M,A)

C_cusp(M^ν_F

M)^K

†,G

FM ⊂Dcusp,G-comp(M)

s’envoie bijectivement surDG-comp(G, M).

Proposition

(i) Pour tout M ∈ Lmin, l’application e(G, M) est injective et la restriction de

(i) Pour tout M ∈ Lmin, l’application e(G, M) est injective et la restriction de

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