Respect des contraintes

Nous avons formalisé en début de chapitre les différentes contraintes sur le système. La satisfaction des contraintes liées aux trajectoires opérationnelles de consigne passe par l’utilisation des lois de commande basées sur les modèles du système présentées précédem- ment. En ce qui concerne la satisfaction des autres contraintes, nous présentons ici les solutions retenues pour assurer leur respect.

3.3.2.1 Respect des contraintes intrinsèques au système Contraintes sur les vitesses ou couple actionneurs

Le respect de la contrainte (3.9) s’écrit :

|cp+ c_{red| ≤ cmax}.

En ne considérant pas le terme associé à la redondance, il faut tout d’abord respecter :

|cp| ≤ cmax. (3.35)

cp est calculé en fonction de ˙z′ et/ou de f′ (par inversion cinématique et méthode du couple calculé). Ainsi, ˙z′ _{et f}′ _{doivent être tels qu’en toute configuration régulière du} système, la contrainte (3.35) soit respectée. En fonction de la configuration du système, le respect de cette contrainte n’induit pas les mêmes bornes ˙zmax et fmax. La solution la plus simple est de minorer ˙z et f en cherchant les configurations du système dans lesquelles l’application de cmax comme consigne articulaire induit les plus petits ˙z et f . ˙zmax et fmax sont alors fixés à ces valeurs. Cette solution présente l’avantage d’assurer le respect inconditionnel de la contrainte (3.35) et elle permet par ailleurs la planification hors-ligne de trajectoire. Cependant, elle ne permet pas d’employer les actionneurs au maximum de leurs capacités et il peut être préférable d’adapter ˙zmax et fmax au cours de la mission, en fonction de la configuration du système.

Le terme associé à la redondance ne bénéficie alors plus que de la marge laissée par la tâche principale. Ainsi, le terme cred calculé pour l’optimisation d’un objectif secondaire peut être trop grand par rapport à la marge laissée par la tâche principale. Il faut donc le mettre à l’échelle. La mise à l’échelle consiste à rechercher le coefficient réel positif α tel que :

|cp+ αc_{red| ≤ cmax}.

La direction de descente du gradient associé à creddoit bien sûr être conservée et α est alors donné par :

α = min 

|cmax,i.sign (cred,i)− cp,i| |cred,i|  i=1...nddl , α_max ! .

Nous avons 0≤ α ≤ αmax. La valeur αmaxest choisie de manière à limiter l’amplification maximale du terme cred. Elle peut par exemple être dimensionnée à partir de la règle d’Armijo dont le but consiste à fixer le pas d’itération le meilleur pour les méthodes de descente de gradient ([Culioli 94] fournit une bonne base pour la compréhension de cette règle). Elle peut aussi être fixée à 1, interdisant ainsi l’amplification du terme lié à la redondance.

Contraintes sur accélérations des actionneurs

Le respect de la contrainte (3.7) sur l’accélération, s’écrit : |˙cp+ ˙c_{red| ≤ ˙cmax}.

En ne considérant pas le terme associé à la redondance, il faut tout d’abord respecter :

|˙cp| ≤ ˙cmax. (3.36)

De manière similaire au respect de la contrainte sur les vitesses ou les couples, le respect de la contrainte (3.36) nécessite d’établir des bornes fixes ou variables sur les grandeurs de consigne ¨z′ et ˙f′_{. Ces bornes sont respectivement notées ¨z}′

max et ˙fmax′ .

En ce qui concerne le terme lié à la redondance, un raisonnement similaire à celui utilisé pour le calcul de α peut être mené et le facteur de mise à l’échelle choisi est celui qui permet la satisfaction des deux contraintes (3.6) et (3.7) simultanément. Cela suppose que les fonctions potentiel _Pi(t) sont toutes de classe _C2 afin d’assurer la continuité de ∇Pi(t)et de _dtd (_∇Pi(t)): hors des configurations singulières, si_Pi(t)est de classe_C2 _alors α(t)est de classe C1 _{et αc}

red l’est donc aussi. Afin d’éviter le recours à la mise à l’échelle des accélérations (celui ci pouvant ne pas être compatible avec celle des vitesses), ∇Pi(t) est tout d’abord normé à 1 afin de limiter les sauts liés au calcul d’un tel gradient de manière numérique. Cela n’est en soi pas problématique, car dans la méthode de descente du gradient, c’est la direction de la plus grande pente qui compte, le pas d’itération étant fixé par α.

Continuité du terme lié à la redondance lors d’un basculement d’objectif secondaire Lors du basculement d’objectif secondaire, les fonctions potentiel qui sont enchaînées ne présentent aucune garantie de continuité à l’instant de l’enchaînement. Il est donc nécessaire de construire une fonction potentiel de transition, combinaison convexe des deux fonctions à enchaîner qui assure la continuité du terme lié à la redondance. Nous utilisons donc un paramètre β(t), variant linéairement de 0 à 1 pendant le temps nécessaire à la transition :

β(t) =        0 si t < tti  1 (ttf−tti)  (t_{− tti}) si t_{ti≤ t < ttf} 1 si t_{≥ ttf} ,

où tti est le temps de début de transition et ttf le temps de fin de transition. La fonction potentiel utilisée à l’instant t est donnée par :

P(t) =    Pold(t) si t < tti Pnew(t)β(t)2+_Pold(t) 1_{− β(t)}2
si tti≤ t < ttf Pnew(t) si t_{≥ ttf} . 3.3.2.2 Autres contraintes Evitement des butées articulaires

La fonction potentiel utilisée pour l’évitement de la butée qmaxde l’articulation qi peut, par exemple, s’écrire sous la forme d’une fonction à minimiser :

P(q) = 1

(qmax− qi)2 .

Maximisation de la manipulabilité

La fonction potentiel retenue pour la maximisation de la manipulabilité est ωb(q). Si le gradient d’une fonction telle que celle employée pour éviter les butées articulaires peut être calculé de manière formelle, cela devient assez complexe pour une fonction telle que ωb(q). Il est alors possible d’estimer numériquement le gradient :

∇P (q) =h ∆1P(q) ∆q1 ∆2P(q) ∆q2 . . . iT , où : ∆_{iP (q) = P (q1}, . . . , qi+ ∆qi, . . . , qn)− P (q) .

Minimisation des efforts d’impact liés à la transition

Dans ce cas, nous avons vu qu’une préparation active de cette transition nécessite la maximisation de la fonction nTR (q) noù nous rappelons que n est la normale à la surface de contact et R(q) est extraite de ¯Λ (q)−1 (extraction de la sous-matrice correspondant aux accélérations linéaires de l’OT ). Cette maximisation engendre une modification des propriétés inertielles du système qui dans la direction opérationnelle normale au contact voit son inertie diminuer. L’énergie cinétique à dissiper au moment de l’impact est alors moindre et les efforts d’interaction qui résultent de cet impact sont par conséquent eux aussi diminués.

Maximisation de la distance aux obstacles pour la plateforme

De nombreux travaux ont été réalisés sur ce thème pour des plateformes à roues om- nidirectionnelles ou non. Citons par exemple les travaux sur la déformation réactive de trajectoire proposée par D. Bonnafous et F. Lamiraux dans le cadre de la navigation d’une plateforme à roues de type unicyle avec remorque ([Lamiraux 04]).

Notre cas est différent car il nécessite le respect géométrique strict de la trajectoire opérationnelle. Ainsi la fonction potentiel utilisée tend à maximiser la distance du centre de la plateforme à l’obstacle mais surtout à régler la direction instantanée de déplacement de la plateforme vers la direction tangente à l’obstacle. Ceci est en partie l’objet du travail de DEA de A. Mauratille ([Mauratille 05]).

3.3.2.3 Critère d’efficacité de l’optimisation locale d’un objectif secondaire

Il est important de s’assurer que l’objectif secondaire qui est optimisé va l’être « effica- cement ». Les risques sont que :

– la projection du vecteur c0 dans (Inddl− E (q)

⋆_{E (q))}

génère un vecteur cred dont la norme est faible par rapport au vecteur non projeté ;

– les vitesses opérationnelles soient importantes, faisant tendre cp → cmax et donc α_{→ 0.}

Dans le premier cas, O. Brock et al. proposent, dans leur article [Brock 02] consacré à l’évitement d’obstacle pour des manipulateurs mobiles omnidirectionnels, l’indicateur suivant :

ρ = k(Inddl− E (q)

⋆_{E (q)) c} 0k

kc0k .

Pour des valeurs de ρ inférieures à un seuil donné, ils proposent de relâcher momentané- ment certaines des contraintes opérationnelles afin de pouvoir optimiser de manière satis- faisante l’objectif secondaire actif. Cela n’est pas conforme avec notre cahier des charges.

Dans le second cas, α ou _αα

max sont des indicateurs intéressants. Nous proposons de

partager l’intervalle [0, αmax] en nα intervalles de taille identique. A ces intervalles sont associés des coefficients cαde réduction de la vitesse opérationnelle. Cela permet de ralentir le mouvement opérationnel afin de redistribuer les capacités d’actionnement du système vers les objectifs secondaires en fonction de la valeur de α. Pour α = 0, i.e. les actionneurs sont dédiés uniquement à l’objectif de commande opérationnelle, le coefficient de réduc- tion vaut 0. Le mouvement opérationnel est alors stoppé mais la contrainte de situation opérationnelle est pour autant maintenue. Du point de vue de l’effort cela revient à réduire le niveau de consigne d’effort désiré.

Nous faisons aussi le choix de diminuer la vitesse opérationnelle en nous basant sur la proximité d’une valeur minimale critique pour la valeur de la fonction potentiel active.

La réduction des consignes opérationnelles est réalisée en ligne si les consignes opéra- tionnelles ne sont pas planifiées mais nécessite une replanification dans le cas contraire. Cette replanification, au même titre qu’une replanification liée à la mise à jour du plan initial à l’instant du basculement entre deux tâches opérationnelles, est bien sûr telle que la continuité des vitesses/efforts et des accélérations opérationnelles est assurée.