1.3 Cadre de nos travaux
2.1.3 Application aux manipulateurs mobiles à roues
2.1.3.1 Coordonnées généralisées d’un bras manipulateur de type série
Ces systèmes sont strictement holonomes. Ainsi, en choisissant les paramètres de Dena- vit Hartenberg modifiés, introduits par W. Khalil et J. Kleinfinger dans [Khalil 86], pour décrire leur structure, nous sommes amenés à utiliser les variables articulaires, i.e. les grandeurs caractéristiques de chacune des articulations1, comme coordonnées généra-
lisées. Pour un manipulateur constitué de nb corps mobiles rigides reliés en série par nb liaisons rotoïdes et/ou prismatiques, nous avons donc un vecteur qb de nb coordonnées indépendantes : qb = qb1 qb2 .. . qbnb ,
décrivant complètement la configuration du système. Cette configuration est définie sur l’espace des configurations du bras manipulateurNb de dimension nb.
La situation de l’OT du bras manipulateur est noté ξb et est définie sur l’espace opé- rationnel du bras manipulateur Mb de dimension mb. La plateforme d’un manipulateur mobile à roues pouvant, si la mission l’exige, être amenée à ne pas bouger, il est nécessaire de choisir un bras manipulateur tel que mb = m. Cela revient à concevoir le système de manière à ce que le bras manipulateur seul puisse agir sur l’ensemble des coordonnées opérationnelles contenues dans ξ.
2.1.3.2 Coordonnées généralisées pour les plateformes à roues.
Les propriétés des plateformes à roues sont décrites en détail par G. Campion et al. dans [Campion 96] qui constitue une référence sur laquelle nous basons les éléments de compréhension sur les plateformes à roues apportés dans ce chapitre.
Le type de roues et leur combinaison au sein d’un même système sont tels que les plateformes mobiles à roues peuvent prendre un grand nombre de formes différentes. Sans préjuger, dans un premier temps, de la forme des différentes liaisons des plates-formes mobiles à roues, nous nous attachons ici à définir intuitivement l’ensemble des paramètres nécessaires à la description de la configuration de ces systèmes.
Avant toute chose, nous faisons ici une première hypothèse : une plateforme mobile à roues est composée d’au moins trois roues. Sous une allure simpliste, cette hypothèse est nécessaire à l’équilibre d’un tel système et elle a une importance capitale lorsque le thème de la commande est abordé par la suite.
La configuration d’une plateforme mobile à roues est connue lorsque sa situation dans le repèreR est connue et que la configuration de chacune de ses roues est connue.
1
un angle dans le cas de deux corps liés par une liaison rotoïde (pivot) et une distance dans le cas de deux corps liés par une liaison prismatique (glissière).
Pour une plateforme mobile à roue évoluant sur un sol lisse et tel que le vecteur ~z du repèreR est normal à sa surface, la situation est complètement définie par deux paramètres de position et un d’orientation. Elle est donc définie sur un espace notéMp de dimension mp = 3. SoitRp = (Op, ~xp, ~yp, ~zp)un repère mobile lié à la plateforme tel que ~z et ~zp sont colinéaires, ces paramètres sont alors x et y, les coordonnées de Op dans R, et ϑ l’angle (~x, ~xp). Ils forment les composantes du vecteur ξp :
ξp= x y ϑ .
Le choix du point Op est libre mais G. Campion et al. montre dans [Campion 96] qu’un choix judicieux peut être fait en fonction du type de plateforme mobile à roues envisagé. Ce choix est illustré, dans le cas d’une plateforme de type voiture, par la figure
2.1. ϑ x O ~x ~ y y ~xp Op ~ yp
Figure 2.1: Paramètres de situation d’une plateforme mobile à roues
La configuration d’une roue et le nombre de paramètres nécessaires à sa description est dépendant du type de roue considéré. Nous introduisons ici les quatre types de roues principalement utilisés en robotique mobile :
– les roues fixes, en nombre Nf, dont l’axe de rotation, parallèle au sol, passe par le centre de la roue ;
– les roues centrées orientables, en nombre Nc, dont l’axe d’orientation, perpendiculaire au sol, passe par le centre de la roue ;
– les roues décentrées orientables, en nombre Nd, dont l’axe d’orientation, perpendicu- laire au sol, ne passe pas par le centre de la roue ;
– les roues suédoises2, en nombre N
s, pour lesquelles la composante nulle de la vitesse de glissement au point de contact n’est pas dans le plan de la roue.
Ces différents types de roues sont présentés sur la figure2.2alors que leur paramétrage respectif est schématisé sur la figure2.3.
Le tableau 2.1décrit le caractère constant ou variable des paramètres introduits dans la figure 2.3 en fonction du type de roue. Ainsi, une plateforme mobile à N = Nf + Nc + Nd+ Ns roues requiert N + Nc + Nd paramètres pour décrire la configuration de l’ensemble de ses roues. Nous notons ϕf = hϕf1. . . ϕfNf
iT , ϕc = ϕc1. . . ϕcNc T , ϕd = h ϕd1. . . ϕd Nd iT et ϕs=ϕs1. . . ϕsNs T
les vecteurs de rotation propre des différentes roues
2
système de roue breveté en 1973 par Bengt Ilon et la société suédoise Mecanum AB (brevet USA n◦03746112).
(a) Roues fixes (b) Roues centrées orientables
(c) Roues décentrées orientables (d) Roues suédoises
Fig. 2.2 – Différents types de roues utilisés pour les plates-formes mobiles
~xp γ ϕ Op ~ yp β α r b ~ xp Op ~ yp α ϕ b b′ r β
(a) Paramétrage pour des roues fixes, centrées orientables et suédoises
(b) Paramétrage pour des roues décentrées et
orientables
Fig. 2.3 – Paramétrage pour la description de la configuration des différents types de roues
et βc=βc1. . . βcNc
T
et βd=hβd1. . . βd
Nd
iT
les vecteurs d’orientation des roues centrées et décentrées orientables. Posons :
ϕ = ϕf ϕc ϕd ϕs ,
la configuration d’une plateforme mobile à roues est alors complètement décrite sur un espaceNp par un vecteur de dimension np = mp+ N + Nc+ Nd :
qp= ξp ϕ βd βc .
type de roue (a) (b) (c) (d) r constant constant constant constant b constant constant constant constant ϕ variable variable variable variable β constant variable variable constant α constant constant constant constant
γ 0 0 0 constant
b′ 0 0 0 constant
Tab. 2.1 – Propriétés des paramètres de description des roues en fonction de leur type Contrainte de roulement sans glissement
Le vecteur qp décrit la configuration d’une plateforme à roues sans formaliser la notion de contact des roues avec le sol. L’hypothèse de liaisons parfaites induit trois hypothèses sur ce contact :
– les roues, comme le sol, sont indéformables ; – la surface de contact est assimilée à un point ; – les roues roulent sans glisser sur le sol.
Le roulement sans glissement (noté rsg par la suite) des roues sur le sol implique des relations entre les paramètres du vecteur ˙qp. Ces relations, a priori non intégrables, sont dans un premier temps considérées comme des équations de liaison complémentaires pour le système. Il est possible de montrer que la contrainte rsg d’une roue s’écrit :
– dans le plan vertical de la roue pour tout type de roue :
−Sαβγ Cαβγ bCβγ R(ϑ)T˙ξp+ rCγϕ = 0,˙ (2.6) – dans le plan orthogonal au plan vertical de la roue (excepté pour les roues suédoises) :
Cαβ Sαβ b′+ bSβ R (ϑ)T ˙ξp+ b′β˙ = 0. (2.7) R (ϑ) est une matrice orthogonale de changement de base. Elle représente la rotation d’angle ϑ autour de l’axe ~z qui permet de passer de l’orientation d’un vecteur dans le repère Rp à l’orientation de ce même vecteur dans le repèreR. Elle s’écrit :
R(ϑ) = Cϑ −Sϑ 0 Sϑ Cϑ 0 0 0 1 . (2.8)
Notations : Les notations Cα1α2...αz et Sα1α2...αzsont des raccourcis d’écriture pour
cos (α1+ α2+ . . . + αz) et sin (α1+ α2+ . . . + αz).
Remarque : Il est intéressant de remarquer que dans le cas d’une roue suédoise telle que γ = π2, l’équation de liaison (2.6) se ramène à une équation de la forme de l’équation (2.7). Ce cas particulier est comparable au cas d’une roue conventionnelle pour laquelle la contrainte rsg ne s’exprimerait que dans le plan orthogonal au plan de la roue. Le bénéfice du choix d’une roue suédoise est alors nul.
2.1.3.3 Coordonnés généralisées d’un manipulateur mobile à roues
La configuration d’un manipulateur mobile à roues est connue dès lors que que les configurations de la plateforme et du bras manipulateur qui la composent sont connues. Elle est définie sur un espaceN de dimension n = nb+ np par un vecteur q :
q= qb qp .
Ces n paramètres sont liés par un maximum de 2N liaisons complémentaires linéaire- ment indépendantes (paramétrage incomplet) et il en résulte les restrictions introduites précédemment (cf 2.1.2.3) sur l’évolution possible des vitesses et accélérations généralisées
˙q et ¨qdu système.