Contrainte liée à l’enchaînement d’une tâche opérationnelle

L’enchaînement d’une tâche opérationnelle en espace libre (trajectoire opérationnelle de mouvement) et d’une tâche opérationnelle au contact (trajectoire opérationnelle d’effort, éventuellement composite) pose de réels problèmes. Nous avons annoncé dès le chapitre1

(1.3) que nous adoptions une stratégie qui consiste à utiliser pour chaque tâche opération- nelle la loi de commande la mieux adaptée. Cela induit qu’au basculement entre deux tâches

Nous avons donc : ˙

P (q) = ∇TP (q) S (qp)_{Inddl− ¯}B (q)♯B (q)¯ u0.

Afin d’assurer la minimisation locale de _{P (q), il est nécessaire de choisir u0} tel que ˙ P (q) ≤ 0. Le choix : u0 =−K  ∇T_{P (q) S (qp)}_In ddl − ¯B (q) ♯_{B (q)¯} T _, où K est une matrice de dimension nddl× nddl définie positive, est tel que :

˙ P (q) = −K  ∇T_{P (q) S (qp})_{Inddl− ¯}B (q)♯B (q)¯  _{Inddl − ¯}B (q)♯B (q)¯ T S (q_p)T ∇_{P (q)}  .

Dans ce cas, ˙P (q) ≤ 0 est vérifié.

Dans le cas où ¯B (q)♯ est choisie comme étant la pseudo-inverse ¯B (q)+ de ¯B (q), le projecteur _{Inddl− ¯}B (q)+B (q)¯
du noyau de B (q) qui, par définition est idempotent (cf. (B.8)), est aussi symétrique (cf. (B.16)) et donc semi-défini positif. ˙P (q) devient :

˙ P (q) = −K∇T_{P (q) S (qp) In} ddl− ¯B (q) +_{B (q)¯}
Inddl− ¯B (q) +_{B (q)¯}
T_{S (q} p)T ∇P (q)  , soit, après simplification :

˙

P (q) = −K∇T_{P (q) S (qp}) _{Inddl− ¯}B (q)+B (q)¯
S (qp)T∇P (q) 

. La décroissance de la fonction potentiel_{P (q) est alors aussi assurée en choisissant :}

u0 =−K ∇TP (q) S (qp)
T

.

Il est à noter ici que si la contrainte additionnelle représentée par la fonction potentiel P (q) est incompatible avec la tâche principale (i.e. le mouvement ou l’effort opérationnel à réaliser), la projection de u0 dans le noyau de ¯B (q)produit un terme, lié à la redondance, nul. Ainsi, la fonction potentiel décroît tant que la projection du terme additionnel dans le noyau de ¯B (q)n’est pas nulle.

Point de vue des efforts

Le choix de l’inverse généralisée ¯B (q)[1,2] _{parmi les pseudo-inverses Mx−pondérées} permet d’assurer à chaque instant la minimisation de la norme M_{x−pondérée de ¯}Γ_{− ¯}Γ0

. Cela revient à faire tendre à chaque instant ¯Γ vers ¯Γ0.

Généralisation

Les relations (3.18) et (3.25) peuvent s’écrire sous la forme générale :

c= cp |{z} tâche principale + (_{Inddl− E (q)}⋆E (q)) c₀ | {z } cred: redondance ,

où, dans le cas cinématique, c = u, cp = ¯B(q)⋆˙z, E (q) = ¯B(q) et c0 = u0. Dans le cas statique, nous avons c = ¯Γ, cp= Γ_→ext, E (q) = ¯B(q)T ⋆ et c0 = ¯Γ0.

opérationnelles ne faisant pas appel à la même loi de commande, doit correspondre un bas- culement de loi de commande. Dans le cas de l’enchaînement « espace libre/contact », le signal utilisé comme indicateur de basculement est le signal d’effort, en effet, étant donné les incertitudes sur la connaissance de l’environnement, il est risqué de baser le bascule- ment sur une information temporelle ou spatiale. Ainsi, au delà d’un certain seuil fsd’effort mesuré par le capteur d’effort placé derrière l’OT , les tâches opérationnelles s’enchaînent (la nature des consignes opérationnelles est modifiée en conséquence) et le basculement de loi de commande se produit. Pendant le temps qui s’écoule entre l’instant du contact et la détection du franchissement du seuil d’effort (plusieurs périodes d’échantillonage du contrôleur), le système est au contact mais la loi de commande et les consignes opéra- tionnelles utilisées sont celles correspondant à la tâche opérationnelle en espace libre. Le système est donc en boucle ouverte du point de vue du contrôle de l’effort opérationnel. Les consignes opérationnelles de mouvement, liées à la tâche précédente, tendent à rapprocher l’OT de la surface de contact à une vitesse qui peut être importante si l’incertitude liée à la situation de la surface de contact est grande. L’effort d’interaction, au moment de la détection et du basculement, peut alors être très supérieur à la consigne et engendrer des problèmes important de stabilité des lois de commande.

L’étude de la stabilité d’une telle transition au contact, pour un bras manipulateur, a été entreprise par J. Mills ([Mills 90, Mills 93]). Il s’attache à démontrer la stabilité de chacune des lois de commande (espace libre et contact) pour les tâches opérationnelles qui ne leur sont pas dédiées, prenant ainsi en compte les effets du retard à la détection. De telles approches discontinues sont aussi mises en œuvre pour des bras manipulateurs : en simulation par G. Marth et al. ([Marth 93]) et sur un bras manipulateur réel (non redondant), utilisé pour des tâches d’usinage, par B. Yu et P. Pagilla ([Yu 01]). Aucun travail significatif sur l’étude de stabilité de cette approche discontinue n’a été recensé pour des manipulateurs mobiles. L’inconvénient majeur de ces approches est qu’elles nécessitent une bonne connaissance de la nature de l’interaction mise en jeu. Les paramètres de cette interaction sont difficiles à identifier car cela nécessite la connaissance du modèle de la surface de contact ainsi qu’un modèle de rigidité du manipulateur mobile. Il est en pratique impossible d’envisager connaître parfaitement la nature des surfaces avec lesquelles le robot est susceptible d’entrer en contact. Par ailleurs, une approche basée sur la seule étude de stabilité est passive puisqu’elle ne cherche pas à modifier les conditions dans lesquelles va avoir lieu le contact.

L’approche que nous avons choisie pour traiter les problèmes de transition au contact pose le problème en ces termes : « Quelles sont les conditions à respecter afin de ne pas endommager le robot et/ou la surface de contact au moment du contact ? » Il faut s’as- surer que le transitoire lié au retard de détection n’engendre pas d’efforts d’interaction trop importants, dommageables au système. Les travaux de I. Walker ([Walker 90,

Walker 94]) vont dans ce sens. Ils sont basés sur la théorie de la collision des corps rigides. I. Walker propose un modèle de contact impulsionnel qui permet le calcul d’une grandeur dont la valeur est fortement liée à l’intensité du pic d’effort qui survient pendant le transitoire du basculement.

Nous présentons la démarche qui permet l’obtention d’un tel modèle.

Considérons deux solides indéformables dans l’espace à trois dimensions. Leurs vitesses linéaires avant impact sont respectivement notées v1 et v2, deux vecteurs de dimension trois dont les composantes sont les valeurs de la projection de la vitesse dans un repère cartésien. Les accroissements de ces vitesses, après impact des deux solides, sont quant à eux respectivement notés ∆v1et ∆v2. En faisant l’hypothèse d’une interaction en un point de contact unique et d’une normale n commune aux deux solides en ce point de contact (contact plan/plan), la modification des vitesses des solides en jeu dans l’interaction peut

être décrite par la loi suivante :

[(v1+ ∆v1)− (v2+ ∆v2)]T n=−e (v1− v2)T n,

avec e un scalaire appelé coefficient de restitution du contact et tel que : 0_{≤ e ≤ 1. Le cas} extrême où e = 0 correspond à une collision purement plastique, c’est à dire une collision où toute l’énergie est absorbée par la déformation non réversible (plastique donc) des deux solides ou de l’un des deux (la vitesse des deux solides qui sont entrés en collision est alors identique après la collision). Pour e = 1, nous avons une collision purement élastique et toute l’énergie de la collision est restituée aux deux solides qui s’éloignent alors. Si seul le premier des deux solides est en mouvement, le second étant maintenu fixe, la relation précédente s’écrit :

(v1+ ∆v1)Tn=−evT1n. (3.11) Le vecteur des efforts (force et couple) impulsionnels est noté ˆf et est défini comme :

ˆ f = lim ∆t→0 Z ti+∆t ti f(s)ds,

où ti est l’instant initial de l’impact, ∆t la durée considérée infinitésimale de l’instant d’impact et f l’effort d’interaction entre les deux corps au point de contact.

En supposant que le corps en mouvement représente un manipulateur mobile à roues, que le corps fixe représente l’environnement avec lequel le robot doit interagir et que le point de contact se situe au niveau de l’OT , il est important de constater que f et−fext/OT, l’effort d’interaction entre le robot et son environnement au niveau de l’OT , sont égaux.

Nous rappelons ici que le modèle dynamique d’un manipulateur mobile à roues est donné par la relation (2.63) :

¯

A (q) ˙u + ¯C (q, ˙q) u + ¯g(qb) = ¯Γ− ¯B (q)T fext.

En extrayant de ce modèle la partie ne concernant que les commandes de mobilité, i. e. en faisant abstraction de l’effet de la dynamique des roues centrées orientables sur la dynamique de l’OT et en ne conservant que les commandes de mobilité, nous obtenons le modèle restreint suivant :

¯

A_mob(q) ˙u_mob+ ¯C_mob(q, ˙q) u_mob+ ¯g_mob(q_b) = ¯Γ_{mob− ¯}J (q)T f_ext/OT. (3.12) L’intégration de la relation (3.12) entre les instants ti et ti+ ∆tdonne :

Z ti+∆t

ti

¯

A_mob(q) ˙u_mob+ ¯C_mob(q, ˙q) u_mob+ ¯gmob(qb)
ds = Z ti+∆t ti  ¯ Γmob− ¯J (q)T fext/OT  ds. (3.13) La vitesse du système étant considérée finie à l’instant de l’impact et le temps d’impact ∆tinfinitésimal, l’hypothèse est faite que le système conserve sa configuration. La relation (3.13) peut être simplifiée :

¯ Amob(q) Z ti+∆t ti ˙u_mobds =_{− ¯}J (q)T Z ti+∆t ti f_ext/OTds, ce qui, après intégration, donne :

¯

A_mob(q) [u_mob(t_i+ ∆t)_{− umob}(t_i)] = ¯J (q)Tˆf.

Notons ∆umob = umob(ti+ ∆ti)− umob(ti) et rappelons que le modèle cinématique réduit direct donne ∆ ˙ξ = ¯J (q) ∆u_mob, nous pouvons alors écrire :

Comme nous le voyons dans la suite de ce chapitre, ¯J (q) ¯Amob(q)−1J (q)¯ T représente l’inverse de la matrice d’inertie du système « vue » au niveau de l’OT (pseudo-matrice d’inertie). En restreignant l’étude aux composantes linéaires v des vitesses contenues dans

˙ξ, nous avons alors :

∆v = R (q) ˆF,

où R (q) représente la restriction de ¯J (q) ¯Amob(q)−1J (q)¯ T aux termes liés à la vitesse opérationnelle linéaire et où ˆF est la restriction de ˆf aux seules forces d’interaction.

L’effort d’interaction est considéré comme étant porté par la normale n au contact et donc ˆF peut s’écrire :

ˆ

F= ˆF n. ˆ

F est défini comme le module du vecteur de force impulsionnelle ˆF. La relation (3.11) donne :

∆vTn=_{− (1 + e) v}Tn. Nous en déduisons alors :

ˆ

F = (1 + e) v T_n nTR (q) n .

C’est ce module du vecteur de force impulsionnelle que nous devons chercher à minimiser afin de limiter au maximum les efforts mis en jeu lors de la transition au contact. Pour ce faire, plusieurs pistes sont envisageables.

Limiter la vitesse opérationnelle au moment de l’impact.

Dans l’hypothèse d’un impact planifié et donc d’une vitesse opérationnelle planifiée, il semble parfaitement logique de planifier une vitesse faible pour l’organe terminal. Cela peut cependant ne pas suffire, les incertitudes sur la connaissance de l’environnement (situation, normale au contact) et sur la connaissance de la situation précise de l’OT n’étant pas négligeables, il n’est pas possible d’assurer que le contact se fera à vitesse quasi-nulle, même si celle ci reste faible.

Minimiser le coefficient de restitution e

Ce coefficient synthétise de manière très peu précise, d’un point de vue local, la dy- namique de l’interaction robot/environnement au point de contact. N’ayant aucun moyen d’agir a priori sur le matériau composant l’environnement, réduire e revient à imposer, via la loi de commande, un comportement compliant au robot. Cela est aisé quand la commande en couple est possible et qu’une grande précision du mouvement opérationnel désiré avant le contact n’est pas requise. Cependant, pour un robot commandé en vitesse, cela n’est pas possible. Reste alors la solution de l’utilisation d’une structure mécanique déformable et passive, placée en bout de chaîne cinématique (OT ), qui permet d’absorber les efforts d’interaction liés aux erreurs de positionnement du robot. Ces mécanismes, ap- pelés Remote Center Compliance Devices, sont propres à la tâche à réaliser puisqu’ils sont dimensionnés à partir de la raideur du contact « robot + environnement ». Cette solution est très spécifique au problème à traiter et, là aussi, elle est passive puisqu’elle ne cherche pas à modifier les conditions dans lesquelles va avoir lieu le contact.

Maximiser nT_{R (q) n}

Ce terme dépend de la configuration du système, il est donc a priori possible de le maximiser et donc de minimiser ˆF. Cela constitue une modification active des conditions du contact qui tend à faire évoluer la configuration du système, en utilisant les mouvements internes liés à la redondance, de manière à modifier ses propriétés inertielles. La contrainte secondaire liée à la transition au contact s’écrit donc :

max nTR (q) n
. (3.14)