6.10
Reproductibilité
1 0 0 1 0 1 1 0 - 2 1 0 - 1 F ( N ) h ( m m ) (A) 1 0 0 1 0 1 1 0 - 2 1 0 - 1 F ( N ) h ( m m ) (B) 1 0 0 1 0 1 1 0 - 2 1 0 - 1 1 0 0 F ( N ) h ( m m ) (C) 1 0 0 1 0 1 1 0 - 2 1 0 - 1 F ( N ) h ( m m ) (D)FIGURE 6.11 – Force normale F en fonction du gap h pour 3 tests
avec différents matériaux ; les lignes continues avec différentes cou- leurs représentent les différents tests et la ligne pointillée correspond à la variation de force théorique (l’équations6.12à la section6.3). (A) Emulsion A4 ; (voir la table2.2à la section2.1.1du chapitre2pour le nom des émulsions)Ω=1 mL, ˙ε=0.01 s−1. (B) Ketchup ;Ω=1 mL, ˙ε = 0.01 s−1. (C) Bentonite ; Ω = 3 mL, ˙ε = 0.01 s−1. (D) Mousse à
134 Chapitre 6. Élongation 1 0 0 1 0 1 1 0 - 2 1 0 - 1 1 0 0 F ( N ) h ( m m ) (A) 1 0 0 1 0 1 1 0 - 2 1 0 - 1 1 0 0 F ( N ) h ( m m ) (B)
FIGURE6.12 – Force normale F en fonction du gap h pour plusieurs
tests avec la moutarde ; les lignes continues avec différentes couleurs représentent les forces mesurées répétées et la ligne pointillée cor- respond à la variation de force théorique (l’équations 6.12à la sec-
tion6.3). (A)Ω=1 mL, ˙ε=0.01 s−1. (B)Ω=3 mL, ˙ε=0.01 s−1.
Comme les mesures de force normales sont sensibles à la forme initiale de l’échan- tillon, la reproductibilité des test peut ne pas être très bonne. Deux causes peuvent expliquer ce phénomène : pour de petits rapports d’aspect, la dissipation visqueuse dans les couches de glissement près des parois joue un rôle important sur les me- sures de force ; pour de grands rapports d’aspect (i.e., quand la hauteur de l’échan- tillon est grande), la gravité joue un rôle important. Quand on charge l’échantillon entre deux plaques, on ne contrôle pas la forme initiale de l’échantillon avec pré- cision. Lorsque l’échantillon chargé n’est pas bien cylindrique, e.g., présence des bulles d’air proche de l’interface du matériau et de l’air, cette dissymétrie se déve- loppe au cours du changement de hauteur et perturbe les mesures de forces. Un exemple est présenté sur la figure6.11A : deux courbes avec le même échantillon sous les mêmes conditions donnent la même variation de force vs. gap, mais une autre courbe avec les mêmes conditions (la ligne rouge) est très différente. La dif- férence majeure de cette dernière est que la force normale commence à descendre d’une manière significative avant que h n’atteigne 2 mm, alors que pour les deux autres tests cette descente due à la gravité commence autour de h = 7 mm. Cette différence serait due au déséquilibre développé suite à une forme initiale dissy- métrique. Parfois on observe également une forte dissipation visqueuse dans les couches de glissement qui conduit soit à une séparation des matériaux prématu- rée (e.g., la figure6.11B, soit une incapacité de suivre une décroissance en 1/h (e.g., la bentonite sur la figure 6.11C et la mousse sur la figure 6.11D). Dans ce dernier cas on ne peut plus déterminer précisément le seuil de contrainte en élongation. Les effets possibles des perturbatiosn mentionnées ici semblent se produire plus sou- vent quand le volume de l’échantillon est petit, c’est pourquoi pour 1 mL il est sou- vent difficile d’obtenir des résultats reproductibles (e.g., la comparaison entre les figures6.12Aet6.12B).
6.11. Conclusion 135
6.11
Conclusion
Pour décrire l’écoulement tridimensionnel des fluides à seuil, nous avons consi- déré la loi de comportement 3D déduite à partir du critère de Von Mises et le mo- dèle d’Herschel Bulkley en cisaillement simple. Le modèle prédit que le tenseur de contrainte est proportionnel au tenseur du taux de déformation mais le rapport de proportionnalité vaut τc/
√
−DIIpour un écoulement lent, et une contrainte seuil en
élongation qui vaut√3τc. La vérification expérimentale du modèle nécessite une
élongation uniaxiale du matériau, qui se révèle difficile pour des fluides à seuil. En utilisant des wafers de silicium, nous avons réussi à imposer une élongation uniaxiale à vitesse ou à taux de déformation contrôlés pour un grand intervalle de rapports d’aspect avec divers fluides à seuil, tout en mesurant simultanément la contrainte normale. Après avoir analysé les différents effets perturbateurs, tels que la tension de surface, la gravité et la reproductibilité, nous avons trouvé que la contrainte seuil en élongation calculée par le modèle d’Herschel-Bulkley en 3D, qui prédit un rapport entre le seuil de contrainte en élongation et le seuil de contrainte en cisaillement√3 et qui dépend uniquement du second invariant du tenseur de taux de déformation, n’est pas valide. la contrainte seuil en élongation est de 1.5√3τc
pour les émulsions et le carbopol, et environ 2.5√3τcpour le ketchup et la moutarde,
ce qui suggère que l’hypothèse du rapport de proportionnalité entre le tenseur de contrainte et le tenseur de déformation D qui dépend uniquement du second inva- riant de D ne serait pas valide. Une possibilité alternative est que les paramètres du modèle d’écoulement incluent également le troisième invariant de D [92], e.g., avec le déviateur du tenseur des contraintes qui s’écrit, pour un écoulement lent,
T =τc D √ −DII+αD 1 3 III (6.23)
Pour les émulsions et le carbopol, α= −0.46 permet de bien représenter les données expérimentales. Une autre possibilité est d’utiliser d’autres critères de plasticité. En conclusion, notre travail suggère que la description standard de l’écoulement qui repose sur des écoulements homogènes dans les trois dimensions ne serait pas va- lide, et le modèle d’écoulement tri-dimensionnel serait plus complexe que ce que suggère les travaux précédents. Un modèle adéquat devrait considérer la structure spécifique des fluides à seuil, notamment le mécanisme du décoincement , y compris la mécanique des éléments en état coincé et les interactions entre ces éléments.
Les tests de traction avec les wafers de silicium ont permis de mesurer la force normale créée par la couche de glissement quand le bulk subit un écoulement d’élon- gation. En effet, l’existence de la couche de glissement est essentielle pour supprimer l’adhérence du matériau aux parois. Grâce à cela les éléments non diagonaux du tenseur du taux de déformation deviennent nuls. L’écoulement du fluide interstitiel dans la couche de glissement en élongation est néanmoins différent qu’en cisaille- ment simple, notamment sur l’épaisseur de la couche de glissement, qui est plu- sieurs ordres de grandeur plus grande que celle observée en cisaillement simple. Pour cela on a suggéré qu’en élongation, les éléments en suspension des fluides à seuil se détachent de la paroi pour créer une couche de glissement beaucoup plus épaisse que le glissement en cisaillement simple.
137
Conclusion
Résumé des travaux effectués
Pour essayer de comprendre le mécanisme du glissement des fluides à seuil, nous avons commencé par une caractérisation à l’aide de séquence de fluage dans un rhéomètre. À partir d’observations directes, de la comparaison de deux expé- riences avec le même échantillon mais différents gaps et puis de deux émulsions directes avec des fluides interstitiels de différentes viscosités, nous avons explicité la dépendance du glissement avec la contrainte de cisaillement et mis en évidence l’existence d’une couche de glissement composé du fluide intersititiel du matériau. Le seuil de glissement τc0 aurait deux origines physiques : un effet de bord qui est d’autant plus important que le fluide interstitiel s’évapore près de la ligne de contact à la périphérie de l’échantillon, ou un effet de surface, conséquence de l’adhésion des éléments macroscopiques du système coincé sur la surface du solide. En géné- ral l’effet de bord crée un τc0 qui vaut de l’ordre de 1 Pa et qui augmente avec le temps si l’échantillon n’est pas maintenu dans une environnement à la pression de vapeur saturante du solvant de la phase continue. Cet effet a été mis en évidence uniquement pour des émulsions directes dont la phase continue est aqueuse. Pour les émulsions inverses, τc0serait dû à un effet de surface, associé à l’adhésion. Ce pa- ramètre est difficile à contrôler, étant par exemple sensible à la manière de nettoyer la surface avant de charger l’échantillon. Quelle que soit l’origine de τc0, quand on le retire de la contrainte totale on obtient toujours une relation linéaire entre l’excès de contrainte τs = τ−τc0 et la vitesse de glissement Vs. Cette relation semble être
valide pour une large gamme de matériaux aux structures, éléments suspendus et concentrations différents. En particulier, la taille des éléments suspendus (variée sur près d’une décade) et la concentration des émulsions (variée de 72v% à 92v%, ce qui augmente la porosité au sein du bulk d’un facteur 4) ne semblent pas modifier significativement la loi de glissement. L’ensemble des matériaux semblent partager une épaisseur de glissement comprise entre 30 nm et 45 nm ; pour les émulsions in- verses, l’épaisseur δ se situe à(20±10)nm alors que pour les émulsions directes, δ vaut plutôt(35±10)nm. Les caractéristiques du glissement sont modifiées sur des surfaces de Black Silicon, où la microrugosité est de l’ordre de la taille des éléments suspendus de l’émulsion. Dans ce cas, τc0est suffisamment élevé pour exclure un ef- fet de bord. Par ailleurs, pour avoir la même vitesse de glissement, il faut appliquer un excès de contrainte τ−τc0 moins élevé à une émulsion déposée sur une surface
de Black Silicon que sur un wafer de silicium lisse.
Cette loi de glissement établie pour les écoulements confinés, i.e., à l’intérieur d’une géométrie du rhéomètre, reste valide pour des écoulements en cellule de Couette ou surface libre. Le formalise nécessaire pour caractériser le glissement à partir des tests au rhéomètre a été généralisé à d’autres types d’écoulement dans différentes situations. Ce cadre reste valide tant que les parois sont assez lisses pour induire un glissement. Grâce au rhéomètre et au plan incliné, nous avons montré que le glis- sement est indépendant de la contrainte normale tant que celle-ci reste inférieure à sa contrainte seuil en élongation. Cependant, quand l’écoulement d’élongation est
138
introduit, le glissement apparaît toujours mais l’épaisseur de la couche de glisse- ment est supérieure à celle en cisaillement simple de plusieurs ordres de grandeur. Une autre observation importante dans l’expérience du plan incliné est que quand le plan est initialement couvert de l’huile, l’émulsion semble maintenir la couche de glissement, alors que le bulk semble être attiré par la surface du solide.
Mécanisme possible du glissement
(A)
(B)
FIGURE6.13 – Différents schéma des éléments suspendus d’un fluide
à seuil (disques rouges) à l’approche d’une surface du solide (bleu). (A) Une couche de glissement uniforme. (B) Eléments du fluide à seuil développant des distances variées avec la surface du solide.
Un schéma simple pour interpréter la relation linéaire entre la vitesse Vs et l’ex-
cès de contrainte τsd’une part, et la proportionnalité de τsavec la viscosité du fluide
interstitiel d’autre part, est de considérer une couche de liquide uniforme entre le bulk et la paroi (figure6.13A). Cependant on ne trouve pas d’arguments pour exli- quer l’existance d’une telle couche pour une large gamme de matériaux ayant des structures, tailles des éléments et concentrations si différents. Un modèle plus vrai- semblable serait de considérer que la distance des éléments suspendus à la paroi est hétérogène : certains éléments sont proches de la surface alors que d’autres sont plus loins (figure6.13B). En effet, les fluides à seuil sont des matériaux qui forment un ré- seau coincé qui est une structure rugueuse ; cette structure développe probablement des distances variées avec la surface du solide quand elle s’approche de la surface. Il en résulte que l’épaisseur de la couche de glissement δ représente une épaisseur moyenne de cette couche à épaisseurs locales variables. La contrainte moyenne τmoy
s’exprime alors comme la moyenne de toutes les forces locales sur toute la surface :
τmoy= F S = ∑iµ Vs δi dsi S (6.24)
et l’épaisseur moyenne ou l’épaisseur apparente devient :
δmoy=µVs/τmoy= S ∑i 1 δi dsi (6.25)
Dans ce cas les endroits où δi atteint sa valeur minimale joue un rôle majeur. Cette
approche a été identifiée par H. M. Princen [47]. Dans ses travaux il ne considère que l’écoulement dans le film mince entre les éléments suspendus de l’émulsion
139
et la surface, qui produit une contrainte visqueuse beaucoup plus importante que l’écoulement du fluide entre les éléments de la suspension. Son analyse donne une épaisseur du film qui est du même ordre de grandeur que l’épaisseur δ qu’on trouve pour nos matériaux, i.e., quelques dizaines de nanomètres. L’analyse de Princen est en accord avec le non-impact de la taille des éléments suspendus des émulsions mais son calcul montre une dépendance de δ avec la concentration des émulsions ; entre une émulsion de 72v% et une émulsion de 92v% on devrait trouver une différence d’épaisseur d’un facteur 13. Cette prédiction n’est pas en accord avec nos données, qui donnent la même épaisseur de glissement quelle que soit la fraction volumique de la phase dispersée. L’épaisseur de la couche de glissement serait donc déterminée par d’autres facteurs, indépendants de la fraction volumique de l’émulsion.
Le non-impact de la force normale sur le glissement suggère que l’épaisseur n’est pas fixée par l’équilibre entre les interactions attractives entre les éléments suspen- dus du matériau et la paroi (e.g., pression osmotique du bulk) et interactions répul- sives créées par l’écoulement de lubrification dans la couche. L’épaisseur est pro- bablement maintenue par d’autres interactions plusieurs ordres de grandeur plus élevées que la contrainte pour laquelle on observe le glissement. Au chapitre6du manuscrit, nous avons montré que pour les contraintes normales plus grandes que la contrainte seuil en élongation (le matériau subit alors un écoulement d’élongation), l’épaisseur de la couche de glissement devient plusieurs ordres de grandeurs supé- rieure à celle observée pour un cisaillement simple en régime de glissement. Cela suggère qu’en élongation les éléments se détachent irréversiblement de la surface du solide, et on en déduit que ces éléments sont peut-être attachés à la surface en ci- saillement simple en régime de glissement. Ce schéma est soutenu par l’expérience du plan incliné avec une couche d’huile, où on observe que la goutte d’émulsion racle la surface comme si elle est attirée par la surface tout au long du processus de glissement.
À ce stade on peut suggérer qu’il existe une interaction attractive de Van der Waals entre les éléments de la suspension du fluide à seuil et la paroi ; cette in- teraction maintient les éléments proches de la paroi autour des points de contact avec une distance équivalente à la taille de quelques molécules. Même si on ne dis- pose pas d’arguments quantitatifs pour expliquer l’origine physique de cet effet, une telle image nous permet d’expliquer la plupart des observations. En effet, la dissipa- tion visqueuse peut avoir lieu essentiellement autour de ces points de contact où le fluide interstitiel est cisaillé avec une épaisseur de quelques nanomètres, en même temps ces régions de contact ont une surface totale limitée comparée à la surface to- tale. L’épaisseur de la couche de glissement moyenne doit dépendre du nombre des points de contact, mais non de la concentration. Le nombre des points de contact peut dépendre de la taille des gouttes en 1/R3. On a en effet observé une augmen- tation de δ avec la taille des gouttes, mais l’impact de la taille des gouttes n’est pas aussi fort que ce que prédit le modèle. Toutefois avec un petit nombre de contact, les éléments s’éloignent plus facilement de la paroi quand la contrainte de cisaille- ment atteint une valeur critique, et on peut expliquer l’écart entre Vsde l’émulsion
E5 (celle avec les plus grosses gouttelettes) par rapport aux autres émulsions sur la figure3.22Bà la section3.6.3du chapitre3.
À partir de l’hypothèse sur les éléments en contact avec la surface, il est possible de changer la loi de dépendance entre la vitesse de glissement et l’excès de contrainte avec une contrainte appliquée suffisamment large. Dans ce cas les éléments suspen- dus sont tellement éloignés de la surface que l’interaction attractive ne peut plus être développée, et on fait ainsi croître l’épaisseur de la couche de glissement. Cette prédiction est cohérente avec l’augmentation rapide de la vitesse de glissement à
140
l’approche du seuil de glissement (voir les figures5.3et5.5du chapitre5). Cet effet continue à jouer son rôle quand on passe en régime de cisaillement, où de plus en plus d’éléments suspendus sont détachés de la surface. Quand ce régime est suffi- samment développé on peut considérer que les distances entre les éléments détachés et la surface sont gouvernées par la pression osmotique et la pression de lubrifica- tion comme suggéré par Meeker et al. [48,49], où la relation entre Vs et τs devient
quadratique. Pour quantifier à quel gradient de vitesse les éléments en suspension commencent à se détacher de la paroi, il serait utile de compléter le schéma de glis- sement au-delà de la contrainte seuil, en mesurant la diffusion des particules dans la direction perpendiculaire à celle de cisaillement. De plus, pour proposer un modèle de glissement précis, il paraît nécessaire de connaître les constantes de Hamaker entre les différents fluides à seuil d’une part et les différentes surfaces d’autre part. Cela pourra notamment permettre d’expliquer les écarts entre les épaisseurs de glis- sement des émulsions directes et les émulsions inverses sur le wafer de silicium.
Avec la surface de Black Silicon dont la rugosité est de l’ordre de la taille des élé- ments suspendus de l’émulsion, les éléments peuvent être coincés entre les micro- piliers sur la surface. Quand une contrainte critique est appliquée, ces éléments sortent de leurs puits et se mettent en mouvement. Ce schéma permet d’expliquer l’existence du seuil de glissement dans ce cas. À cause de la topologie de la sur- face, les points de contact entre les éléments et la surface sont peu nombreux, ce qui explique les valeurs élevées de Vs par rapport au wafer de silicium pour la même
contrainte (voir la figure3.30à la section3.7.5du chapitre3). Enfin, sur Black Silicon il est possible d’avoir le même glissement que sur un wafer de silicium mais deux ef- fets s’opposent : un seuil de glissement pour initier le mouvement, et une épaisseur apparente élevée de la couche de glissement lorsque l’émulsion glisse. On pourra faire l’analogie avec l’effet d’aquaplanning : à cause de la microtexture de la sur- face, il est difficile pour la structure rugueuse du réseau coincé d’évacuer le liquide coincé entre elle et la surface et on voit la couche de glissement s’enrichir en liquide. La microstructure présente à la surface du Black Silicon est très aléatoire : la hauteur et la largeur des picots ne sont pas bien contrôlées et ne peuvent qu’être détermi- nées à postériori. Une perspective évidente de cette thèse serait donc de contrôler la microstructure, e.g., contrôler la forme des picots et la distance entre deux picots voi- sins, etc., pour déterminer à partir de quelle rugosité le seuil de glissement devient du même ordre de grandeur que la contrainte seuil. On pourra finalement savoir quelle est la valeur critique de la rugosité de la surface qui supprime totalement le glissement. L’impact de la rugosité sur le glissement au-delà de la contrainte seuil à l’échelle de la taille de quelques éléments suspendus a été étudié par plusieurs auteurs [127-129]. Dans ces cadres la rugosité ou l’hydrophobicité de la surface ont un impact significatif sur le glissement. A partir des mesures directes des profils de vitesse, les auteurs ont montré qu’à cause des interactions entre la surface et le fluide, les profils de vitesse ne correspondent plus aux ceux prédit par la loi de com- portement macroscopique du fluide à seuil (e.g., le modèle Herschel-Bulkley). Cet effet a été interprété par le modèle de fluidité. Dans nos travaux sur le Black Sili- con, la longueur caractéristique de l’écoulement (i.e., le gap) est très grande devant la taille d’un élément suspendu de l’émulsion. L’effet du confinement devrait être négligeable. De plus, contrairement aux travaux cités ici, on mesure uniquement les vitesses de glissement sur Black Silicon en-dessous de la contrainte seuil.
141
Perspectives
Dans notre étude du glissement, il y a plusieurs aspects qui peuvent être amé- liorés. (i) Grâce au fluage nous avons déterminé précisément le seuil de glissement