A.2
Loi de comportement d’un fluide à seuil
La loi de comportement est la relation entre le tenseur des contraintes et le ten- seur de déformation. À l’introduction nous avons proposé la loi de comportement d’Herschel Bulkley. Il existe aussi d’autres lois de comportement pour décrire l’écou- lement du fluide à seuil. À cause de la spécificité du matériau, on ne retient que les lois qui tiennent en compte à la fois de la transition solide-liquide et l’écoulement sous des contraintes élevées du fluide à seuil. En cisaillement simple ces lois peuvent être décrites sous la forme :
τ> τc ⇒ ˙γ =0 (A.15)
τ> τc ⇒τ=τc+f(˙γ) (A.16)
Le modèle de Bingham correspond à f(˙γ) = µBf(˙γ), dans lequel µB est un pa-
ramètre du matériau ; le modèle Herschel Bulkley correspond à f(˙γ) = k˙γn, dans lequel k et n sont deux paramètres du matériau ; le modèle de Casson correspond à
f(˙γ) =k˙γ+2pkτc˙γ
Pour décrire la loi de comportement en 3D des fluides à seuil, il est nécessaire d’utiliser un critère de "seuil" ou critère de plasticité qui prend en compte la champ de contrainte tri-dimensionnel. Il existe plusieurs critères de plasticité, e.g., critère de Tresca, critère de Von Mises, etc. Ici on utilise le critère de Von Mises, qui est utilisé pour la description des fluides à seuil. Il s’écrit :
p
TII <τc⇔D =0 (A.17)
Avec le critère de Von Mises, les modèles d’écoulement en cisaillement simple extra- polé en forme tensorielle s’écrivent :
p TII< τc ⇔D =0 (A.18) p TII> τc ⇒Σ= −pI+τc D √ −DII +F(DII)D (A.19)
où F est une fonction positive du second invariant de D. Nous avons
F=2µB (A.20)
pour le modèle de Bingham, avec µBla viscosité plastique, et
F(DII) =2nk/
p
−DII
1−n
(A.21) pour le modèle d’Herschel Bulkley, où n et k sont deux paramètres du matériau.
147
Annexe B
Écoulement dans différentes
géométries et impact du glissement
Pour connaître la loi de comportement d’un fluide, il faut à priori connaître le champ de vitesse et le champ de contrainte en tout point du matériau. Expérimen- talement nous essayons de se placer dans des situations où les tenseurs sont les plus simples possible, de telle sorte que les relations entre les composants de Σ et ceux de D sont réduites. Pour connaître la valeur des composants de D, on me- sure les valeurs macroscopiques telles que la vitesse d’écoulement moyenne dans une conduite ou la vitesse de rotation dans une cellule, tandis que pour les com- posants deΣ on mesure la différence de pression dans une conduite, le couple sur un axe ou la force totale exercée sur une surface. Néanmoins, Cela pose un pro- blème lorsque le glissement apparaît. En effet, le glissement est un phénomène qui intervient très localement dans l’espace, et ce changement local modifie la loi de comportement déterminé à partir des mesures macroscopiques. Dans cette seciton, on présente quelques exemples d’écoulement des fluides dans des géométries bien définies. Ces géométries permettent de connaître la loi de comportement à travers des mesures de contrainte et de gradient de vitesse. Quand le glissement intervient, la simplicité de ces géométries permet également d’évaluer quantitativement son impact et d’obtenir une relation entre la contrainte et le glissement. Cette relation constitue une référence de base pour proposer éventuellement un modèle qui ex- plique le mécanisme du glissement.B.1
Cisaillement simple
𝒆
𝒛𝑉
ሶ𝛾
ℎ
𝒆
𝒙 (A)𝒆
𝒛𝑉′
ሶ𝛾
ℎ
𝑉
𝑠𝒆
𝒙𝛿
(B)FIGUREB.1 – Cisaillement simple d’un fluide entre deux plans sans
glissement (A) et en présence du glissement sur la paroi inférieure (B).
148 Annexe B. Écoulement dans différentes géométries et impact du glissement
Une situation simple pour faire écouler le fluide est celle d’une fluide contenu entre deux plans parallèles infinis en mouvement de translation relatif V suivant la direction ex. Plaçons-nous dans le repère dont la base est ex, ey, ez; supposons que
les deux plans sont tous les deux perpendiculaires à ezet que le profil de vitesse est
linéaire (figureB.1A). Dans ce cas le tenseur du taux de déformation se simplifie en :
D= ˙γ 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 (B.1)
où ˙γ est le gradient de vitesse défini par
˙γ=∂V(z)/∂z (B.2)
Le tenseur des contraintes correspondant est :
Σ= σxx σxy 0 σyx σyy 0 0 0 σzz (B.3)
Une situation favorable serait d’avoir un profil de vitesse linéaire, dans ce cas il est facile de connaître ˙γ à partir de la vitesse de translation :
˙γ=V/h (B.4)
La contrainte tangentielle définie par :
τ=σxy (B.5)
est calculé à partir de la force et la surface appliquée. Dans ce cas particulier, pour connaître la loi de comportement, il suffit de connaître la relation entre ˙γ et τ. C’est pourquoi on utilise les rhéomètres, qui permettent de connaître la loi de compor- tement qui est une relation tensorielle à partir des relations scalaires. Il faut néan- mois (i) ne pas faire varier le gap h pour que les premières et secondes dfférences de contraintes normales (définies par l’équationA.11 de l’annexeA) ne soient pas intervenues et (ii) l’écoulement est suffisamment simple pour que l’équationB.4et le calcul de contrainte soient valide.
Maintenant, supposons qu’il y a un glissement entre le matériau et la plaque inférieure (le fluide reste bien adhéré au plan supérieur). La présence du glissement a pour effet de créer une fine couche de fluide fortement cisaillé entre le matériau en écoulement et la paroi (figureB.1B) [25] [48]. On se place toujours dans le cas où le profil de vitesse du bulk (i.e., hors de la couche de glissement) est linéaire. Si on connait exactement le profil de vitesse, on pourra écrire le gradient de vitesse effectif du bulk :
˙γeff = V
0−V
s
h (B.6)
où Vs est la vitesse de glissement entre le fluide et la paroi inférieure. Par contre,
sans les moyens de visualiser le profil de vitesse, on est incapables de déterminer ˙γeff, mais plutôt un gradient de vitesse apparent :
˙γapp = V
0
B.1. Cisaillement simple 149
Dans cette expression l’hétérogéneité de l’écoulement est "moyenné" par un profil droit. Pour connaître Vs, nous pouvons déterminer les lois de comportement avec
et sans glissement ; en comparant les deux résultats, nous pouvons extraire la rela- tion entre Vset τ [43]. Dans la pratique, lorsque le matériau est en cisaillement, il est
difficile de calculer précisement Vsde cette manière du fait qu’elle est petite par rap-
port à la vitesse d’écoulement du bulk. Il existe néanmoins plusieurs méthodes de visualisation pour observer directement les profils de vitesse pendant l’écoulement du bulk.
𝒆
𝒛𝑉 = 0
ሶ𝛾 = 0
ℎ
𝒆
𝒙 (A)𝒆
𝒛𝑉 = 𝑉
𝑠ሶ𝛾 = 0
ℎ
𝑉
𝑠𝒆
𝒙𝛿
ሶ𝛾gliss≠ 0 (B)FIGUREB.2 – Cisaillement simple d’un fluide à seuil en état solide
(τc<τc) entre deux plans sans glissement (A) et en présence du glis-
sement sur la paroi inférieure (B).
Pour un fluide à seuil décrit par le modèle d’Herschel Bulkley, la loi de compor- tement en cisaillement simple s’écrit :
τ<τc ⇒ ˙γ=0 (B.8)
τ>τc ⇒τ=τc+k˙γn (B.9)
avec n compris entre 0.4 et 0.6. Le modèle nous dit que quand la contrainte de ci- saillement est inférieure à la contrainte seuil τc, il n’y a pas d’écoulement, et dans le
cas d’un cisaillement simple entre deux plans (figureB.2A), le profil de vitesse vaut 0 ; lorsque la contrainte dépasse τcle fluide est rhéoépaississant.
En présence de glissement sur la paroi inférieure, une région fortement cisaillée est créée entre le fluide à seuil et la paroi (figureB.2B). Dans cette couche le gradient de vitesse γglissest non nul. Quand τc < τc0, i.e., le fluide à seuil se trouve dans son
état solide, le fluide à seuil se déplace comme un bloc rigide avec un gradient de vitesse nul. Les deux plaques ont vitesse de translation relative V qui est égale à la vitesse de glissement Vs. Ainsi nous pouvons calculer Vsen fonction du gradient de
vitesse apparent :
Vs= ˙γh (B.10)
Il est possible de déterminer une relation entre la vitesse de glissement Vs et la
contrainte de cisaillement τ pour un intervalle de τ tant que la contrainte est suf- fisamment grande pour entraîner un mouvement de translation et suffisamment pe- tite pour ne pas cisailler le bulk. Si on connaît en plus la viscosité du fluide dans la couche de glissement µ, en supposant par exemple qu’elle vaut celle du fluide inter- stitiel du matériau, on peut déterminer l’épaisseur de la couche de glissement δ via la relation :
150 Annexe B. Écoulement dans différentes géométries et impact du glissement
Le cisaillement simple parfait est difficile d’exister dans la pratique. On utilise le rhéomètre pour créer des situations qui sont proches d’un cisaillement simple, et on mesure la force ou le couple pour obtenir les contraintes d’une part et la vitesse d’écoulement pour obtenir le gradient de vitesse d’autre part.