Couche de glissement Bulk
Plaque du solide
FIGURE6.6 – Schéma de la couche de glissement en élongation.
La déviation par rapport à la décroissance en h−1 observée sur les figure6.3A
et6.4Apeut être due à la prédominance du terme hydrodynamique dans la loi de comportement (i.e., le troisième terme à droite de l’équation6.9) quand le taux de déformation ˙ε devient grand. Car le taux de déformation est défini par ˙ε = U/h. Pour U constant, ˙ε est d’autant plus grand que le gap h est petit. Cependant, cette déviation s’observe également sur la figure6.5Aoù ˙ε reste constant quel que soit le gap. Cette déviation peut provenir d’un écoulement complexe : par exemple, dans la région où l’écoulement radial du matériau par rapport aux surfaces du solide est important, i.e., à la périphérie de l’échantillon, le cisaillement peut exister, même si dans la plupart du volume le matériau subit toujours une élongation uniaxiale. Cette
6.4. Couche de glissement 125 1 00 2 x 1 00 3 x 1 00 1 01 7 1 01 8 1 01 9 1 02 0 h ( m m ) 4 π∆ F / µ U Ω 2 0 , 0 1 m m / s 0 , 0 2 m m / s 0 , 0 3 m m / s 0 , 0 5 m m / s 0 , 0 7 m m / s 0 , 1 m m / s - 3 (A) 2 x 1 00 4 x 1 00 6 x 1 00 1 01 4 1 01 5 1 01 6 0 , 0 1 s- 1 0 , 0 2 s- 1 0 , 0 4 s- 1 0 , 0 1 s- 1 E m u l s i o n D h ( m m ) 4 π∆ F / µε Ω 2 - 2 (B)
FIGURE6.7 – Force résiduelle∆F redimensionnée en fonction du gap
h pour pour 3 mL de l’émulsion A4 (toutes les courbes sauf la courbe en cyan sur la figure6.7B) et de l’émulsion D. (A) A vitesse de trac- tion U constante (déduites des courbes de la figure 6.4A; une ligne pointillée de pente -3 est tracée pour guidée notre analyse. (B) A taux de déformation ˙ε constant ; une ligne pointillée de pente -2 est tracée
pour guidée notre analyse.
hypothèse nous conduit à analyser en détail le processus de glissement dans le cas d’élongation.
Dans l’étude du glissement en cisaillment simple, nous avons mesuré les courbes d’écoulement apparentes de l’émulsion avec le rhéomètre en régime de glissement i.e., le régime où le bulk se déplace par rapport au wafer de silicium comme un bloc rigide. Dans ce régime le gradient de vitesse apparent ˙γ correspond à la vitesse de glissement Vsdivisée par le gap. Pour les tests de traction avec les wafers de silicium,
l’échantillon se rassemble vers le centre, et il y a un déplacement de l’échantillon dans la direction radiale selon r, ce qui crée un gradient de vitesse apparent ˙γ dans cette direction. Pour un volume d’échantillon de 3 mL et une vitesse de traction de 0.01 mm s−1, quand le gap varie de 0.5 mm à 10 mm, le gradient de vitesse apparent varie de 0.87 s−1à 4.88×10−4s−1. Un tel intervalle de ˙γ se situe bien dans le régime de glissement quand on mesure la courbe d’écoulement au rhéomètre en géométrie de disques parallèles avec un wafer de silicium comme surface inférieure (voir la fi- gure3.20Aà la section3.6.2du chapitre3pour la courbe d’écoulement de l’émulsion directe A4). Cela suggère qu’il peut y avoir une couche de glissement d’épaisseur δ remplie de fluide interstitiel de viscosité µ (voir la figure6.6) pendant l’écoulement d’élongation du matériau ; cette couche se situe entre le bulk et la surface du so- lide. Grâce aux couches de glissement, l’adhérence du matériau sur les parois est considérablement réduite ; malgré la perte d’adhérence les couches de glissement permettent toujours de transmettre la force normale qui induit l’écoulement d’élon- gation au bulk. Comme δ 6 R, un écoulement de lubrification se produit dans ces couches suite au mouvement relatif des bords, i.e., la paroi du solide sur un côté et l’interface avec le bulk qui subit l’élongation de l’autre. Un tel écoulement produit un gradient de pression et la force normale résultante s’écrit (voir la sectionE.2 de l’annexeEpour le calcul détaillé) :
F = −pRΩ h + µ 4π Ω2 h3δ2U (6.15)
126 Chapitre 6. Élongation
le volume total de l’échantillon. On remarque que la force créée par l’écoulement de lubrification dans la couche de glissement exprimée par l’équation6.15dépend de la vitesse de séparation entre les deux plaques U. Cependant, la superposition des variations de force aux grands gaps (h>3 mm) sur les figures6.3A,6.4Aet6.5A
suggère que l’écoulement de lubrification dans la couche de glissement peut devenir négligeable. A partir des données sur les figure6.4Aet6.5A, on peut alors enlever, pour chaque variation de force, un terme qui varie en h−1et qui se superpose avec la
force aux grands gaps (i.e., h vers 3 mm à 4 mm). La force résiduelle, exprimée par :
∆F=F+ pRΩ h = µ 4π Ω2 h3δ2U (6.16)
varie effectivement en 1/h3 sur la figure6.7A. On note que pour calculer l’écoule- ment de lubrification dans la couche de glissement, on a fait l’hypothèse que l’épais- seur de la couche de glissement reste constante au cours de l’élongation. Cette hy- pothèse semble être valide puisque la variation théorique de la force normale créée dans la couche de glissement suit la variation de la force expérimentale. Cela sug- gère que le volume de liquide dans les couches de glissement ne cesse de s’ajuster pendant l’élongation pour garder une épaisseur toujours constante ; cet ajustement peut être assuré par l’absorption du liquide dans la couche de glissement par le bulk quand ce dernier subit son élongation. Néanmoins, cette absorption, qui peut influencer sur l’écoulement de lubrification et l’expression de la force normale, n’a apparemment pas d’impact sur la force mesurée.
On peut exprimer la force normale créée par l’écoulement dans la couche de glissement en fonction du taux de déformation ˙ε=U/h :
∆F= µ
4π ˙εΩ2
h2δ2 (6.17)
dans ce cas les variations de force illustrées sur la figure6.7Bvalident l’expression : 4π∆F
µΩ2˙ε =
1
h2δ2 (6.18)
déduite de l’équation6.17. Pour connaître la variation de la force résiduelle en fonc- tion de la viscosité du fluide interstitiel µ, nous avons tracé la force résiduelle de l’émulsion D, dont le fluide interstitiel est 14 fois plus visqueux que celle des autres émulsions. Sur la figure 6.7B, on observe que la force résiduelle de l’émulsion D reste proche de celle des autres émulsions, mais elle présente une décroissance un peu plus grande qu’en 1/h2. Cette décroissance rapide a deux origines possibles : (i) le glissement de l’émulsion D sur les wafers de silicium présente une adhésion sur les wafers de silicium et elle est plus forte que celle entre les wafers de silicium et les autres émulsions ; à cause de l’adhésion l’émulsion est cisaillée en bulk et on ne peut plus décrire l’écoulement du bulk par une élongation uniaxiale ; (ii) l’épaisseur de la couche de glissement varie au cours de l’élongation ; dans ce cas l’équation6.15
basée sur une couche de glissement d’épaisseur δ constante n’est plus valide. Cette analyse confirme l’existence d’une couche de glissement pour un écoule- ment en élongation uniaxiale. De plus, on est maintenant capable de déduire l’épais- seur de la couche de glissement δ. On trouve que pour l’ensemble des courbes (sauf celle de l’émulsion D), on a δ≈ (9±3)µm. Une telle épaisseur est plusieurs ordres de grandeur au-dessus de celle trouvée dans un cisaillement simple pour les mêmes