théorique en 1/h. D’une manière équivalente, il est devenu difficile de comparer les plateaux de la contrainte normale expérimental et théoriqu, puisqu’expérimentale- ment la contrainte normale n’a plus de plateau.
On peut néanmoins supposer que la contrainte normale expérimentale est 1.5√3τc,
puisque l’émulsion inverse présente une structure similaire à l’émulsion directe. De plus, on fait l’hypothèse que le bulk présente effectivement un écoulement d’élonga- tion uniaxiale. A partir des variations de force à différents ˙ε imposés (figure6.10B), on extrait la force normale liée à l’élongation uniaxiale du bulk qui décroît en 1/h pour obtenir la contrainte normale liée à la dissipation visqueuse, appelée aussi par la force résiduelle ∆F à la section 6.4. Les forces résiduelles ∆F redimensionnées par µ, 4π, ε etΩ comme exprimées par l’équation6.17à la section6.4 en fonction du gap sont présentées sur la figure6.10C. On observe que, que ce soit aux petits gaps ou au grands gaps, il est difficile de dire que les courbes se superposent. De plus, quand les forces résiduelles décroitent entre 1 mm et 3 mm, il est difficile de juger si la décroissance est plutôt proche de h−2ou de h−3; la force résiduelle pour ˙ε = 0.04 s−1 suit même une décroissance en h−3. Supposons que l’expérience de l’élongation est toujours constituée de l’élongation du bulk plus d’un écoulement de lubrification dans une couche de glissement comme schématisé par la figure6.6, les résultats de l’émulsion inverse suggèrent qu’en plus de la dissipation visqueuse dans la couche de glissement, il y a probablement une dissipation visqueuse au bulk qui est suffisamment faible pour qu’on ne voie pas de différence entre différentes variations de force tout le long du gap sur la figure6.10A. Autrement dit, quand on impose un écoulement d’élongation à l’émulsion inverse, on n’est peut-être pas stric- tement dans un cas d’élongation uniaxiale, et le tenseur du taux de déformation qui décrit l’écoulement du bulk possède probablement des composants non diagonaux qui sont non nuls.
6.9
Discussion sur l’effet de la tension de surface et de la gra-
vité
Tension de surface
La tension de surface à l’interface de l’échantillon et l’air peut créer une force capillaire qui s’ajoute à la force totale mesurée par la plaque supérieure. Pour es- timer l’effet de la tension de surface on fait l’hypothèse que la tension de surface de l’émulsion vaut celle de l’interface eau/air γgl (i.e., environ 70 mN m−1). En éti-
rant le matériau on crée de nouvelles surfaces. La tension de surface crée un travail supplémentaire pour augmenter l’air de la surface d’un facteur dh. On suppose que l’échantillon garde toujours une parfaite forme cylindrique, le changement infinité- simal de l’aire de l’interface s’écrit en première approximation :
d 2πRhγgl
=πRγgldh (6.20)
Cette expression nous renseigne sur la contribution de la tension de surface sur la force normale totale qui vaut Fcr´eation de la surface =πRγ, qui est de l’ordre de 6×10−3N
qui est petit par rapport à la force mesurée (voir par exemple la figure6.3A). On peut donc négliger l’effet de la tension de surface si la forme cylindrique est bien préser- vée.
Cependant sur la figure6.2, on observe que l’échantillon n’est pas parfaitement cylindrique et l’interface échantillon/air présente une courbure C ; cette courbure
132 Chapitre 6. Élongation
s’accompagne d’une pression de Lapace qui exerce une force à la plaque supérieure :
F =γglπR2C (6.21)
Pour les images de 1 mm à 4 mm sur la figure6.2, on constate que la courbure ne dépasse pas 1 mm−1. En supposant que le diamètre de l’échantillon est de l’ordre de cm, la force liée à la pression de Lapace vaut environ 0.02 N, ce qui est bien négli- geable par rapport à la force totale mesurée. On peut négliger la pression de Laplace. On note que dans notre expérience, on travaille avec un volume d’échantillon assez important (1 mL à 4 mL). De plus la plupart de nos matériaux présentent une contrainte seuil élevée (>30 Pa). Cela permet d’avoir une force suffisamment impor- tante mesurée par la plaque supérieure. Pour savoir si on peut négliger la tension de surface, Jørgensen et al. [126] proposent de calculer le rapport entre la contrainte seuil du matériau et la courbure de l’échantillon à l’interface échantillon/air τc/C.
Dans notre expérience on observe que la courbure C est d’autant plus grande que le volume de l’échantillon est petit. Quand la contrainte seuil et le volume de l’échan- tillon sont tous les deux suffisamment grands, le rapport τc/C 1 et on peut négli-
ger l’effet de la tension de surface.
Effet de la gravité
A la fin d’une expérience en élongation, le matériau se sépare en deux parties, avec chacune des parties restant collée à sa surface. Il est donc légitime de considérer l’effet de la gravité qui commence à jouer son rôle à partir d’un certain gap et qui conduit finalement à la séparation du matériau. Pendant un processus d’élongation, la force liée à la gravité f correspond à la force nécessaire pour soulever une partie de l’échantillon d’une certaine hauteur. Elle effectue donc un travail pour déplacer le centre de la gravité de sa hauteur initiale (petite devant sa hauteur finale) à la hauteur finale h/2 et ce travail vaut mgdh/2. On en déduit que f =mg/2. En même temps la contrainte seuil en élongation 1.5√3τccrée une force F´elon:
F´elon=1.5
√
3τc×S= 1.5τcΩ
h (6.22)
où S est la surface de contact entre le matériau et le plateau supérieur. Pour que la force liée à la gravité f dépasse 10% de la force liée à la contrainte seuil en élon- gation F´elon, il faut que h dépasse environ 4 mm (pour τc = 60 Pa et ρ´echantillon ≈
745 kg m−3). Expérimentalement on observe que la force décroît vers 0 (voir par exemple la figure6.3A) et non à mg/2 lorsque le matériau se sépare en deux par- ties identiques. Autrement dit quand h augmente, la force mesurée par la plaque supérieure est de moins en moins influencée par la force qui soulève le centre de la gravité du matériau. En effet, ce raisonnement suggère que la gravité joue un rôle qui devient de plus en plus important vis-à-vis de la contrainte seuil en élongation quand le gap augmente, alors qu’en pratique, la gravité agit à tout moment durant l’élongation, même si l’échantillon reste au repos ou le gap est petit. Sous l’effet de la gravité l’échantillon n’est plus parfaitement cylindrique mais s’effondre au fur et à mesure que la hauteur du centre de gravité augmente. Ce qui induit finalement une séparation dissymétrique du matériau : la quantité de matériau qui reste collée à la plaque supérieur est plus petite que celle collée à la plaque inférieure. Ce phé- nomère est similaire à l’effondrement d’un fluide à seuil pour un volume donnée et qui s’étale sur la surface [81] : les couches de matériau proches du bas subissent une contrainte normale plus élevée que celles des couches supérieures.