Nous allons maintenant montrer comment, en utilisant les trisections, il est possible de d´efinir dans une carte `a une face des triplets canoniques d’arˆetes entrelac´ees, auxquels nous pourrons appliquer l’op´eration d’ouverture. Pour cela, en plus des notions de des- centes, mont´ees, et trisections, nous aurons besoin d’´etudier avec pr´ecision l’ordre relatif dans lequel toutes les demi-arˆetes apparaissent autour de chaque sommet. Afin de sim- plifier cette tˆache, nous commen¸cons par d´ecrire une repr´esentation de cet ordre relatif sous forme de diagramme.
2.3.1
D´efinition
Soit m une carte `a une face, et v un sommet de m. Fixons une demi-arˆete arˆete h appartenant `a v, et ´ecrivons v = (u1, u2, . . . , um), avec u1 = h et les ui ∈ H. Consid´erons
alors une grille `a m colonnes et 2n rang´ees. Chaque rang´ee repr´esente un ´el´ement de H, et les rang´ees sont ordonn´ees de bas en haut selon l’ordre <m(par exemple, la rang´ee la
2.3 - Repr´esentation en diagramme d’un sommet 31 1 2 .. . 12 5 6 3 12 11 2
Fig. 2.9 – Un sommet dans une carte poss´edant 12 arˆetes, et sa repr´esentation en diagramme. Ici, l’arˆete marqu´ee est 6, et la permutation-face est sous la forme φ = (1, 2, . . . , 12).
l’intersection de la i`eme colonne et de la rang´ee correspondant `a l’arˆete ui. Le diagramme
obtenu est appel´e la repr´esentation en diagramme de v, `a partir de h.
Pour dire la mˆeme chose autrement, si l’on identifie H avec l’ensemble J1, 2nK via l’ordre <m, alors la repr´esentation en diagramme de v n’est autre que la repr´esentation
graphique de l’ensemble de points du plan {(i, ui), i ∈ J1, mK}. La figure 2.9 donne
un exemple de repr´esentation en diagramme. Remarquons que si l’on change l’arˆete dis- tingu´ee h, la repr´esentation en diagramme de v est modifi´ee par une permutation circulaire de ses colonnes.
2.3.2
Visualisation de l’op´eration de recollement sur les dia-
grammes
L’int´erˆet de la repr´esentation en diagramme vient du fait que l’op´eration de recolle- ment se visualise relativement facilement sur les diagrammes. ´Etant donn´es trois sommets avec des demi-arˆetes marqu´ees, nous allons d´efinir un d´ecoupage des diagrammes corres- pondant en « blocs » : le recollement se traduira alors sur le diagramme par un certain r´earrangement de ces blocs, qui conduira au diagramme du sommet recoll´e.
Soient a1 <ma2 <ma3 trois demi-arˆetes appartenant `a trois sommets distincts d’une
mˆeme carte `a une face m, et soient ∆1, ∆2, ∆3 les diagrammes correspondants (le dia-
gramme ∆i ´etant consid´er´e `a partir de la demi-arˆete ai). Si l’on retire les trois rang´ees
horizontales correspondant `a a1, a2, a3, et les trois colonnes verticales, on s´epare chaque
diagramme ∆i en quatre blocs (dont certains peuvent ˆetre d’int´erieur vide, en cas de
demi-arˆetes marqu´ees cons´ecutives). On nomme Ai, Bi, Ci, Di les quatre blocs issus du
diagramme ∆i, de bas en haut, comme sur la figure 2.10(a).
Nous utilisons les notations du paragraphe 2.2.1. Les colonnes du diagramme ∆i
correspondent donc aux demi-arˆetes (ai, h1i, . . . hmi i). Juxtaposons maintenant les trois
diagrammes ∆2, ∆3, ∆1 dans cet ordre, de gauche `a droite. On obtient ainsi un nou-
veau diagramme (figure 2.10(b)), dont les colonnes repr´esentent la permutation ¯v = (a2, h12, . . . hm22, a3, h13, . . . h3m3, a1, h11, . . . hm11), `a partir de la demi-arˆete a2. Cependant, les
rang´ees du diagramme ainsi obtenu repr´esentent toujours la permutation-face φ de m, et non la permutation-face ¯φ de la nouvelle carte m : il nous faut donc r´eordonner ces rang´ees selon l’ordre <mpour obtenir la repr´esentation en diagramme du sommet ¯v dans
la carte m.
a1 a2 a3 A1 B1 D1 C1 A2 B2 D2 C2 A3 B3 D3 C3 ∆1 ∆2 ∆3 tour antihoraire du sommet 1 (a)
tour antihoraire du sommet ¯v
a3
(b)
a2
a3
(c)
juxtaposer les trois diagrammes
´echanger les blocs B et C, et les rang´ees a1et a2. ordre <m A2 B2 D2 C2 A3 B3 D3 C3 A1 B1 D1 C1 A2 B2 D2 C2 A3 B3 D3 C3 A1 B1 D1 C1 ordre <m ordre <m
tour antihoraire du sommet ¯v
a2 a1 a1 tour antihoraire du sommet 3 tour antihoraire du sommet 2
Fig. 2.10 – L’op´eration de recollement vue sur les diagrammes. (a) les diagrammes avant recollement ; (b) un diagramme temporaire, o`u les colonnes repr´esentent l’ordre antiho- raire des demi-arˆetes autour de ¯v, mais o`u les colonnes repr´esentent toujours la permuta- tion de d´epart φ ; (c) le diagramme final du nouveau sommet dans la nouvelle carte, o`u les colonnes repr´esentent la permutation ¯φ.
φ = σα = (a1, k11, . . . k1l1, a2, k12, . . . kl22, a3, k31, . . . kl33), par la formule :
¯
φ = (a2, k21, . . . k2l2, a1, k11, . . . k1l1, a3, k13, . . . k3l3).
En termes de diagrammes, cela revient `a permuter d’une part les rang´ees correspondant `a a1 et a2, et d’autre part les rang´ees correspondant `a (k11, . . . k1l1) avec celles correspondant
`a (k1
2, . . . kl22). En termes de blocs, cette deuxi`eme op´eration revient `a inverser chaque bloc
Bi avec le bloc Ci correspondant (voir figure 2.10(c)). En r´esum´e, on a donc :
Lemme 9 (Figure 2.10). La repr´esentation en diagramme du sommet ¯v dans la carte m `a partir de la demi-arˆete a2 s’obtient `a partir des repr´esentations en diagramme ∆1, ∆2, ∆3
par les op´erations suivantes :
1. Juxtaposer ∆2, ∆3, ∆1, dans cet ordre.
2. ´Echanger les rang´ees correspondant `a a1 et a2; pour tout i, ´echanger le bloc Bi avec
le bloc Ci.
Remarquons que, suivie `a l’envers, la proc´edure illustr´ee en figure 2.10 permet d’ob- tenir les trois diagrammes r´esultant de l’ouverture d’un sommet en un triplet d’arˆetes entrelac´ees {a1, a2, a3}. Formulons ´egalement la remarque suivante, qui jouera un rˆole
important dans la suite :
Remarque 4. L’op´eration d’ouverture ne modifie pas l’ordre <m pour les demi-arˆetes
apparaissant strictement entre la racine et le minimum des trois sommets {a1, a2, a3}.
Pr´ecis´ement, si w1 <mw2 <m· · · <mwr sont des ´el´ements de H tels que wr <ma2, alors
le lemme 7 (ou visuellement, la figure 2.10) implique que l’on a : w1 <mw2 <m· · · <mwr <ma1