4.4.1
Etoiles ´´
el´ementaires
3 5 53 (a) (b) 3 4 5 3 4 5 4 4 4 1 2 2 0 1 0
Fig. 4.5 – (a) une arˆete coup´ee blanche de type 3 ; (b) une arˆete coup´ee noire de type 3 ; (c) une ´etoile blanche ´el´ementaire ; (d) une ´etoile noire ´el´ementaire.
On donne maintenant la description des briques de base qui nous permettront de construire les mobiles :
D´efinition 26. (figure 4.5) Une arˆete coup´ee blanche est une arˆete qui relie un sommet blanc non ´etiquet´e `a deux drapeaux, attach´e chacun sur un cˆot´e de l’arˆete. Chaque drapeau est ´etiquet´e par un entier, et si les ´etiquettes sont l1 et l2, dans le sens horaire
autour du sommet blanc, la quantit´e l2− l1+ 1 est appel´ee le type de l’arˆete coup´ee. La
mˆeme d´efinition vaut pour une arˆete coup´ee noire, mais dans ce cas le type est d´efini comme l1− l2+ 1.
Une ´etoile blanche ´el´ementaire est une ´etoile form´ee d’un sommet blanc central, qui est connect´e `a un certain nombre de sommets ´etiquet´es et `a un certain nombre d’arˆetes coup´ees blanches, et qui satisfait la propri´et´e iii-w de la d´efinition 25. Les ´etoiles ´el´ementaires sont consid´er´ees `a translation pr`es de leurs ´etiquettes par une valeur commune. La mˆeme d´efinition vaut pour les ´etoiles noires ´el´ementaires, en rempla¸cant « blanc » par « noir », et la propri´et´e iii-w par la propri´et´e iii-b.
Le lemme suivant s’av`erera extrˆemement utile :
Lemme 41. Soit s une ´etoile blanche ´el´ementaire de degr´e km, incidente `a r arˆetes coup´ees, de types τ1, τ2, . . . , τr. Alors on a :
r
X
i=1
τi = km.
D´emonstration. On num´erote les drapeaux de 1 `a r, dans le sens horaire, `a partir d’une position arbitraire. On note liet l′iles ´etiquettes port´ees par le i-`eme drapeau, dans le sens
horaire : on a donc τi = li′− li+ 1. Par la propri´et´e iii-w, l’´etiquette d´ecroˆıt de un apr`es
chaque sommet ´etiquet´e, donc l′
i− li+1 est exactement le nombre de sommets ´etiquet´es
pr´esents entre les i-`eme et i + 1-`eme drapeaux (avec la convention que le r + 1-`eme est aussi le premier). Le degr´e total de s est donc :
r + r X i=1 (l′i− li+1) = r + r X i=1 (l′i− li) = r X i=1 τi
4.4 - Les briques ´el´ementaires des mobiles : ´etoiles et cellules 81
Remarque 11. Si s est une ´etoile noire ´el´ementaire qui apparaˆıt dans le mobile associ´e `a une m-hypercarte m, alors la conclusion du lemme est vraie, avec k = 1. En effet, si l1, l2, . . . , lm est la suite antihoraire des ´etiquettes des sommets apparaissant autour de la
face noire correspondante de m, on aPmi=1τi =Pmi=1(li+1− li+ 1) = m.
On d´efinit une m-marche de longueur l comme un l-uplet d’entiers (n1, . . . , nl) ∈
J−1, m − 1Kl tel que P n
i = 0. Une m-marche cyclique est une m-marche consid´er´ee
modulo permutation circulaire de ses ´el´ements. Soit maintenant s une ´etoile ´el´ementaire de degr´e l multiple de m. On consid`ere la suite des ´etiquettes des sommets et drapeaux autour du sommet central, dans le sens horaire. On interpr`ete chaque sommet ´etiquet´e
comme le nombre −1, et chaque arˆete coup´ee de type τ comme le nombre τ − 1. On
obtient une suite d’entiers (n1, n2. . . , nl), d´efinie `a permutation circulaire pr`es, et qui
est clairement une m-marche. R´eciproquement, `a partir d’une m-marche cyclique, en interpr´etant ses pas −1 comme des sommets ´etiquet´es, et ses pas τ − 1 ≥ 0 comme des arˆetes coup´ees de type τ , on reconstruit une ´etoile ´el´ementaire, qui est l’unique ´etoile ´el´ementaire dont la marche associ´ee est la marche de d´epart. Ainsi, on a :
Lemme 42. Pour tout l multiple de m, les ´etoiles blanches ´el´ementaires de degr´e l sont en bijection avec les m-marches de longueur l.
`
A partir de maintenant, on dira qu’une arˆete coup´ee est sp´eciale si son type n’est pas ´egal `a m, et qu’elle est standard sinon. Remarquons que le lemme 40 peut ˆetre reformul´e ainsi : une hypercarte est une constellation si et seulement si autour de chaque sommet blanc de son mobile, toutes les arˆetes coup´ees sont standard. Pour cette raison, il nous faudra `a certains moments traiter diff´eremment le cas des mobiles associ´es aux constellations, et de ceux associ´es aux hypercartes g´en´erales. Ce sera le cas dans les deux paragraphes suivants.
4.4.2
Cellules et chaˆınes de type 0
´
etoile blanche ´etoile noire
4 3 22 32 4 3 2 1 3 drapeau in, ´ etiquette lin = 4 drapeau out, ´ etiquette lout = 3 4 3 4 42 4 2 3 in out 4 4 42 4 2 3 4 2 3 7 5 5 3 4 7 5 6 cellule in out in out 3 3 12 11 23 22 45 44 1 5 4 3 2 2 1 3 2 3 2 0 2 4 3 cellule cellule
cellule cellule cellule
Fig. 4.6 – Quatre exemples dans le cas m = 3. En haut, une cellule de type 0, et une chaˆıne de type 0 ; en bas, une cellule de type 2, et une chaˆıne de type 1.
Une cellule de type 0 est une ´etoile blanche ´el´ementaire, de degr´e multiple de m, ne contenant que des arˆetes coup´ees standard, et qui contient deux sommets ´etiquet´es distingu´es : un sommet in et un sommet out. L’incr´ement d’une cellule de type 0 est la diff´erence lout − lin des ´etiquettes de ses sommets out et in. Sa taille est son nombre d’arˆetes coup´ees, et son degr´e total est le degr´e de son sommet central.
Une chaˆıne de type 0 est une suite finie de cellules de type 0. Sa taille et son incr´ement sont d´efinis additivement `a partir de ceux des cellules qu’elle contient. Son sommet in (resp. out) est le sommet in de sa premi`ere cellule (resp. sommet out de sa derni`ere cellule). Graphiquement, on dessine une chaˆıne de type 0 en identifiant le sommet out de chaque cellule avec le sommet in de la cellule suivante, comme sur la figure 4.6.
Remarquons que la m-marche correspondant `a une cellule de type 0 n’a que des pas −1 et m−1, ce qui implique que le degr´e total d’une telle cellule est ´egal `a m fois sa taille, et que son nombre de sommets ´etiquet´es est ´egal `a (m− 1) fois sa taille. En cons´equence, dans une chaˆıne de type 0, le nombre total de coins incidents `a un sommet ´etiquet´e est toujours ´egal `a (m− 1) fois la taille de la chaˆıne.
4.4.3
Cellules et chaˆınes de type τ
∈ J1, m − 1K
Si τ est un ´el´ement de τ ∈ J1, m − 1K, une cellule de type τ est une paire (s1, s2) telle
que :
- s1 est une ´etoile blanche ´el´ementaire, avec exactement deux arˆetes coup´ees sp´eciales :
une arˆete in, de type τ , et une arˆete out, de type m− τ.
- s2 est une ´etoile noire ´el´ementaire, avec exactement deux arˆetes coup´ees sp´eciales : une
arˆete in, de type m− τ, et une arˆete out, de type τ.
Graphiquement, on identifie les deux arˆetes coup´ees de type m − τ, comme sur la figure 4.6. L’arˆete in de la cellule est l’arˆete in de s1, et l’arˆete out est l’arˆete out de s2;
les ´etiquettes correspondantes lin et lout sont d´efinies avec la convention de la figure 4.6. L’incr´ement de la cellule est la diff´erence lout - lin.
Une chaˆıne de type τ est une suite finie c de cellules de type τ . Graphiquement, on identifie les drapeaux de l’arˆete coup´ee out de chaque cellule avec ceux de l’arˆete coup´ee in de la cellule suivante. L’incr´ement de la chaˆıne est d´efini comme la somme des incr´ements des cellules qu’elle contient. On note|c| le nombre total de sommets ´etiquet´es apparaissant dans c. On note ´egalementhci le nombre total de sommets noirs apparaissant dans c plus son nombre total d’arˆetes coup´ees blanches standard (de mani`ere ´equivalentehci serait le nombre total de sommets noirs de c si l’on reliait chaque arˆete coup´ee blanche standard `a un nouveau sommet noir univalent).