3.4.1 Importance de la reparamétrisation pour le problème inverse
Le choix des paramètres est souvent imposé lors de la formulation du problème inverse : dans notre cas on souhaite retrouver les paramètres de phase ϕ de l’amplitude complexe aϕ de l’onde EM sur la pupille du télescope. Cependant une reparamétri- sation linéaire des paramètres recherchés à l’aide d’un opérateur K, est généralement déterminante pour le succès de l’optimisation. Tout d’abord parce que le conditionne- ment de l’approximation A de la hessienne ∇2
pfpost, utilisée pour calculer les pas δp successifs, peut significativement dépendre de la reparamétrisation (et donc également la convergence de l’algorithme d’optimisation). D’autre part parce que la reparamétri- sation influe sur les ambiguïtés non strictes vues par l’ajustement, et qu’elle peut ainsi permettre de ne pas attribuer certaines variations du modèle aux mauvais paramètres.
Comme le modèle des images est non-linéaire par rapport à la phase, il n’existe pas de base linéairement reliée à la phase dont chaque mode puisse entraîner des effets orthogonaux dans les images par rapport à ceux des autres modes. Je ne connais par ailleurs pas de base, s’approchant plus que les autres de ce comportement idéal de base propre. J’ai toutefois comparé quelques différentes reparamétrisations de la phase (po- lynômes de Gram-Schmidt, de Zernike, de Karhunen-Loève, paramétrisations zonales avec différents échantillonneurs) pour voir si à défaut de pouvoir le démontrer, une de celle-ci est plus adaptée pour la reconstruction de phase. Mais ces tests ne m’ont pas non plus permis de choisir une reparamétrisation en particulier.
A défaut de l’orthogonalité, j’ai donc simplement opté pour reparamétrer la phase turbulente avec un nombre minimum de paramètres, ce qui m’a conduit à sélectionner deux bases en particulier, détaillées ci-dessous.
Notons enfin que l’amplitude α et les modes de tip-tilt θ ne font pas l’objet de la reparamétrisation, puisqu’ils sont considérés spécifiquement dans l’ajustement.
3.4.2 Reparamétrisation modale de la phase dépistonnée et détil-
tée
Il est d’usage commun en astronomie HRA, de reparamétrer la phase en utilisant les polynômes de Zernike, dont les tout premiers modes correspondent bien aux aber- rations que l’on peut reconnaître à l’oeil dans les images de montages optiques (tip-tilt i.e. pente, défocalisation, coma).
Toutefois, comme démontré par Lane and Tallon [1992], la décomposition de la phase sur les polynômes de Zernike requiert un nombre de paramètres significative- ment plus important pour rendre compte de toutes les aberrations du front d’onde et donc modéliser les structures fines de l’image, que la paramétrisation en décomposant la phase sur les modes singuliers de la turbulence ou polynômes de Karhunen-Loève.
Reparamétrisation 67 Notons également, comme on peut le voir sur la figure 3.1, que les premiers modes de ces derniers polynômes sont très semblables aux premiers modes de Zernike. Ils peuvent donc tout aussi bien modéliser les basses fréquences spatiales des images.
0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 −1.00 −0.67 −0.33 0.00 0.33 0.67 1.00 0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 −1.00 −0.67 −0.33 0.00 0.33 0.67 1.00 0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 −1.00 −0.67 −0.33 0.00 0.33 0.67 1.00
F. 3.1 –Représentation des premiers polynômes de Karhunen-Loève pour une statistique de la phase de type Kolmogorov
La matrice Kmod de reparamétrisation modale de Karhunen-Loève de la phase dé- pistonnée et détiltée, est simplement obtenue par la décomposition numérique en va- leurs singulières (SVD) de la matrice de covariance de Kolmogorov :
Cφ = U.Σ.V> (3.22)
où U est la matrice unitaire des vecteurs singuliers, V est la matrice unitaire des vec- teurs que l’endomorphisme correspondant à Cφ transforme en vecteurs singuliers, et Σ est la matrice diagonale des valeurs singulières σi>0. En effet on a directement
Kmod=U. De plus on remarque que cette décomposition correspond ici à une décom- position spectrale, avec V>=U−1, puisque Cφest symétrique.
3.4.3 Reparamétrisation zonale de la phase dépistonnée et détiltée
En considérant le rééchantillonnage des sous-paramètres de phase comme une opé- ration de lissage, il vient assez naturellement l’idée d’utiliser un nombre restreint d’échantillons spatiaux de phase pour reparamétrer la phase alternativement. Cela per- met en plus de la restriction du nombre de paramètres, de renforcer explicitement l’a priori de lissage de la phase et ainsi de faciliter le traitement des ambiguïtés strictes de périodicité de la phase dans l’adéquation fexp.
J’ai choisi en particulier d’utiliser la reparamétrisation par les noeuds de fonctions splines linéaires bi-cubiques, et tous les résultats donnés par la suite ont été obtenus à l’aide de cette reparamétrisation, pour les premières itérations de l’algorithme assurant la convergence dans le bon minimum local tout au moins. La spline compacte d’ordre 3 utilisée a pour formule analytique :
S(x) = 2/3 + (x/2 − 1) × x2 : |x| ≤ 1 , S(x) = 1/6 × (2 − x)3 : 1 ≤ |x| ≤ 2 ,
S(x) = 0 : |x| ≥ 2 .
La matrice Kzon de reparamétrisation contient la valeur aux échantillons de phase, des fonctions splines définies sur chaque noeud. Kzonest donc un opérateur linéaire creux, qui est précalculé, stocké avec peu de mémoire et appliqué rapidement lors de son utili- sation. Notons que cette paramétrisation à l’aide de splines est bien adaptée puisqu’on s’intéresse exclusivement à des cas où la grille de noeuds est moins échantillonnée que la grille de phase. Dans le cas contraire la description à l’aide de splines bi-cubiques n’est pas adaptée [Unser et al., 1995].
3.4.4 Restriction du nombre de paramètres
Il faut modéliser la phase de l’amplitude complexe sur la pupille avec de l’ordre de (D/r0)2 coefficients de la base de Karhunen-Loève ou bien des noeuds de splines, pour pouvoir reconstruire l’image jusqu’aux plus hautes fréquences spatiales de la tur- bulence. J’ai essayé de restreindre davantage ce nombre dans les premiers temps de l’optimisation, mais les paramètres ne s’ajustent alors pas bien, ce qui peut être en partie compris en se rappelant que les modes des bases utilisées n’ont pas des effets orthogonaux dans les images. Une bonne piste pour éviter ces ambiguïtés, mais que je n’ai pas eu le temps de mettre en pratique, me semble de binner l’image parallèle- ment à la restriction du nombre d’échantillons de la phase. En effet cela permettrait au moins que les hautes fréquences spatiales de l’image ne soient pas reconstruites par la phase sous-échantillonnée. Cette approche a d’ailleurs déjà été proposée dans un autre
Algorithme d’optimisation locale 69 contexte de reconstruction de phase [Won et al., 1985]. Au final la première étape de reconstruction de la phase est faite avec un nombre de paramètres restreints à de l’ordre de (D/r0)2.
Le nombre total d’échantillons de phase que j’utilise pour le calcul de l’image reconstruite et pour celui de l’image réelle simulée qui constitue les données d, est au moins quinze fois supérieur (en 2D) à (D/r0)2. Cela afin d’une part de ne pas avoir de repliement dans les images, et d’autre part afin de renforcer le lissage de phase apporté par le rééchantillonneur et ainsi mieux gérer les ambiguïtés de périodicité de la phase (voir section 3.9.3).