Je qualifie dans cette section l’importance de certains ingrédients dans le bon fonc- tionnement de l’optimisation globale, en les faisant varier isolément. Cela permet en effet de mettre plus en relief la combinaison complexe de nombreux choix qui a été né- cessaire pour résoudre ce problème difficile, et que j’ai effectuée en partie à l’aide de nombreuses simulations et par améliorations progressives ; et cela permet également de quantifier la sensibilité de l’algorithme par rapport à ces choix. Pour caractériser ces ingrédients j’ai considéré le cas le plus difficile de la reconstruction de phases dé- corrélées, car l’importance de chaque ingrédient se quantifie plus probablement dans ce contexte par le nombre statistique d’échecs de la reconstruction, que lorsque l’op- timisation est fortement facilitée par la continuité temporelle. Je représente donc dans cette section l’erreur de reconstruction statistique (3`eme interquartile) en fonction du nombre de départs aléatoires et pour le cas le plus difficile envisagé de D/r0=11.
3.9.1 Bornage du tip-tilt
L’importance primordiale de la contrainte du tip-tilt a été précédemment discutée. Elle est due comme on l’a vu aux ambiguïtés introduites par la seule translation de la figure de speckles reconstruite, par rapport à celle des données. On voit sur la figure 3.7 que le nombre de départs nécessaire pour reconstruire les phases est 4.4 fois moins important quand le tip-tilt est parfaitement connu et borné tout au long de l’ajustement que quand il est totalement inconnu. Le gain apporté par le barycentre est plus modeste pour D/r0=11, car le barycentre et le tip-tilt deviennent des grandeurs assez différentes pour de tels D/r0. Toutefois ce dernier gain n’est pas négligeable (∼25%)
3.9.2 Régularisation de la phase
La régularisation de la phase est essentielle pour lever les dégénérescences de la re- construction de phase et favoriser l’optimisation globale en gommant certains minima locaux de fexp. D’un point de vue statistique (bayesien), la régularisation de Kolmogo- rov est la mieux adaptée. Toutefois j’ai comparé son efficacité avec le simple a priori de lissage décrit à la section 3.3.3.2, qui semble à première vue également bien adapté aux nombreuses ambiguïtés de pliage de la phase. Comme on peut l’observer sur la figure 3.8 le nombre départs est significativement meilleur. Le choix de la bonne ré- gularisation n’est donc pas si anodin que cela : les ambiguïtés sont plus nombreuses
Qualification de l’importance de certains choix 83 20 40 60 80 100 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 seuil de convergence D/r = 110 N = 50 000ph parfaitement connu bornage du tilt bornage du tilt en utilisant le barycentre
pas de bornage du tilt
Nombre de départs aléatoires
3 quartile des meilleurs erreurs de phase (radian rms)
ème
F. 3.7 –Importance du bornage du tip-tilt pour la reconstruction de phase.
50 100 1 2 3 seuil de convergence D/r = 110 N = 50 000ph a priori de lissage a priori Kolmogorov
Nombre de départs aléatoires
3 quartile des meilleurs erreurs de phase (radian rms)
ème
que le simple dépliage de la phase et sont mieux traitées par le choix de la meilleure régularisation statistique.
3.9.3 Echantillonnage de la phase
L’échantillonnage de la phase est un ingrédient clé de la reconstruction, à cause des ambiguïtés strictes de pliage de la phase modulo 2 π. En effet il faut que la phase soit échantillonnée suffisamment finement dans le modèle pour que le lissage apporté par la régularisation et par le rééchantillonneur de la reparamétrisation puisse garantir l’absence de saut de phase entre deux échantillons, et donc l’absence de cette ambi- guïté dans le critère expérimental. J’ai testé pour illustrer cela deux échantillonnages différents de la phase dans le modèle, avec le même D/r0 et le même échantillon- nage des tavelures dans l’image (1 pixel CCD ' 0.5λ/D). En pratique cela veut dire que le nombre de pixels de l’image a été varié parallèlement au nombre de pixels de la phase. Comme on le voit sur la figure 3.9, le nombre de départs aléatoires néces- saire est jusqu’à trois fois moins important avec l’échantillonnage le plus fin de 65×65 pixels, lequel permet de mieux démanteler les dégénérescences de pliage de la phase que l’échantillonnage plus grossier. J’ai observé plus généralement, que le diamètre de la pupille doit comprendre au moins 4×D/r0 pixel, pour assurer une contrainte de lissage suffisante. La précision finale est également représentée sur la figure de droite pour le meilleur échantillonnage, avec la convergence de toutes les phases (à 1% près) et pour D/r0=11.
3.9.4 Région de confiance
L’utilisation d’une région de confiance dans l’algorithme d’optimisation locale est justifiée par la nécessité d’ajuster la longueur des pas de quasi-Newton lorsque le conditionnement de la hessienne est mauvais. Plus généralement elle est basée sur le bon accord entre les variations effectives de la fonction de pénalisation avec sa des- cription quadratique. En effet comme le pas est directement dérivé de cette description quadratique, il semble légitime de baser l’acceptation du pas en fonction de ce critère. En pratique j’ai observé que la convergence de l’algorithme global est meilleure en débridant la région de confiance (i.e. les bornes de rejet de l’accord quadratique) lors de la première phase d’exploration, c’est à dire lorsque l’algorithme, dans sa phase globale, est encore à la recherche de la zone de dépression du bon minimum. Cela permet en effet de ne pas trop raffiner de petites irrégularités insignifiantes du critère et est justifié par le fait que le volume de dépression du minimum global est plus important que celui des minima locaux. Le resserrement de la région de confiance permet au contraire dans un deuxième temps de converger plus efficacement vers le minimum.
Qualification de l’importance de certains choix 85 20 40 60 80 1 2 3 D/r = 11 N = 50 000ph seuil de convergence 0 échantillonnage de phase 65 x 65 échantillonnage de phase 33 x 33
3 quartile des meilleurs erreurs de phase (radian rms)
ème
Nombre de départs aléatoires
0.25 0.30 0.35 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 D/r = 110 N = 50 000ph
Fonction de distribution cumulative
Erreur de reconstruction de phase en radian rms
F. 3.9 –Importance du niveau d’échantillonage de la phase dans le modèle pour la reconstruction de la phase dépliée. A gauche on voit le nombre de départs aléatoires nécessaire pour atteindre une certaine erreur de reconstruction de la phase. Tandis que l’erreur de reconstruction finale en raffinant l’estimation obtenue de la première étape de l’optimisation globale est représentée à droite pour le meilleur des deux échantillonnages.
0 20 40
1 2 3
Nombre de départs aléatoires avec region de confiance sans region de confiance
seuil de convergence
3 quartile des meilleurs erreurs de phase (radian rms)
ème
Comme on le voit sur la courbe 3.10, il est quand même légèrement préférable de conserver la région de confiance dans les premiers temps de l’optimisation. Cela per- met en effet la gestion de très mauvais conditionnements de hessiennes pour accrocher la dépression du minimum global et ne pas en ressortir parce qu’un pas vraiment trop large par rapport à la zone de validité des approximations quadratiques serait effectué à cet endroit.