5.2 Estimation de la pente différentielle par interspectre bichromatique
5.2.1 Principe de la mesure
Comme je l’ai montré à la section 1.1.2.2, l’autocorrélation de l’amplitude com- plexe sur la pupille du télescope et l’image au foyer sont associées linéairement par transformée de Fourier : Iλ(u) = cste × Z PPλ(f)P ∗ λ(f + u) × e 2π λj [δλ(f)−δλ(f+u)]df , (5.25)
Estimation de la pente différentielle par interspectre bichromatique 113 où Iλ(u) est la transformée de Fourier de l’image iλ(x) à la fréquence spatiale u. En séparant le chemin optique entre une composante de tip-tilt et une partie détiltée :
δλ(u) = θλ.u + δ0λ(u) , (5.26)
et en notant P×
λ(f, u)=Pλ(f)P∗λ(f + u) le produit des transmissions de la pupille aux fréquences f et f + u, il vient Iλ(u) = cste × e−2πλ j θλ.u Z PP × λ(f, u) × e 2π λ j[δ0λ(f)−δ0λ(f+u)]df . (5.27)
L’interspectre bichromatique, en fonction d’un facteur α d’éventuel rééchantillon- nage de Iλ2, s’écrit Bλ1, λ2(u, α) , Iλ1(u) × Iλ∗2(α u) (5.28) = cste × e−2π j[θλ1/λ1− α θλ2/λ2].u× " P1,2 P× λ1,λ2(α, f, u) × e 2π jδ0 λ1(f)−δ0λ1(f+u) λ1−δ0λ2(αf0)−δ0λ2(α (f0+u))λ2 dfdf0. où P×
λ1,λ2(α, f, u)=P×λ1(f, u)P×λ2(α f, α u).
Dans un domaine de fréquences spatiales proches de zéro, on s’attend à ce que le tip-tilt différentiel chromatique domine l’expression (5.28). Le principe de mesure de la pente différentielle par interspectre bichromatique consiste donc à ajuster l’angle du complexe Bλ1, λ2(u, α). Cela correspond également à ajuster l’angle minimisant la
distance entre Iλ1(u) et Iλ2(α u) au sens des moindres carrés. En effet on a
Θ+ = arg min Θ
X u
w(u) × d1(u) − e2π jΘ.ud2(α u) 2 = arg min Θ X u w(u) ×Re2hd 1(u) − e2π jΘ.ud2(α u) i + Im2hd 1(u) − e2π jΘ.ud2(α u) i = arg min Θ X u
−2w(u) ×Red1(u)×Ree2π jΘ.ud2(α u)+ Imd1(u)×Ime2π jΘ.ud2(α u) = arg min
Θ X
u
−w(u) × Reh2 d1(u)d∗2(α u)e−2π jΘ.u i = arg min Θ X u w(u) × Im2hd
1(u)d2∗(α u)e−2π jΘ.u i
, (5.29)
où dk(u)=Iλk(u)/|Iλk(u)|, et en utilisant la formule trigonométrique Im2[x]=1−Re[2x]
pour obtenir la dernière égalité. C’est cette dernière égalité, qui optimise au sens des moindres carrés l’arc moyen et donc l’angle moyen du complexe Bλ1, λ2(u, α), que j’uti-
lise finalement pour estimer le déplacement différentiel chromatique de la source. Comme la première égalité de l’équation (5.29) correspond à optimiser le déplace- ment différentiel des images par un maximum de corrélation entre les deux images, au
rééchantillonnage et à la pondération w(u) près, on voit que ma mesure peut être consi- dérée comme une version améliorée d’un maximum de corrélation, avec une possible mise à l’échelle de la taille d’une des images et une pondération adaptée des fréquences spatiales en fonction de la ressemblance effective des images à ces fréquences.
Le poids w(u) est obtenu empiriquement par w(u) =DIm2B0
λ1,λ2(u, α)
E−1
, (5.30)
où B0
λ1,λ2(u, α) est l’interspectre des images détiltées et normalisées, et où le moyen-
nage est effectué sur un nombre significatif de réalisations indépendantes. En pratique, pour des données non simulées, on ne dispose pas des images recentrées pour calculer w(u). On peut dans ce cas-là mettre en oeuvre une auto-calibration, en calculant de façon itérative un poids w(u)(n), qui bénéficie de l’amélioration progressive de recen- trage des images au fur et à mesure de l’amélioration de l’estimation de la pente dans l’interspectre bichromatique.
5.2.2 Simulations
−100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100F. 5.8 –Images typiques simulées pour l’interspectre bichromatique. De gauche à droite sont repré- sentées l’image sans bruit d’une source ponctuelle, l’image bruitée et enfin l’image bruitée d’une source résolue de largeur à mi-hauteur λ1/r0 en unité angulaire. Les images sont représentées pour les deux longueurs d’onde λ1et λ2, en haut et en bas respectivement, et sans rééchantillonnage (α=1).
Estimation de la pente différentielle par interspectre bichromatique 115 Mon objectif étant avant tout de débroussailler une nouvelle méthode, j’ai effectué des simulations pour un seul couple de longueurs d’onde [λ1, λ2]=[569, 330] nm, une condition particulière de turbulence D/r0(330 nm)=18, et un rapport signal à bruit — tel que défini par l’équation (5.23) — particulier de 10.5 pour les deux longueurs d’onde. Ce RSB correspond à un nombre moyen de 36 000 et 8 300 photons pour 330 et 569 nm respectivement, et à un bruit de détecteur de σCCD=0.25 photons/pixel. On peut s’attendre à une certaine dépendance des performances de la méthode avec le couple de longueurs d’onde, avec la force de la turbulence, avec la balance de RSB entre les deux longueurs d’onde, avec le niveau relatif du bruit de détecteur dans le bruit total, etc... Une étude exhaustive de la méthode resterait donc à faire en fonction de tous ces paramètres. Je me suis ici uniquement intéressé au facteur α de rééchantillonnage, à la portion utile de l’interspectre, et à l’extension de la source laser artificielle.
Un jeu d’images typiquement simulées est représenté sur la figure 5.8, pour une source lumineuse à 589 nm non résolue ou de diamètre λ1/r0(λ1).
La comparaison des erreurs d’estimation du déplacement différentiel chromatique, entre le barycentre et l’interspectre bichromatique, est représentée sur la figure 5.9 en écart-type, et en fonction du facteur relatif α de rééchantillonnage de la pupille.
La valeur α=1 correspond au rééchantillonnage optique de la pupille de la longueur d’onde λ1 vers λ2, par le facteur λ1/λ2 “naturel”. C’est en effet le rééchantillonnage qu’il convient d’effectuer sur la phase en l’absence de grandissement optique dans le montage pour obtenir les images dans le plan de Fourier conjugué. La courbe 5.9 cor- respond à une source ponctuelle, et l’erreur sur le déplacement différentiel a été rame- née a posteriori à l’erreur sur le déplacement à la longueur d’onde λ1, afin de comparer les erreurs d’une grandeur invariante avec le facteur de rééchantillonage α. On observe un gain optimum de 4.1 entre l’interspectre et le barycentre pour α+'(λ
2/λ1)0.2. Cette valeur correspond à corréler des images ayant des tailles d’enveloppes similaires, ce qui traduit bien que les hautes fréquences spatiales ne sont pas utilisées. C’est d’ailleurs pour ce facteur de rééchantillonnage optimum α+que les poids utiles w(u) de l’inter- spectre peuvent être exploités au plus loin, comme on le voit sur la figure 5.10 re- présentant la coupe radiale des poids w(u) de l’interspectre en fonction du facteur de rééchantillonnage α.
Les résultats montrent en définitive que la mesure de déplacement par interspectre est adaptée pour l’exploitation des basses fréquences principalement, à défaut d’ex- ploiter la structure tavelée des images par de la reconstruction de phase.
Il faut noter que le barycentre est légèrement défavorisé dans cette comparaison par l’échantillonnage trop important des images. Toutefois le bruit de lecture est très inférieur au bruit de photons, et on s’attend donc à ce que le gain significatif obtenu pour le meilleur facteur de rééchantillonnage α+soit en partie conservé avec un échan- tillonnage optimal des images pour l’estimation du barycentre —lorsque le bruit de photons domine toutefois.
Erreur rms d’estimation du déplacement Interspectre Barycentre 2.0 1.5 1.0 0.1 0.2 0.4 0.6 1.0 2.0 10.0 Facteur de réechantillonnage α λ de la source en pixel CCD (0.3 /D)
F. 5.9 –Gain de centrage de l’interspectre bichromatique par rapport au barycentre, en fonction du facteur de rééchantillonnage α. 2 4 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Fréquence spatiale (en fréquels CCD)
Poids normalisé w de l’interspectre
F. 5.10 –Coupe radiale des poids de l’interspectre en fonction de la fréquence spatiale. Les différents facteurs de rééchantillonnage α sont représentés par une couleur foncée croissant avec α. L’augmenta- tion de α est stoppée à son optimum α+'(λ2/λ1)0.2pour une meilleure visualisation.
Amélioration de la résolution spatiale d’un détecteur à comptage de photons 117 diamètre λ1/r0, pour estimer la perte de précision causée par une coupure brutale des hautes fréquences spatiales des images. J’ai pris directement le meilleur facteur d’échantillonnage α+ obtenu pour une source ponctuelle, bien que celui-ci puisse de nouveau être réoptimisé pour les images de la source résolue. En effet j’ai supposé que la réoptimisation n’était pas critique, vu que ce sont principalement les basses fré- quences qui sont exploitées dans cette mesure. Comme escompté je n’obtiens pas de perte significative du gain de l’interspectre bichromatique pour une source fortement résolue. En effet le gain de l’erreur de centrage rms par rapport au barycentre est de 3.95 au lieu de 4.1 pour la source ponctuelle.