4.4 Conclusion
5.1.2 Erreurs et biais affectant le centrage
J’exprime ici les erreurs et biais affectant le centrage des images tavelées pour le barycentre uniquement, puisqu’il n’existe pas de relation analytique linéaire de la pente de la surface d’onde en fonction de l’énergie dans l’image, et puisque je m’intéresse par la suite à des techniques de centrage à partir de l’énergie de l’image. Dans le cas
Estimation de la position d’une source ponctuelle à partir d’images tavelées 99
0
D/r0
Ecart−type de la différence entre pente et gradient
moyen du chemin optique (en /D)
λ 100 50 0 1 2
F. 5.1 –Ecart-type de la différence entre la pente du chemin optique et le barycentre de l’image
où le bruit de photons domine, je suppose que l’erreur d’un estimateur de maximum de vraisemblance du barycentre est du même ordre de grandeur que celle d’un estimateur de maximum de vraisemblance de la pente du chemin optique (tip-tilt).
5.1.2.1 Bruit de discrétisation spatiale
Le déplacement continu de la position de l’objet est estimé par une version discrète du barycentre, car les images formées par le détecteur sont spatialement discrètes. En notant ∆x la taille des pixels de l’image, la version discrète du barycentre s’écrit
bk = P
l,m(xkl,m∆x) × il,m P
l,mil,m k = 1, 2 . (5.5)
On montre [Vaillant, 2002] que la discrétisation des images n’introduit pas de biais dans l’estimation du barycentre, mais introduit une erreur
σdisc bk =
∆x p
12 × Nph, (5.6)
où Nph est le nombre de photons dans l’image. Cette erreur est le plus souvent négli- geable devant les erreurs dues au bruit de photons et au bruit du détecteur. En pratique la discrétisation spatiale peut entraîner une erreur voire également un biais, lorsque la transmission des pixels est fortement hétérogène et qu’elle n’est pas calibrée et com- pensée.
5.1.2.2 Bruit du détecteur
En dehors des troncatures spatio-temporelles, le détecteur modifie la distribution spatiale d’énergie du signal photonique, à cause principalement du courant thermique du matériau optoélectronique, du transfert des charges électroniques (la lecture) et de la digitalisation du signal. Après débiaisage par soustraction d’un champ obscur moyenné sur un nombre significatif de trames, on considère en général que le bruit du détecteur est spatialement homogène et sans biais. Chaque pixel du détecteur est ainsi affecté par un bruit gaussien centré d’écart type temporel σCCD. En général le bruit de lecture do- mine le bruit du CCD, de telle sorte que σCCDest proportionnel à la racine carrée de la fréquence d’acquisition. L’estimateur du barycentre en présence du bruit de détecteur nl,msur chaque pixel s’écrit
˜bk = P
l,m(xkl,m∆x) × (il,m+ bl,m) P
l,m(il,m+ nl,m) . (5.7)
Lorsque le flux est relativement plus important que le bruit de lecture, on considère que la somme du dénominateur de l’équation (5.7) n’est pas affectée par le bruit de photons. On voit alors directement de la moyenne de la soustraction de cette équation avec l’équation (5.5) que l’estimateur du barycentre n’est pas biaisé à la condition que la fenêtre de centrage soit centrée sur le barycentre. Pour réaliser cette condition, on peut par exemple utiliser un algorithme de barycentre itératif dont la fenêtre de centrage est recentrée à chaque itération sur le barycentre calculé à l’itération précédente.
En développant l’écart quadratique moyen entre les équations (5.5) et (5.7), on voit également que le bruit homogène du CCD sur chaque pixel se traduit dans l’estimation du barycentre par l’erreur
σdet bk = σCCD Nph × sX l,m (kl,m∆x)2. (5.8)
L’erreur de centrage liée au bruit du détecteur augmente donc avec la taille et le nombre des pixels. C’est pourquoi on choisit souvent un recouvrement du signal sur 2×2 pixels du détecteur, à la limite de diffraction, pour estimer le barycentre lorsque le bruit de lecture domine. Dans ce cas-là toute troncature du signal est dramatique pour le bary- centre, comme cela est illustré sur la figure 5.19.
5.1.2.3 Bruit de photons
Le bruit de photons est la principale source d’erreur pour le centrage dans le cas d’acquisitions à faibles flux, et/ou en faisant l’anticipation optimiste de l’amélioration technologique des détecteurs et de la diminution conséquente de leur bruit. Ce bruit est dû à la nature quantique de l’interaction de la lumière avec la matière. En effet,
Estimation de la position d’une source ponctuelle à partir d’images tavelées 101 comme le détecteur intègre de l’énergie sur un intervalle de temps fini, sous la forme de paquets d’énergie, la moyenne instantanée de l’énergie acquise par le détecteur sur une trame est fluctuante pour un flux de lumière constant.
Soit h(x) la distribution d’énergie dans le plan focal du détecteur, que l’on consi- dère normalisée et recentrée au milieu du détecteur. En supposant que h(x) est une gaussienne, on montre [Lane et al., 2005] que l’erreur d’estimation de la position de la distribution, liée au bruit de photons, vaut (en unité angulaire)
σbphk = 0.657 × λ/Dp
Nph . (5.9)
Lorsque le calcul est mené avec une distribution d’Airy plutôt qu’avec une distribution gaussienne, on montre [van Dam and Lane, 2002b] que l’erreur d’estimation du bary- centre liée au bruit de photons est infinie. Ce résultat surprenant est dû au fait que la distribution d’Airy décroît beaucoup plus lentement spatialement qu’une gaussienne. Il n’existe pas de relation analytique pour les distributions d’énergie des images ta- velées, puisque celles-ci sont intrinsèquement fluctuantes, de sorte qu’on ne peut pas calculer l’erreur sur le barycentre liée au bruit de photons. Toutefois comme la distribu- tion moyenne des images courtes poses recentrées décroît plutôt comme la distribution gaussienne que comme la distribution d’Airy pour les forts D/r0≥10, on s’attend à ce que l’erreur de barycentre liée au bruit de photons pour les images tavelées à fort D/r0 soit finie, et analogue à celle de la gaussienne, en remplaçant la taille de la gaussienne dans l’équation (5.9) par celle de la distribution d’intensité moyenne des images ta- velées (courtes poses) recentrées. Dans un régime de D/r0 intermédiaire de 2 à 10, on s’attend par contre à ce que l’erreur du barycentre soit plus importante, parce que la décroissance spatiale de la distribution moyenne d’intensité est alors plus lente que celle d’une gaussienne.
5.1.2.4 Troncature par le détecteur
La taille finie du détecteur introduit un biais et une erreur de centrage vers le centre du détecteur, parce que la distribution d’énergie de l’image est tronquée de façon dis- symétrique. Le biais et l’erreur augmentent d’autant plus que le détecteur n’est pas placé au milieu de la distribution d’intensité.
La troncature comporte toutefois certains avantages et peut dans certains cas être intentionnellement renforcée, en choisissant une fenêtre de calcul du barycentre infé- rieure à la taille du détecteur. En effet la troncature introduit tout d’abord un a priori qui permet de rendre finie l’erreur d’estimation du barycentre liée au bruit de photons pour la distribution d’Airy et aussi de la limiter pour les images tavelées à faible D/r0. La troncature permet également d’améliorer l’estimation du barycentre en présence d’un bruit additif comme le bruit de lecture du CCD par exemple, car les pixels des bords de la distribution d’énergie, où le niveau du bruit domine le signal, ne sont ainsi pas pris en compte.