Remarques diverses

x^t+dt _{= x}t+ dt ˙x^t+dt/2

w^t+dt_{= w}t+ dt ˙w^t+dt/2_. ^(1.19)

Les positions sont alors connues au temps t + dt. Le cycle de la méthode MD peut re-commencer par une nouvelle détection des contacts, suivie d’un calcul des efforts de contact, etc.

1.4.6 Calcul du pas de temps critique

Le schéma d’intégration des équations du mouvement est de type explicite aux différences centrées. Il s’agit d’un schéma conditionnellement stable, avec une condition de stabilité caractérisée par un pas de temps critique dt_crit tel que dt < dt_crit. Le calcul de dt_crit tient compte du fait que la propagation des ondes dans le milieu doit être correctement reproduite par le modèle. Dans ce but, un pas de temps critique est calculé pour chaque particule et chaque direction i de l’espace, en translation :

dt^tr_i =  m K_i^{tr, (1.20)} et en rotation : dt^ro_i =  J Kro i , (1.21)

avec K_i^tr et K_i^ro les raideurs équivalentes des contacts, respectivement en translation et en rotation. Le pas de temps critique dtcritdu système est alors le minimum de tous les dt^tr_i et dt^ro_i calculés. De plus, une marge de sécurité par l’intermédiaire d’un coefficient de pondération C_t est adoptée. Par expérience, une valeur de 0.1 est souvent utilisée. Ce coefficient de sécurité est nécessaire en particulier pour une raison : afin d’optimiser le temps de calcul, on choisit de ne pas calculer dt_crità chaque cycle de calcul. Entre deux dt_critcalculés, il peut y avoir une évolution du système vers un état moins stable, mais cette évolution reste cantonnée dans le domaine de stabilité dans la mesure où dtcrit est suffisamment faible.

1.4.7 Remarques diverses

1.4.7.1 Optimisation des temps de calcul

Dans un calcul basé sur la méthode MD, certaines caractéristiques de la modélisation sont très pénalisantes en termes de temps de calcul si celles-ci ne sont pas maîtrisées. Certaines de ces caractéristiques, comme les raideurs de contact kn, le rayon R des particules et la masse volumique ρ du matériau, influencent directement la valeur du pas de temps critique. Certaines autres influencent le temps réel d’un cycle de calcul, comme le nombre total n de particules.

Nous prenons l’exemple du pas de temps critique calculé en translation. L’équation 1.20 peut être réécrite :

dt^tr =

_m

kn

. (1.22)

En considérant que la masse m d’une sphère est donnée par m = 4

3^{πR3, et que la raideur}

normale kn est proportionnelle au module d’Young E et au rayon R, l’équation 1.22 permet d’écrire :

dt^tr ∝ R · ρ1/2· E−1/2_{, (1.23)}

avec ρ la masse volumique du matériau. Considérons alors un calcul de MD dont la durée fait 1 unité de temps réel. Dans le système correspondant, le module d’Young du matériau est de

l’ordre du MPa (matériau "mou"), le rayon R de l’ordre du mm, et la masse volumique ρ est celle du verre, à savoir 2500 kg.m−3_{. Nous ne modifions pas la masse volumique des particules.}

À présent, si nous voulions modéliser le même volume de particules, mais en divisant le rayon par 2, et en considérant un matériau plus "dur" avec un module d’Young de l’ordre du GPa, le même calcul aurait une durée de 2× 8 ×^√1000 unités de temps réel, environ 530 fois plus de temps. Les coefficients 2 et √

1000 sont liés au fait que le pas de temps critique est respectivement proportionnel au rayon et à la racine du module d’Young. Le coefficient 8 est lié à la multiplication par ce même chiffre du nombre de particules pour conserver le même volume de matériau. Nous comprenons à travers cet exemple simple qu’il est important de choisir judicieusement ces valeurs. Dans l’utilisation de la méthode numérique de MD, un choix intermédiaire sera toujours à faire entre représentativité du modèle et efficacité en termes de temps de calcul.

1.4.7.2 Conditions particulières à nos simulations

Le contact entre un élément discret de type sphère et un élément discret de type boîte est considéré de la même manière qu’entre deux éléments de type sphère. La boîte est assortie de paramètres locaux de raideur ainsi que du rayon de la sphère en contact. Le plan d’interaction est confondu avec la surface de contact de la boîte. Ces informations permettent alors de calculer la force de contact à partir des équations précédemment détaillées.

Nos systèmes utilisent un nombre de particules discrètes compris entre 30000 et 140000, les pas de temps sont en O(10−5_{). Cela mène à des temps de calculs de l’ordre d’une semaine}

pour la modélisation de l’expérience complète (chapitre 3), de l’ordre de 6 à 10 heures pour chaque simulation utilisant le canon granulaire (chapitres 4 et 5).

1.5 Conclusion

Ce chapitre bibliographique a débuté par la mise en place du contexte général de l’étude. La problématique centrale concerne les bases de dimensionnement des structures de protection passive face aux avalanches. Celles-ci sont issues du résultat que la pression exercée par une avalanche est proportionnelle à la pression cinétique de l’écoulement, le coefficient de proportionalité étant appelé coefficient de traînée. Or, non seulement ce résultat est issu d’une interprétation simplificatrice du théorème de Bernoulli pour un écoulement avalancheux, mais de plus les valeurs des grandeurs intervenant dans son application (vitesse et densité) sont estimées de manière empirique.

Néanmoins, l’accès théorique à cette pression est délicate du fait du caractère variable du phénomène avalancheux. C’est la raison pour laquelle les recherches scientifiques sont actuellement concentrées sur l’évaluation du coefficient de traînée. Certaines de ces recherches sont menées in situ sur de la neige, se caractérisant par l’étude de véritables écoulements avalancheux ou encore d’écoulements controlés en canal d’écoulement. D’autres le sont en canal d’écoulement dans le cadre du laboratoire, le matériau remplaçant la neige est alors granulaire. Ces études expérimentales sont également limitées dans l’évaluation des grandeurs liées à l’écoulement : la vitesse est évaluée en paroi alors que l’effort exercé sur l’obstacle est lié à la valeur interne, la densité est quant à elle estimée arbitrairement avec plus ou moins de précision.

Un modèle numérique validé peut alors permettre l’accès à ces grandeurs internes. Pour cela, la méthode numérique que nous utilisons dans ce manuscrit de thèse est la dynamique moléculaire. Celle-ci décrit un milieu constitué de grains élémentaires pouvant interagir entre eux selon des lois de contact, ce qui en fait une méthode particulièrement adaptée à l’étude des milieux en écoulement et considérés comme granulaires.