Fonction d'intercorrélation

Particularités de notre utilisation de la PIV

Ce qui a été décrit dans le paragraphe précédent relève du cas général. Dans notre cas, il y a plusieurs points à préciser :

Matériau granulaire et traceurs

La méthode PIV est applicable à des fluides transparents, auquel cas n’importe quel plan à l’intérieur de l’écoulement peut être étudié. Les matériaux que nous avons utilisés sont opaques, ce qui nous permet seulement d’étudier les plans extérieurs. Dans le cas des billes A, les traceurs sont représentés par 1% de la masse des billes peintes en noir [Daerr, 2000]. Dans le cas des billes B, l’ajout de traceurs n’a pas été nécessaire. En effet, la teinte n’étant pas uniforme d’une bille à l’autre, le contraste qui en découle dans les images permet tout de même d’utiliser la méthode PIV. D’autres études utilisant la méthode PIV ont été réalisées sur des matériaux d’une taille granulaire similaire. Nous pouvons citer l’étude de [Pudasaini et al., 2005, 2007] sur du quartz (taille 4 mm), ou encore celle de [Chehata et al., 2003] sur des billes de verre (tailles 3 mm et 6 mm), dans lesquelles aucun traceur n’est ajouté au matériau initial.

Plan lumineux extérieur

Le plan extérieur étudié est éclairé par une source lumineuse continue, mais la caméra rapide dispose d’un obturateur. Ceci permet de reproduire l’effet des impulsions lumineuses de la méthode classique, en ne recevant la source lumineuse que pendant un court laps de temps.

Utilisation de moyennes

La méthode PIV appliquée à deux images successives donne des vecteurs de déplacements instantanés, ce qui peut aboutir à des résultats ne reflétant pas la physique de l’écoulement. Il est alors nécessaire de calculer des moyennes de plusieurs traitements PIV consécutifs. La dispersion sur les résultats peut alors être évaluée à l’aide de l’écart type ou encore du coefficient de corrélation. Pour nos conditions expérimentales, l’utilisation d’une dizaine d’images successives pour le calcul des vecteurs de déplacement donne des résultats cohérents.

Caméra rapide B

La caméra rapide utilisée pour les traitements PIV sera dénommée B dans la suite. Le réglage des paramètres tels que la vitesse d’acquisition et la résolution, dépendants l’un de l’autre, doivent faire l’objet de compromis. La résolution doit être suffisamment large pour englober toute l’épaisseur de l’écoulement et la vitesse d’aquisition doit être suffisamment rapide pour limiter le flou de bougé. Celui-ci a tendance à uniformiser la teinte des images et diminuer les contrastes, ce qui gène la bonne application de la méthode PIV car cela limite la reconnaissance des particules.

De plus, il faut également choisir de positionner la caméra B à une certaine distance du plan filmé. Augmenter cette distance a pour effet d’agrandir la fenêtre de prise d’image, mais aussi de diminuer la taille des particules sur l’image, ce qui peut affecter leur reconnaissance par la PIV. Ces différentes considérations nous ont finalement menés à utiliser une résolution de 256 × 240 pixels pour une vitesse d’acquisition de 1000 images par seconde, et la caméra B est placée à environ 0.6 m du plan filmé. Ces paramètres ont été adoptés de manière empirique, en testant différents réglages, de manière à pouvoir traiter les données.

Présentation et exploitation du logiciel WIMA

Le logiciel de post-traitement que nous avons utilisé pour appliquer la méthode PIV aux images est WIMA. Il a été développé en langage C++ dans le cadre du Laboratoire de Traitement du Signal et Instrumentation de Saint-Etienne en 1992 [Ducottet, 1994; Frey et al., 2003]. Les grandes lignes de la procédure d’utilisation ainsi que les choix les accompagnant sont les suivants :

– il nous faut tout d’abord choisir les instants t pour lesquels le traitement des images est voulu. Autour des instants choisis, une dizaine d’images est sélectionnée (figure 2.10), le résultat obtenu est alors la vitesse moyenne entre les instants t− 5 × (1/1000) s et t + 5× (1/1000) s, l’intervalle temporel étant alors de 1/100`eme _{de seconde.}

n images

règle graduée

1 cm

Figure 2.10: Images types utilisées pour le calcul des déplacements locaux. La règle graduée au bas de chaque image est utilisée pour mettre en relation nombre de pixels et distance réelle.

– Ensuite, les fenêtres d’analyse doivent être définies (figure 2.11). Elles remplissent toute l’image et peuvent se chevaucher. Nous rappelons que les images ont une résolution de 256 × 240 pixels. Plusieurs solutions peuvent être adoptées pour la taille des fenêtres d’analyse et de leurs zones de recouvrement, ces deux paramètres dépendant essentiel-lement de la vitesse des particules. La taille est généraessentiel-lement choisie à 64 × 64 pixels, tandis que la période avec laquelle les fenêtres d’analyse sont disposées sur l’image est généralement de 16× 16 pixels.

64 64 Fenêtre d'analyse 16 16 Périodes (a) (b)

Figure2.11: Segmentation de chaque image en fenêtres d’analyse. (a) Le premier paramètre est la taille des fenêtres, ici 64 × 64 pixels. (b) Le deuxième paramètre est la période de répartition des fenêtres sur l’image, ici 16 × 16 pixels.

– La fonction d’intercorrélation permet le calcul des vecteurs de déplacement en pixels entre les paires d’images successives segmentées. Les vitesses locales sont alors calculéees avec la relation suivante :

u_l= d_l· f · cm_pixels, (2.1)

avec, pour une fenêtre d’analyse quelconque, ul la vitesse locale, dl le déplacement local, calculé en pixels entre deux images successives par la méthode PIV. Enfin, f est la fréquence d’acquisition des images et cm_pixels représente la taille réelle d’un pixel en cm. La relation 2.1 est alors appliquée à toutes les paires d’images. Le logiciel WIMA calcule la moyenne locale (figure 2.12a) pour chaque emplacement de fenêtre d’analyse, ainsi que l’écart type (figure 2.12b) autour de ces moyennes.

(a) (b)

Figure 2.12: Résultats moyennés sur la série d’images choisies. (a) Moyennes calculées des vecteurs de déplacement pour chaque fenêtre d’analyse. (b) Écarts types calculés.

2.1.3.3 Mesure de l’effort normal d’impact

La structure de l’obstacle utilisé pour mesurer l’effort normal d’impact a été fabriquée en aluminium (figure 2.15). L’obstacle est l’assemblage de trois pièces principales : un mât, une chambre d’accueil de la cellule de force ainsi qu’un écran amovible.

Le mât est un coude (figure 2.13) de largeur b = 3 cm et d’épaisseur h = 3 mm d’épaisseur. La fixation de l’obstacle se fait par collage de la partie inférieure du mât en dessous de la partie terminale inférieure de la base du canal. Sur la partie supérieure de ce mât est collée une jauge de déformation positionnée de manière à mesurer une compression (figure 2.13). Au cours de la sollicitation, la jauge fournit une tension mesurée Vm en Volts qu’il faut convertir en déformation .

b h l

Axe principal de la force F

Encastrement

F = - ^E ε b h

²

6 l

x

x

Figure 2.13: Correspondance entre déformation mesurée  et force F_x. Schéma de situation de la jauge de déformation et formule reliant  et Fx. b = 3 cm la largeur, h = 3 mm l’épaisseur, E = 70 GPa le module d’Young du matériau, l variable selon la position verticale du point d’application de la force.

La calibration de la jauge a été réalisée statiquement par ajouts successifs de masses au repos sur l’écran positionné horizontalement. L’effort correspondant est du même ordre de grandeur que les efforts attendus durant les écoulements (figure 2.14a). Nous avons également effectué un calcul statique de résistance des matériaux, afin de mettre en relation la défor-mation mesurée avec l’effort exercé sur le mât (figure 2.13), ce qui nous a permis d’obtenir une vérification du premier résultat de calibration.

Obstacle

Cellule de force Jauge de déformation Masse M variable g 0 1 2 3 4 5 0 50 100 150 180

U (Volts)

F (N)

^{F (U) = 35.7 U} régression linéaire mesures 2 R = 0.9981

(a) (b)

x _x

Figure2.14: Calibration de la mesure d’effort. (a) Méthode de calibration. (b) Force Fx (N) fonction de la Tension U (V).

La calibration de la cellule de force a été faite statiquement en posant des masses cor-respondant aux pressions attendues durant les écoulements (figure 2.14a). Les résultats sont

détaillés dans la figure 2.14b.

Dans le document Approche numérique par éléments discrets 3D de la sollicitation d'un écoulement granulaire sur un obstacle (Page 72-77)