Relations analytiques

Afin de compléter la gamme d’outils à disposition pour la détermination des paramètres thermiques des matériaux, des relations analytiques ont été développées. Ces modèles sont notamment basés sur la composition minéralogique des terrains, leur densité et leur teneur en eau. Les résultats présentés ci-après concernent les sols.

De manière pratique, les formations géologiques de type sol sont généralement classées par grandes familles granulométriques avec d’un côté les sols fins (argiles et limons) et de l’autre côté les sols grossiers (sables et graviers). Cela permet notamment d’obtenir une gamme de valeurs pour leurs propriétés (Reiffsteck et al, 2014). Le Tableau I - 4 répertorie ainsi les valeurs

de conductivités thermiques et de capacité thermique volumique de ces familles en fonction de leur degré de saturation.

Tableau I - 4 : Exemples de caractéristiques thermiques pour différents types de sols saturés et non saturés (Fromentin et Pahud, 1997)

Type de sol

Conductivité Thermique λ (W/m.K) Capacité thermique volumique Cv (MJ/m3.K)

Sol sec Sol saturé Sol sec Sol saturé

Argile 0,2 – 0,3 1,1 – 1,6 0,3 – 0,6 2,1 – 3,2

Limon 0,2 – 0,3 1,2 – 2,5 0,6 – 1,0 2,1 – 2,4

Sable 0,3 – 0,4 1,7 – 3,2 1,0 – 1,3 2,2 – 2,4

Gravier 0,3 – 0,4 1,8 – 3,3 1,2 – 1,6 2,2 – 2,4

Ces gammes de valeurs basées sur l’ensemble des essais réalisés sur les différents types de sols permettent de borner les résultats obtenus à l’aide des différentes relations analytiques présentées ci-après.

Modèle de Kersten

Le premier modèle à avoir été développé est celui de Kersten (Kersten, 1949). Ce dernier a effectué des tests systématiques de conductivité thermique sur toutes les formations qu’il a rencontrées. Cela lui a permis, notamment, de proposer des formules empiriques pour les sols non gelés fins (Eq.60) et grossiers (Eq.61).

𝜆_{𝑎𝑟𝑔𝑖𝑙𝑒,𝑙𝑖𝑚𝑜𝑛}𝐾𝑒𝑟 = 0,1442 × (0,9 × log(𝑤) − 0,2) × 100,6243×𝜌_𝑑 (60) 𝜆_{𝑠𝑎𝑏𝑙𝑒}𝐾𝑒𝑟 = 0,1442 × (0,7 × log(𝑤) + 0,4) × 100,6243×𝜌_𝑑 (61) où 𝜆^𝐾𝑒𝑟_{𝑎𝑟𝑔𝑖𝑙𝑒,𝑙𝑖𝑚𝑜𝑛} et 𝜆_{𝑠𝑎𝑏𝑙𝑒}𝐾𝑒𝑟 sont respectivement les conductivités thermiques selon Kersten pour

les sols fins et les sols grossiers (W/m.K), 𝑤 la teneur en eau (-) et 𝜌_𝑑 la masse volumique sèche

du sol (kg/m3). Ces relations permettent de tracer les courbes suivantes (Figure I - 53) :

Figure I - 53 : Conductivité thermique en fonction de la teneur en eau selon le modèle de Kersten : cas a) limons et argiles, cas b) sables

Ces courbes permettent d’obtenir rapidement une estimation de la conductivité thermique des sols en fonction de leurs paramètres géotechniques de base. Il convient de noter que pour les faibles teneurs en eau, les pentes sont importantes. Cela signifie qu’une faible variation de

teneur en eau a une influence notable sur la conductivité thermique. Cela signifie également qu’une erreur dans l’estimation de celle-ci conduit à une erreur importante sur l’estimation de la conductivité thermique.

Modèle de De Vries

Le deuxième modèle développé est celui de De Vries (De Vries, 1963). Celui-ci est basé sur la théorie des potentiels. En effet, le sol est considéré comme un milieu continu d’eau ou d’air, selon la saturation, dans lequel les grains sont dispersés. Dans ce cas de figure, la conductivité thermique devient la moyenne pondérée des différents composants (Eq.62).

𝜆_𝑔𝑉𝑟𝑖𝑒𝑠 =^∑𝑛_𝑖=1^𝜆𝑖×𝐹_𝑖×𝑥_𝑖

∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖 (62)

où 𝜆_𝑔𝑉𝑟𝑖𝑒𝑠 est la conductivité thermique du terrain selon De Vries (W/m.K), 𝜆_𝑖 la conductivité

thermique de chaque composant (W/m.K), 𝐹_𝑖 le facteur de De Vries (-) et 𝑥_𝑖 la fraction

volumique de chaque composant (-).

Or 𝐹_𝑖 = ¹₃∑ [1 + (^𝜆𝑖

𝜆₀− 1) × 𝑔_𝑖]⁻¹

𝑛

𝑖=1 (63)

où 𝜆₀ est la conductivité thermique de la matière organique (W/m.K) et 𝑔_𝑖 un facteur de forme

permettant un calage empirique (-). Les valeurs et expressions des différents paramètres de De Vries sont données dans le tableau suivant (Tableau I - 5) :

Tableau I - 5 : Paramètres du modèle de De Vries

Paramètres Matériaux Unité Expression/valeur

𝛌_𝐪𝐳 Quartz W/m.K 9,103 - 0,028 x T* soit 8,5 à 20°C

𝛌_𝐦 Autres minéraux W/m.K 2,93

𝛌_𝐨 Matière organique W/m.K 0,251

𝛌_𝐰 Eau W/m.K 0,552 + 2,34.10−3 x T−1 - 1,1.10−5 x T2

𝛌_𝐚 Air W/m.K 0,0237 + 0,000064 x T

𝛌_{𝐚𝐩𝐩 Air humide W/m.K} λ_app = λ_a + hair x λ_v*

* T : température ; λv : conductivité thermique de la vapeur d’eau ; hair : hygrométrie de l’air

Ce modèle a tendance à sous-estimer les valeurs de conductivité thermiques pour les sols à faible teneur en eau. Pour contrebalancer cela, il est conseillé de majorer les valeurs de 25% pour les sols secs (Evett et al, 2012).

D’autres modèles basés sur la composition minéralogiques sont apparus par la suite et reprenant le principe des différentes phases (Brigaud et Vasseur, 1989 ; Vasseur et al, 1995). Le matériau est ainsi constitué d’une phase solide, le sol, et de deux phases fluides, l’air et l’eau. La conductivité thermique est alors (Eq.64) :

 = _𝑤𝜃 ×_𝑎𝑛−𝜃 ×_𝑠1−𝑛

où 𝜆_𝑤, 𝜆_𝑎 et 𝜆_𝑠 sont respectivement la conductivité thermique de l’eau, de l’air et du solide (W/m.K), 𝜃 la teneur en eau volumique (-) et 𝑛 la porosité.

Or 𝜆_𝑠 = ∏ 𝜆_𝑖^𝑥𝑖

𝑖 (65)

Cette méthode est également applicable à la détermination de la diffusivité thermique (Goto et Matsubayashi, 2009). Le tableau suivant répertorie les valeurs de conductivité thermique et de chaleur spécifique pour les principaux minéraux rencontrés dans les formations géologiques ainsi que quelques matériaux utilisés en géotechnique (Tableau I - 6).

Tableau I - 6 : Exemples de valeurs de caractéristiques thermiques des principaux minéraux et matériaux rencontrés en géotechnique à 20 °C (Brigaud et Vasseur, 1989 ; Vasseur et al, 1995 ; Fromentin et al, 1997 ;

Goto et Matsubayashi, 2009) Phase Conductivité thermique  (W/m.K) Diffusivité thermique α (10-6 m2/s) Masse volumique  (103 kg/m3) Capacité thermique massique 𝑐_𝑝 (J/kg.K) Quartz 7,70 3,92 2,65 740 Calcite 3,59 1,62 2,71 820 Albite 2,20 1,08 2,62 776 Anorthite 1,68 0,82 2,76 745 Orthoclase 2,32 1,28 2,57 707 Muscovite 2,32 1,03 2,831 796 Smectite, illite 1,50 - 1,80 0,80 - 1,10 2,10 - 2,70 780 - 800 Sol (moyen) 1,70 0,85 2,00 1000 Béton 1,70 0,77 2,50 880 Acier 50,20 12,90 7,80 500 Eau 0,60 0,13 1,00 4185 Glace 2,10 1,11 0,92 2060 Air (sec) 0,024 19,9 0,0012 1005 Modèle de Johansen

Le troisième modèle développé par Johansen (Johansen, 1975) propose de calculer une conductivité thermique normalisée à partir des conductivités thermiques à l’état sec, humide et à un degré de saturation donné (Eq.66).

𝐾_𝑒 = ^𝜆𝑔^{𝐽𝑜ℎ𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛}−𝜆_𝑑𝑟𝑦

𝜆𝑠𝑎𝑡−𝜆_𝑑𝑟𝑦 (66)

où 𝐾_𝑒 est la conductivité normalisée (-) et 𝜆_𝑠𝑎𝑡, 𝜆_𝑑𝑟𝑦 et 𝜆_𝑔^{𝐽𝑜ℎ𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛} sont respectivement les

conductivités thermiques à saturation, à l’état sec et à un degré de saturation donné (W/m.K). Johansen propose également des relations pour le calcul de la conductivité normalisée (Eq.67) et de la conductivité thermique à l’état sec (Eq.69) et humide (Eq.70).

𝐾_𝑒 = 1 + 𝛼_{𝑗𝑜ℎ𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛}× log(𝑆_𝑟) (67)

Où 𝛼_{𝑗𝑜ℎ𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛} est le facteur de Johansen égal à 0,7 pour les sols grossiers et 1 pour les sols fins

(-) et 𝑆_𝑟 la saturation (-). Il convient de noter que la saturation peut être déterminée à partir de

la relation suivante (Eq.68) :

𝑆_𝑟 = ^𝜌𝑑×𝑤

𝜌𝑤×(1−𝜌𝑑

𝜌𝑠) (68)

où 𝑤 est la teneur en eau massique (-) et 𝜌_𝑑, 𝜌_𝑤 et 𝜌_𝑠 sont respectivement les masses volumiques

sèches de l’eau et des grains (kg/m3).

𝜆_𝑑𝑟𝑦 = 𝜆_𝑎×^𝜌𝑠+𝜌_𝑑×[𝑘𝑠×(𝜆𝑠⁄ )−1]𝜆𝑎

𝜌_𝑠+𝜌_𝑑×(𝑘_𝑠−1) (69)

où 𝜆_𝑎 et 𝜆_𝑠 sont respectivement les conductivités thermiques de l’air et des grains (W/m.K) et

𝑘_𝑠 un paramètre de forme égal à 0,053 (-).

𝜆_𝑠𝑎𝑡 = 𝜆_𝑤𝑛 × 𝜆1−𝑛_𝑠 (70)

Où 𝜆_𝑤est la conductivité thermique de l’eau (W/m.K) et 𝑛 la porosité (-).

Pour des faibles teneurs en eau, ce modèle propose des conductivités thermiques normalisées négatives, ce qui est physiquement impossible. Son domaine de validité ne comprend donc pas les sols secs. De plus, il considère les grains comme un milieu homogène, sans prendre en compte leur composition minéralogique.

Modèle de Johansen modifié par Tarnawski

Le modèle de Johansen a été remis en cause par Tarnawski (Tarnawski et Leong, 2000 ; Tarnawski et al, 2009) pour son absence de considération de la masse de quartz du sol qui est le minéral le plus moteur dans les phénomènes de conduction et qui est très présent dans les sols, mais également pour la présence de valeurs négatives de conductivité thermique normalisée pour les faibles teneurs en eau. Il propose ainsi de calculer la conductivité thermique des grains en fonction de la teneur en quartz du sol (Eq.71) et de considérer que la conductivité thermique normalisée est nulle.

𝜆_𝑠 = 𝜆_𝑞𝑧^%𝑞𝑧× 𝜆_𝑚^{1−%𝑞𝑧} (71)

Où 𝜆_𝑠 et 𝜆_𝑠 sont respectivement les conductivités thermiques du quartz et des autres constituants

du sol (Tableau I - 6) (W/m.K) et %𝑞𝑧 la teneur en quartz du sol (-).

Cependant, pour le calcul de la conductivité thermique normalisée, une solution a été proposée par Côté et Konrad (Côté et Konrad, 2005) afin de ne pas la considérer nulle initialement (Eq.72).

𝐾_𝑒 = ^𝜅×𝑆𝑟

1+(𝜅−1)×𝑆𝑟 (72) où 𝜅 est le facteur de Côté et Konrad égal à 4,60 pour les sables grossiers avec graviers, 3,55 pour les sables grossiers et 1,90 pour les sols fins (-).