Relation entre la vorticit´e et la d´eformation

3.4.4a Relation de conjugaison entre la d´eformation et la vorticit´e La nature active de la vorticit´e peut se montrer `a travers les relations cin´ematiques entre la vorticit´e et la d´eformation. Nous nous int´eresserons ici `a deux r´esultats tr`es similaires (Ohkitani 1994, Weiss 1991) qui montrent ce ph´enom`ene.

Ohkitani (1994) a ´etabli une relation de conjugaison entre le taux de d´eformation et la vorticit´e. Cette relation s’´ecrit grˆace `a un op´erateur T lin´eaire et non-local

spatialement : T [O] = S et T [S] = −O , avec S = ¹ 2^{((∇u) + (∇u)} ∗) et O = ¹ 2((∇u) − (∇u)^∗) .

Ici S et O sont respectivement les parties sym´etriques et antisym´etriques du tenseur de gradient de vitesse, autrement dit la matrice de d´eformation et la matrice de rotation due `a la vorticit´e.

L’op´erateur T peut s’´ecrire sous la forme

T [Aij] = −∂ik(∆⁻¹Akj) + ∂jk(∆⁻¹Aik) , ou bien en termes d’int´egrales singuli`eres (ici en deux dimensions) :

T [Aij](x) = ¹ π ^{V P}

Z

rkAkj(y)ri− rjAik(y)rk

r4 dy avec r = x − y , (3.1)

o`u l’int´egrale de valeur principale signifie V PR

= lim_→0R

|x−y|≥. Cette expression

provient de la loi de Biot et Savart reliant la vitesse `a la vorticit´e (Constantin 1994). Une autre fa¸con de voir cette relation entre la d´eformation et la vorticit´e a ´et´e ´etablie par Weiss (1991). Celui-ci montre qu’il existe une relation entre les compo-santes spectrales de la d´eformation et de la vorticit´e¹ :

bσs(k) + ibσn(k) = i ^k

k∗bω(k) ,

avec k = kx + iky le nombre d’onde dans l’espace complexe et k∗ son complexe conjugu´e. bσs, bσn et ω sont les composantes de Fourier, respectivement, du cisaille-b ment, de l’´etirement et de la vorticit´e. Cette ´equation indique une relation de phase entre les composantes de Fourier de la vorticit´e et de la d´eformation.

3.4.4b Exemple dans le cas d’un tourbillon axisym´etrique

Comment se traduit cette conjugaison dans les distributions spatiales de la d´eformation et de la vorticit´e ?

Consid´erons tout d’abord un ´ecoulement axisym´etrique avec une fonction de cou-rant ψ(r). On peut facilement calculer la vorticit´e ω et le taux de d´eformation σ en fonction de ψ : ω = ¹ r d dr  r^dψ dr  = ¹ r dψ dr ⁺ d2ψ dr2 , σ =    ¹_r^dψ_dr ^{− d} 2ψ dr2     . On peut aussi calculer le taux de rotation des axes de d´eformation Dφ/Dt :

Dφ Dt = −¹

r dψ

dr ^.

1On peut noter que ces r´esultats se d´eduisent simplement de la condition d’incompressibilit´e de la vitesse et des relations reliant la fonction de courant `a la vorticit´e et `a la d´eformation en deux dimensions.

Maintenant, exprimons dψ/dr en fonction de ω : dψ dr ⁼ 1 r Z r 0 ω(r0)r0dr0 . L’int´egraleRr

0 ω(r0)r0dr0 repr´esente la vorticit´e contenue dans un disque de rayon r `a un facteur 2π pr`es.

Le taux de d´eformation s’exprime alors simplement en fonction de la vorticit´e : σ =    _r²2 Z r 0 ω(r⁰)r⁰dr⁰− ω     .

Supposons tout d’abord que la vorticit´e soit localis´ee, c’est-`a-dire qu’elle d´ecroisse tr`es vite vers 0. Alors l’int´egrale Rr

0 ω(r0)r0dr0 va tendre tr`es rapidement vers une constante (´egale `a la vorticit´e totale du tourbillon `a un facteur 2π pr`es). Le taux de d´eformation va se comporter comme

σ(r) ≈ _r²₂     Z R 0 ω(r⁰)r⁰dr⁰    

pour r > R o`u R repr´esente la distance `a partir de laquelle la vorticit´e n’apporte qu’une contribution n´egligeable `a l’int´egrale.

Donc, `a l’ext´erieur d’un tourbillon axisym´etrique et localis´e, le taux de d´eformation d´ecroˆıt en r−2 et ce taux de d´eformation est d’autant plus fort que la vorticit´e totale du tourbillon est importante.

De plus, le taux de rotation des axes de d´eformation Dφ/Dt va d´ecroˆıtre de la mˆeme mani`ere puisque

Dφ

Dt ≈ −_r¹₂ Z R

0

ω(r⁰)r⁰dr⁰ pour r > R .

On voit alors que la vorticit´e localis´ee induit une rotation des axes de d´eformation `a l’ext´erieur du tourbillon dont l’amplitude est proportionnelle `a la vorticit´e totale du tourbillon.

On peut examiner maintenant l’int´erieur d’un tourbillon axisym´etrique. On peut supposer que la vorticit´e est uniforme `a l’int´erieur d’un tourbillon comme cela est souvent observ´e dans les observations ou les simulations num´eriques. Pour une vor-ticit´e constante ω(r) = ω₀, on obtient

σ =    ^2ω_r2⁰ Z r 0 r⁰dr⁰ − ω0     = 0 .

Dons il n’y a pas de d´eformation `a l’int´erieur de tourbillon. La rotation des axes de d´eformation est alors <sup>Dφ</sup><sub>Dt</sub> = −ω0/2, c’est-`a-dire dans le sens oppos´e `a la rotation due `a la vorticit´e, ce qui implique qu’il n’y a pas de rotation dans le r´ef´erentiel des axes de d´eformation.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Figure 3.13: Taux de d´eformation pour l’ellipse de Kirchoff avec un rapport d’aspect 2.36 et une vorticit´e int´erieure ω = 20.

3.4.4c Distributions spatiales de la vorticit´e et de la d´eformation L’image que l’on peut retirer `a partir de ces exemples simples est que la vorticit´e induit un fort effet non-local dans l’espace physique `a travers une lente d´ecroissance du taux de d´eformation. La d´ecroissance est en r−2pour les tourbillons axisym´etriques, mais ce r´esultat semble aussi vrai pour l’ellipse de Kirchoff (non pr´esent´e) et devrait ˆetre g´en´eralisable grˆace `a l’int´egrale singuli`ere de l’´equation 3.1. De plus, une vor-ticit´e uniforme `a l’int´erieur d’un tourbillon axisym´etrique est associ´ee `a un taux de d´eformation nul. Pour un tourbillon plus g´en´eral, on devrait obtenir un taux de d´eformation constant `a l’int´erieur de celui-ci (ce r´esultat est vrai pour l’ellipse de Kirchoff `a cause de l’ellipticit´e des lignes de courant (non pr´esent´e)). On voit donc que, pour des structures suffisamment localis´ees spatialement, la conjugaison a pour effet de d´ecoupler spatialement le taux de d´eformation et la vorticit´e, tout en leur per-mettant d’avoir des amplitudes analogues. Par contre, la vorticit´e induit aussi une rotation des axes de d´eformation d’amplitude comparable `a la vorticit´e du tourbillon aussi bien `a l’int´erieur du tourbillon qu’`a l’ext´erieur.

Le d´ecouplage et la relation non-locale entre la vorticit´e et la d´eformation peuvent s’observer dans le cas de l’ellipse de Kirchoff (Lamb 1932). La figure 3.13 montre que le taux de d´eformation maximal se trouve le long du grand axe juste `a l’ext´erieur de l’ellipse. Cet exemple illustre pourquoi un tourbillon subit g´en´eralement une cascade r´eduite par rapport au scalaire passif puisque le taux de d´eformation est sup´erieur `a l’ext´erieur du tourbillon qu’`a l’int´erieur de celui-ci. De plus, il montre l’effet de non-localit´e dans l’espace physique, effet qui d´epend de la structure g´eom´etrique des lignes de courant.

3.4.4d Implication pour la cascade d’enstrophie

La relation de conjugaison s’applique entre la d´eformation et la vorticit´e. Or ce qui importe dans la cascade directe d’enstrophie est la production de gradients de vorticit´e associ´ee `a la production de petites ´echelles. L’´equation de production de gradient de vorticit´e est

D|∇ω|2

Dt = −2 ∇ω. (S ∇ω) .

La matrice de d´eformation S a un effet direct sur la production de gradient. Peut-il y avoir un effet r´etroactif des gradients de vorticit´e sur la d´eformation ?

Nous venons de voir qu’il y a une relation entre vorticit´e et d´eformation. Ce qui nous int´eresse est une relation entre le gradient de vorticit´e et la d´eformation. Si une telle relation existe, cela implique que le gradient de vorticit´e est aussi reli´e `a la vorticit´e (puisque la d´eformation est reli´ee `a la vorticit´e). On peut donc s’attendre `a la n´ecessit´e d’une relation entre la vorticit´e et son gradient pour que le gradient puisse exercer un effet r´etroactif sur la d´eformation.

Prenons l’exemple o`u la vorticit´e se d´ecompose sur une distribution tr`es r´eduite de nombres d’onde. Le gradient de vorticit´e peut alors s’´ecrire ∇ω ≈ k0ω donc on peut esp´erer que la relation de conjugaison soit efficace pour r´eduire la cascade (c’est-`a-dire la production de gradients) dans ce cas. Un autre exemple correspond aux tourbillons axisym´etriques pour lesquels il y a une relation fonctionnelle entre la vorticit´e et la fonction de courant (c’est-`a-dire tel que le jacobien J(ψ, ω) s’annule). Les gradients de vorticit´e peuvent aussi s’exprimer `a partir de la fonction de courant et on observe qu’ils sont align´es `a 45◦ des axes de d´eformation, ce qui signifie qu’il n’y a pas croissance des gradients.

On peut essayer de comprendre quand la relation de conjugaison va ˆetre effective `a partir de la structure spatiale de la vorticit´e. Le champ de d´eformation qui r`egne dans un champ turbulent est produit en majeure partie par les tourbillons ou autres structures d’´echelles moyennes et grandes. Les filaments de vorticit´e qui sont pr´esents dans le champ turbulent n’ont aucune influence sur ces tourbillons car ils ne poss`edent pas une enstrophie suffisante pour r´eagir contre ces tourbillons. Leur vorticit´e est donc d´ecoupl´ee du champ de d´eformation, ainsi que leur gradient de vorticit´e. Ces filaments vont donc se comporter de fa¸con passive par rapport `a cette d´eformation qu’ils ne contrˆolent pas. Par contre, les tourbillons ont une influence directe sur le champ de d´eformation du fait qu’ils contiennent une forte enstrophie et qu’ils sont aux mˆemes ´echelles que le champ de d´eformation. Pour ces structures coh´erentes, on peut penser que la relation de conjugaison aura un effet de r´eduction de la cascade. Il faut cependant admettre que cet argument fond´e sur la g´eom´etrie des structures est tr`es qualitatif.