4.2.1 Formation de tubes de vorticit´e intenses
Une des propri´et´es de la turbulence tridimensionnelle est la production nette de vorticit´e (Tsinober 1998a) qui s’accompagne de l’apparition dans l’espace physique de structures avec une vorticit´e tr`es intense en forme de tubes `a faible courbure (Siggia 1981, Kerr 1985, Douady et al. 1991, Jim´enez et Wray 1998). La figure 4.1a montre de telles structures dans une simulation turbulente. Un examen d´etaill´e de l’une de ces structures (figure 4.1b) montre que les lignes de vorticit´e ont g´en´eralement une faible courbure mais peuvent aussi avoir des changements abrupts de direction. Ces structures nous font penser aux filaments quasi-rectilignes concentrant de forts gradients de traceur en deux dimensions.
La plupart du champ turbulent est occup´ee par de la vorticit´e relativement faible avec des tubes intenses occupant seulement une petite fraction de l’espace (Jim´enez et al. 1993). Tandis qu’il y a peu de structures apparentes dans la composante de faible vorticit´e de l’´ecoulement, la vorticit´e intense a tendance `a s’organiser en tubes. Les tubes semblent se disposer sur les bords des tourbillons de grande ´echelle en vitesse, c’est-`a-dire les ´echelles contenant de l’´energie qui sont elles-mˆemes relative-ment sans vorticit´e. Les tubes semblent ˆetre plus une cons´equence de la turbulence qu’un ´el´ement dynamique important car ils sont assez peu actifs aussi bien pour l’´energie que pour l’enstrophie qu’ils contiennent (Jim´enez et al. 1993). Par ailleurs, ces tubes peuvent survivre pendant un temps relativement long mˆeme en pr´esence de d´eformation, pourvu que leur nombre de Reynolds associ´e soit suffisamment grand (Moffat et al. 1994).
Figure 4.1a : Figure 4.1b :
Figure 4.1 : (a) visualisation tridimensionnelle des structures `a forte enstrophie. (b) vue rapproch´ee d’une des structures avec lignes de vorticit´e. Tir´e de Nomura et
Post (1998).
4.2.2 Alignement avec les axes de d´eformation
4.2.2a Vorticit´e
La dynamique de la vorticit´e est gouvern´ee par l’´equation d’´evolution suivante : D ω
Dt = [S] ω . `
A partir de cette ´equation, Batchelor (1952) a conjectur´e que la vorticit´e devrait croˆıtre exponentiellement et que le taux de croissance devrait ˆetre ´egal au taux maximal de d´eformation (α). De plus, la vorticit´e devrait s’aligner avec eα puisque ce vecteur propre correspond au taux maximal de d´eformation. L’hypoth`ese de Bat-chelor est que la rotation effective (rotation des axes de d´eformation et vorticit´e) est n´egligeable devant la d´eformation.
Kerr (1985) ainsi que Ashurst et al. (1987) ont ´et´e les premiers `a montrer que la vorticit´e s’aligne plutˆot avec l’axe de d´eformation interm´ediaire eβ. Cet alignement a ´et´e confirm´e dans des ´etudes ult´erieures, de simulations en turbulence homog`ene non-stratifi´ee (Pumir et Siggia 1990, She et al. 1990, Ruetch et Maxey 1991, Vincent et Meneguzzi 1991, Nomura et Post 1998), stratifi´ee (Chen et al. 1990, Nomura et Elghobashi 1992) ainsi que dans des exp´eriences de laboratoire (Tsinober et al. 1992, Tao et al. 2000). Cet alignement est surtout observ´e dans les r´egions de forte d´eformation, c’est-`a-dire quand S2 W2 (Nomura et Post 1998) et ne semble pas parfait puisque le cosinus moyen est autour de 0.7 (cf. figure 4.2).
Figure 4.2: Cosinus moyen de l’alignement de la vorticit´e avec les vecteurs propres du tenseur de d´eformation et de la hessienne de pression, en fonction de II = ω2/2−S2. En traits , hω.eαi ; en traits , hω.eβi ; en traits , hω.eγi ; en traits · · · , hω.f1i ; en traits , hω.f2i ; en traits , hω.f3i . Tir´e de Nomura et Post (1998).
Par ailleurs, on observe dans ces simulations que la moyenne spatiale de β est positive. Cela favorise la production naturelle de vorticit´e par la turbulence puisque deux valeurs propres du tenseur de d´eformation (α et β) positives permettent une meilleure croissance de la vorticit´e.
Des ´etudes r´ecentes ont examin´e l’alignement avec les vecteurs propres de la hes-sienne de pression. En effet, on peut s’interroger sur l’existence de cet alignement puisque la hessienne de pression intervient dans l’´equation de la d´eriv´ee seconde lagrangienne de la vorticit´e :
D2ω
Dt2 = −[P00] ω .
Ohkitani et Kishiba (1995) ont observ´e qu’au point d’enstrophie maximale, la vorticit´e a tendance `a s’aligner simultan´ement avec eβ et f3. Par ailleurs, Nomura et Post (1998) ont observ´e que dans les r´egions o`u la vorticit´e domine la d´eformation (|W |2 |S|2), la vorticit´e s’aligne relativement bien avec f3 (cf. figure 4.2). Ce r´esultat est aussi observ´e en turbulence stratifi´ee (Nomura et Diamessis 2000).
Il semble donc que, dans les r´egions domin´ees par la d´eformation, la vorticit´e s’aligne avec eβ alors que dans les r´egions de rotation (due `a la vorticit´e), la vorticit´e s’aligne avec f3. Ces deux r´egimes d’alignement montrent une similitude avec la dynamique bidimensionnelle o`u un r´egime de d´eformation et un r´egime de rotation existent puisque nous avons montr´e qu’il y a un alignement avec l’un des vecteurs
propres du tenseur de gradient de vitesse dans la base de d´eformation dans les r´egions de d´eformation (Lapeyre et al. 1999) et un alignement avec une direction plus ou moins proche du vecteur propre de la hessienne de pression associ´ee `a la plus petite valeur propre (Klein et al. 2000). Nous allons voir dans ce qui suit que les ´equations de la dynamique conduisent qualitativement `a ces deux types de r´egimes.
4.2.2b El´´ ement mat´eriel
Comme pour la vorticit´e, on peut s’attendre `a un alignement d’un ´el´ement mat´eriel δl avec l’un des axes de d´eformation, en particulier eα (Batchelor 1952). Plusieurs ´etudes ont examin´e cet alignement. Dans une phase transitoire, on observe que le vecteur mat´eriel s’oriente d’abord vers eβ (Huang 1996, Ohkitani 1998) puis pr´ef`ere s’orienter avec eα (Kerr 1985, Girimaji et Pope 1990, Huang 1996, Ohkitani 1998). De plus, Girimaji et Pope (1990) observent que l’angle θ que font deux vecteurs mat´eriels initialement perpendiculaires diminue de fa¸con exponentielle :
d
dthlog sin |θ|i ≈ −0.105 .
Cela signifie que les vecteurs mat´eriels convergent vers les mˆemes directions. On peut donc suspecter que ces vecteurs tendent vers des orientations d´etermin´ees par la topologie de l’´ecoulement comme en deux dimensions.