Recherche Exhaustive `a pas constant : Approche na¨ıve

trivial du fait que Pynne peut pas ˆetre exprim´e de mani`ere explicite en fonction de ρ. Ainsi,

dans cette sous section, nous proposons une approche bas´ee sur une recherche exhaustive `a pas constant pour trouver le seuil adapt´e comme dans [32]. Pour ce faire, nous allons dans un premier temps d´eterminer un intervalle dans lequel se trouve le seuil ρxn _{et cela}

ind´ependamment du symbole `a ´ecrˆeter. Soit ρmin un seuil normalis´e d´efini comme suit :

ρmin = min

ρ {|PAPR0− γ4(ρ)|} (3.8)

86 Ecrˆetage Adaptatif´ 4 6 8 10 12 14 4 5 6 7 8.3 10 12

Seuil de clipping normalisé (ρ) en dB

PAPR à 10 −4 ( γ4 ( ρ )) PAPR₀(1) ρ_min1 PAPR₀(2) ρ_min2

Figure 3.6 – D´etermination graphique de ρmin `a l’aide de la courbe du PAPR `a 10−4 en

fonction de ρ : M = 64 et L = 4.

Dans cette figure deux valeurs de PAPR0 d´esign´ees par PAPR(1)0 et PAPR (2)

0 ont

´et´e prises comme exemple, les ρmin associ´es ont ´et´e d´esign´es respectivement par ρ(1)min

et ρ(2)_min. On remarquera que pour des valeurs assez grandes de PAPR0, on aura PAPR0 =

γ4(ρmin) = ρmin. Ce qui est tout `a fait normal, puisque dans ce cas le PAPR instantan´e de

chaque symbole OFDM sera inf´erieur ou ´egale `a PAPR0 avec une probabilit´e quasiment

´egale `a 1 et donc les symboles ne seront pas ´ecrˆet´es.

D’apr`es l’´equation (3.7), si ρ(xn) _{est solution alors on a :}

PAPR0 = 10 ρ(xn) 10  Pxn Pyn  PAPR0|dB = ρ (xn)_{+ 10Log} 10  Pxn Pyn  | {z } >0 (3.9)

Il s’ensuit alors que ρ(xn) _{∈ [ρ}

min, PAPR0] et cela quelque soit le symbole OFDM xn `a

´ecrˆeter. Du fait que le calcul de ρ(xn) _{par recherche exhaustive `a pas constant donne une}

approximation de la solution, il s’ensuit alors que le PAPR instantan´e du symbole OFDM concern´e apr`es ´ecrˆetage sera aussi une approximation de PAPR0. D´esignons par ǫ > 0, le

r´esidu tol´er´e (´ecart entre PAPR0 et le PAPR instantan´e du symbole apr`es ´ecrˆetage avec

le seuil adapt´e).

L’approche par recherche exhaustive consiste `a parcourir avec un pas de d´eplacement constant dans l’intervalle [ρmin, PAPR0] `a la recherche d’une bonne approximation de ρ(xn)

pour chaque symbole `a ´ecrˆeter, i.e., si ρk d´esigne le seuil test´e `a la sortie de la k-i`eme

´etape, alors la recherche s’arrˆete si PAPR0− PAPR[yn]≤ ǫ et continue sinon. Notons que

ρmin, voir Figure 3.6, est une borne probabiliste, i.e., il peut y avoir des symboles OFDM

qui n´ecessitent un seuil ρ(xn) _{< ρ}

min. Par d´efinition du ρmin, pour une valeur de PAPR0

donn´ee, cette probabilit´e est de l’ordre de 10−4_{. Cependant, pour un choix d’initialisation}

plus judicieux du premier seuil `a tester lors de la recherche exhaustive `a pas constant, on peut choisir PAPR0 qui est une borne sup´erieure d´eterministe du ρ(xn), voir ´equation (3.9).

La recherche exhaustive `a pas constant ǫ consistera alors `a tester successivement les seuils ρ1 = PAPR0, ρ2 = ρ1− ǫ, . . . , ρk = ρk−1− ǫ, . . . , jusqu’`a obtenir le seuil ρk permettant

d’avoir un PAPR instantan´e apr`es ´ecrˆetage v´erifiant la contrainte d´efini comme suit :

PAPR0− PAPR[yn] ≤ ǫ (3.10)

Principe de l’´ecrˆetage adaptatif ou clipping adaptatif 87

Algorithm 1 ´Ecrˆetage adaptatif : Calcul du seuil et du symbole ´ecrˆet´e. Require: xn, ǫ, PAPR0 Ensure: yn ρ1 ← PAPR0 ou ρmin Calculer A en utilisant ρ1 = √A Pxn yn← f(xn, A)

while |PAPR[yn]− PAPR0| > ǫ do

ρk ← ρk−1− ǫ

Calculer A en utilisant ρk = √A Pxn

yn← f(xn, A)

end while

De l’Algorithme 1, on constate qu’`a chaque it´eration une op´eration d’´ecrˆetage classique et le calcul d’un PAPR est n´ecessaire pour d´ecider si la recherche continue ou non. Ces deux op´erations ´etant `a faible coˆut, nous allons donc nous int´eresser plus au nombre moyen d’it´erations n´ecessaires pour trouver le seuil adapt´e,i.e, la vitesse de convergence de l’Algorithme (1). N´eanmoins, nous allons d’abord, illustrer (ou confirmer) par simulation le ph´enom`ene d’´ecrˆetage non n´ecessaire ou s´ev`ere par rapport au PAPR de sortie de la m´ethode d’´ecrˆetage `a seuil pr´ed´efini (fixe). Pour ce faire, nous allons comparer les PAPR instantan´es initial et apr`es ´ecrˆetage avec le clipping `a seuil pr´ed´efini ρ (CC) et le clipping adaptatif (AC) avec PAPR0 = γ4(ρ) − ǫ de quelques symboles OFDM.

4 5 5.82 7 8 9 10 11 12 4 5.82 8 10 12

PAPR instantané Initial (PAPR_[x

n]

) en dB

PAPR instantané après écrêtage en dB

Sans Ecrêtage CC avec ρ = 5dB AC avec PAPR₀ = 5.72dB

Figure 3.7 – PAPR instantan´e avant et apr`es ´ecrˆetage avec les m´ethodes CC et AC. Les r´esultats de simulation de la Figure (3.7) confirment qu’en fixant le seuil d’´ecrˆetage ρ `a 5dB, certains symboles OFDM sont s´ev`erement ou inutilement ´ecrˆet´es par rapport au PAPR de sortie γ4(ρ) = 5.82. En effet, on peut observer que les symboles avec un

PAPR instantan´e initial inclus dans [ρ, γ4(ρ)] = [5, 5.82] (en dB) seront ´ecrˆet´es dans

le cas du clipping classique (´ecrˆetage non n´ecessaire) alors que dans le cas du clipping adaptatif (AC) ces symboles ne seront pas ´ecrˆet´es. De mˆemes les symboles avec un PAPR instantan´e initial plus grand que 5.82dB sont s´ev`erement ´ecrˆet´es dans le cas du clipping classique contrairement avec la m´ethode AC o`u leur PAPR instantan´e apr`es ´ecrˆetage est quasiment ´egal 5.82dB.

Nous allons maintenant ´evaluer les performances de l’Algorithme 1 en termes de ra- pidit´e de convergence i.e le nombre d’it´erations n´ecessaires pour trouver le seuil adapt´e pour chaque symbole `a ´ecrˆeter. Pour chaque symbole OFDM, la recherche du seuil adapt´e n´ecessite une op´eration d’´ecrˆetage pour chaque seuil test´e , ainsi l’´ecrˆetage ´etant une op´eration `a tr`es faible complexit´e num´erique, nous allons donc nous int´eresser qu’au

88 Ecrˆetage Adaptatif´

nombre moyen d’it´erations n´ecessaires pour trouver le seuil adapt´e. Pour un symbole OFDM xn donn´e et PAPR0 fix´e, d´esignons par Nxn le nombre d’it´erations effectu´es par

l’Algorithme (1) pour la recherche du seuil adapt´e au symbole xn. Posons NAC = E[Nxn],

i.e, le nombre moyen d’it´erations. En pratique, pour un nombre de r´ealisations appel´e Trial suffisant, NAC peut ˆetre estim´e comme suit :

NAC = 1 Trial T rial X n=1 Nxn (3.11)

Le Tableau (3.1) donne NAC pour diff´erents valeurs de PAPR0.

PAPR0(en dB) 4 5 6 7 8 9

NAC 5.2 2.6 1.4 1.1 1 1

Table 3.1 – Complexit´e en termes de vitesse (nombre moyen d’it´erations) de l’Algo- rithme (1) en fonction du PAPR d´esir´e PAPR0.

Bien que l’op´eration d’´ecrˆetage effectu´ee `a chaque it´eration soit `a faible complexit´e, force est de constater que la recherche exhaustive `a pas constant est une m´ethode tr`es coˆuteuse en termes de complexit´e num´erique compar´ee au clipping classique. En effet, on remarque par exemple, pour PAPR0 = 4dB, il faut en moyen 5 it´erations pour approcher

le seuil adapt´e pour chaque symbole, voir Tableau (3.1). Puis qu’`a chaque it´eration, une op´eration d’´ecrˆetage simple est n´ecessaire pour d´ecider de l’arrˆet ou non de la recherche, il vient alors que la m´ethode AC est tr`es coˆuteuse compar´ee aux techniques d’´ecrˆetages connues dans la litt´erature tel que le Smooth Clipping, le Deep Clipping, voir chapitre 3. Du Tableau (3.1), on remarque aussi que pour des valeurs grand de PAPR0, la m´ethode

AC aura une complexit´e similaire au clipping classique. Cela est tout `a fait pr´evisible puisque, lorsque ρ est grand, la m´ethode CC sera quasiment identique `a de l’´Ecrˆetage Ideal car l’´ecart entre γ0(ρ) = ρ et γ4(ρ) devient n´egligeable, voir sous section (3.2.2).

Dans l’Algorithme (1), le pas ǫ ´etant fix´e, on peut s’attendre par analogie avec l’´ecrˆetage `a seuil pr´ed´efini (fixe pour tous les symboles), `a ce que le nombre d’it´erations n´ecessaires d´epende fortement du contenu de chaque symbole.

4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 2 4 6 8 10 12 14 16

PAPR instantané Initial (PAPR

[x

n]

) en dB

Nombre d’iterations effectué (N

xn

)

Figure 3.8 – Nombre d’it´erations n´ecessaires (Recherche de seuil adapt´e) pour quelques symboles OFDMM (M = 64, L = 4) pour PAPR0 = 4dB en fonction de leur PAPR

instantan´e initial.

Les Figures 3.8 et 3.9 donnent respectivement, le nombre d’it´erations Nxnpour quelques

Principe de l’´ecrˆetage adaptatif ou clipping adaptatif 89 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PAPR instantané Initial (PAPR_[x

n]

) en dB

Nombre d’iterations effectué (N

xn

)

Figure 3.9 – Nombre d’it´erations n´ecessaire (Recherche de seuil adapt´e) pour quelques symboles OFDM (M = 64, L = 4) pour PAPR0 = 5dB.

Comme on s’y attendait, les r´esultats de simulation des Figures (3.8) et (3.9) montrent que Nxn d´epend du contenu de chaque symbole xn. En outre, on constate Nxn ne croˆıt pas

n´ecessairement avec le PAPR instantan´e initial des symboles. Par exemple on remarque sur les Figure (3.8) et (3.9) que des symboles avec un PAPR instantan´e initial compris dans [7, 8]dB ont n´ecessit´e plus d’it´erations que des symboles avec un PAPR initial instantan´e compris dans [10, 11]dB. Sur la Figure (3.8) le symbole ayant n´ecessit´e le plus d’it´erations a un PAPR instantan´e initial d’environ 10dB et dans la Figure (3.9) son PAPR instantan´e initial est de 11dB.

Dans ce qui suit, nous allons pr´esenter l’approche exhaustive mais `a pas non constant afin d’accroˆıtre la vitesse de convergence lors de la recherche du seuil adapt´e `a chaque symbole OFDM. Dans cette approche, contrairement `a la pr´ec´edente, le pas de recherche d´ependra de chaque symbole et donc du contenu de chaque symbole. De ce fait, on s’attend `a ce que cette approche soit plus rapide que la pr´ec´edente.