La technologie des cam´eras provoque un d´eplacement entre chaque image dˆu au d´esalignement des reprises secondaires. Ce d´esalignement, coupl´e `a une num´erisation manuelle, induit la pr´esence d’un mouvement de corps rigide qui peut ˆetre de l’ordre de 100 pixels pour ce type d’exp´erience. Ainsi, la position des points d’une image `a l’autre est fortement entach´ee de ce d´eplacement qui vient noyer celui r´eellement li´e `a la d´eformation de l’objet. Il devient donc impossible d’´etalonner, d’associer et par cons´equent de reconstruire l’objet de mani`ere correcte dans de telles conditions. Pour pallier ce probl`eme, il est indispensable de recaler les images. Pour effectuer cette ´etape de recalage, nous nous fixons une image de r´ef´erence (la premi`ere de la s´erie) puis nous cherchons, pour chaque temps, la transformationT qui permet
de stabiliser les ´el´ements fixes de la sc`ene (c’est ce qui explique la pr´esence d’un fond jaune fixe et quadrill´e sur la Figure 5.12). Il vient :
x0 y0 =T x y (5.1) avec (x,y) les coordonn´ees de l’image de r´ef´erence et (x0,y0) celles de l’image d´eform´ee. Plu-sieurs mod`eles projet´es sur des bases de correction de degr´es diff´erents ont ´et´e test´es. La premi`ere correction est une transformation rigide donn´ee par :
x0 y0 = cos(θ) sin(θ) −sin(θ) cos(θ) x y + x0 y0 (5.2) o`u (θ,x0,y0) repr´esentent les param`etres de la transformation (rotation + translation). La se-conde transformation est affine :
x0 y0 = a b c d x y + x0 y0 (5.3) Enfin, la derni`ere transformation ´etudi´ee est de forme quadratique :
x0 y0 = a b c d e g h i j k x2 y2 xy x y + x0 y0 (5.4)
Exp´erience d’expansion de cylindre 119
La d´emarche de correction consiste `a estimer les param`etres des diff´erentes transforma-tions. Pour cela, des points identiques correspondant `a des ´el´ements fixes sont choisis dans les diff´erentes images. Ils constituent l’ensemble des coordonn´ees (x0
i,y0
i) pour l’ensemble des i images `a corriger et l’ensemble (x,y) pour l’image de r´ef´erence. Ces points sont ceux de la sc`ene pour la premi`ere exp´erience ou des points de la mire d’´etalonnage pour les autres exp´eriences. Les coefficients des transformations sont ensuite trouv´es par une minimisation au sens des moindres carr´es [100] puis utilis´es pour recaler les images d´eform´ees. Nous noterons que, plus la transformation voit son degr´e augmenter, plus il faut prendre de points dans l’esti-mation des param`etres. Pratiquement, la premi`ere transforl’esti-mation ne s’av`ere pas suffisante pour corriger correctement l’image car des mouvements de cisaillement demeurent toujours pr´esents, ceux-ci ´etant corrig´es avec le mod`ele affine qui s’est av´er´e le mieux adapt´e. Le mod`ele para-bolique n’apporte pas d’am´elioration par rapport `a son homologue affine : l’objet en expansion vient masquer des points initialement pr´esents ce qui r´eduit fortement le nombre de points uti-lisables au fur et `a mesure que nous avanc¸ons dans la s´equence.
2.2 ´Etalonnage
2.2.1 ´Etalonnage sur l’objet marqu´e d’une grille
Afin d’´etablir les relations liant les images `a l’objet, la premi`ere op´eration n´ecessaire est d’´etalonner le syst`eme. Dans le cas du premier essai, aucun objet ´etalon n’est pr´esent. La rai-son est li´ee `a une m´econnaissance de la tenue au choc du marquage : nous ne savions pas si la corr´elation ´etait possible et nous avons pr´ef´er´e conserver un type de marquage connu et fiable. De ce fait, l’´etalon est l’objet lui-mˆeme lorsqu’il n’a pas encore subi de d´eformation. Les ma-trices de passage sont estim´ees, sur l’objet statique, `a partir des points d’intersection de la grille (voir Figure 5.13(a)) qui poss`edent `a la fois des coordonn´ees dans le rep`ere objet et dans les deux rep`eres image.
2.2.2 ´Etalonnage standard sur mire
Pour les autres exp´eriences, cette phase est r´ealis´ee avec des mires `a poste telles que celles visibles sur les Figures 5.13(b) et 5.13(c). Ce type d’´etalonnage poss`ede la particularit´e d’offrir une faible incertitude et un grand nombre de points d’int´erˆet. Afin d’augmenter le rapport signal sur bruit sur la mire et ainsi diminuer l’incertitude de localisation, les 25 images recal´ees de la s´equence sont pr´ealablement moyenn´ees. Pour le premier essai, l’incertitude sur la position tridimensionnelle des points d’´etalonnage est de 25 µm (Figure 5.13(a)) contre 15 µm pour le second (Figure 5.13(b)) et 5 µm pour le troisi`eme (Figure 5.13(c)). Ces incertitudes sont issues des moyens de contrˆoles employ´es. De plus, pour cet essai, une am´elioration de l’´etalonnage fond´ee sur la g´eom´etrie ´epipolaire est mise en œuvre. En effet, la projection de la mire sur les images ressemble `a un ´echiquier donnant une alternance de carr´es noirs et blancs. Ceci offre la possibilit´e de cr´eer des techniques num´eriques dont l’objectif est de trouver les fronti`eres entre ces diff´erents carr´es et, par ce biais, d’optimiser la localisation des points d’intersection remarquables.
(a) (b) (c)
FIGURE 5.13 : Visualisation des diff´erentes images d’´etalonnage des essais ultra-rapides, (a)
marquage direct sur l’objet, (b) mire grav´ee avec gorge fine, (c) mire grav´ee en ´echiquier.
2.2.3 ´Etalonnage am´elior´e sur mire
Le principe est le suivant : dans l’image, l’intensit´e des carr´es sombres est donn´ee par les bas niveaux de gris, tandis que celle des carr´es clairs correspond aux niveaux de gris les plus hauts. De ce fait, une premi`ere op´eration consiste `a soustraire `a l’ensemble de l’image une valeur d’intensit´e telle que les carr´es sombres soient d’intensit´e n´egative alors que celle des carr´es clairs reste positive. Ainsi, lors de la cr´eation du masque de la mire dans les images, les parties correspondant aux carr´es clairs ont des valeurs positives tandis que celles associ´ees aux carr´es sombres ont une valeur n´egative, les valeurs situ´ees en dehors de la mire ´etant nulles. Le probl`eme est donc de maximiser le crit`ere bas´e r´egionξ(x,y) donn´e par :
ξ(x,y) =Z
u(x,y)u(x,y) × m(x,y) (5.5) et qui repr´esente l’intensit´e des niveaux de gris u(x,y) `a l’int´erieur du masque m(x,y). Ainsi, la valeur maximale ne peut ˆetre trouv´ee que si les fronti`eres du masque correspondent `a celles de la projection de la mire sur les images.
Ce processus d’estimation est it´eratif ; `a chaque ´etape, la position d’un point du masque est modifi´ee et la quantit´e ξ(x,y) recalcul´ee et compar´ee `a celle donn´ee `a l’´etape pr´ec´edente. Si elle est plus importante, les coordonn´ees des points sont conserv´ees permettant la prise en compte d’un deuxi`eme crit`ere : les nouveaux points images doivent, une fois reconstruits par l’interm´ediaire des matrices de passage r´eactualis´ees, se rapprocher des points de contrˆole en 3D. Seules les coordonn´ees satisfaisant au mieux les deux crit`eres sont conserv´ees. Ce proces-sus est long et, pour le moment, les positions des points du masque ne sont pr´ecises qu’au pixel pr`es pour les mires usin´ees.
Exp´erience d’expansion de cylindre 121
Lorsque les positions des points de la grille sont estim´ees, un crit`ere de comparaison entre l’´etalonnage initial manuel et son homologue optimis´e a ´et´e utilis´e (de mani`ere uniquement qualitative pour l’instant) ; il consiste `a se servir de la g´eom´etrie ´epipolaire et, plus pr´ecis´ement, des droites ´epipolaires. En effet, les centres optiques ´etant loin pour le mod`ele orthogra-phique, ces r´eseaux de droites doivent ˆetre quasiment parall`eles. Ceci fournit un crit`ere vi-suel permettant de qualifier les performances de l’´etalonnage. Cette m´ethode d’am´elioration a ´et´e mise en application pour la derni`ere exp´erience d’expansion de cylindre et les r´esultats sont donn´es sur la Figure 5.14. L’am´elioration apport´ee par cette technique apparaˆıt claire-ment, puisque pour les mˆemes points consid´er´es de la Figure 5.16(a), les droites passent d’un r´eseau de droites h´et´erog`enes (Figure 5.16(b)) `a un r´eseau bien ordonn´e (Figure 5.14(c)) avec l’´etalonnage am´elior´e par l’algorithme pr´ec´edent. Ainsi, l’incertitude de reconstruction en trois dimensions des points de la mire passe de 1,5 mm pour un ´etalonnage non optimis´e `a 300 µm dans le cas d’une optimisation telle que faite ici. L’incertitude de mesure est obtenue par la m´ethode pr´esent´ee dans la partie 5 du chapitre 2.