`a une droite dans l’image de droite (resp. de gauche).
La relation entre les images ´etablit qu’un point appartenant `a une image se trouve sur une droite ´epipolaire sp´ecifique dans l’autre image. De plus, toutes les droites ´epipolaires gauches (resp. droites) concourent en un point, l’´epipˆole gauche eg (resp. ´epipˆole droit ed). L’´epipˆole gauche (resp. droit) est la projection du centre optique de la cam´era de droite Fd (resp. gauche Fg) sur le plan image gauche (resp. droit). Dans la suite, une matrice fond´ee sur ces relations, et de grande importance pratique, est introduite : c’est la matrice fondamentale.
2.2 La matrice fondamentale
Cette matrice, ´etablissant le lien entre les points d’une image et ceux de l’autre image, est la base de l’auto-´etalonnage et fait l’objet de recherches sp´ecifiques [62, 63]. Dans un premier temps, le rep`ere de la sc`ene est choisi de telle sorte qu’il co¨ıncide avec celui d’une cam´era (celle de droite par exemple). De ce fait, les expressions des matrices de passage deviennent :
Mg= ˜Kg
R t Md= ˜Kd
I3 0 (2.72)
Il est toujours possible d’´ecrire :
sXechg=MgX
sXechd =MdX (2.73)
et, en ´eliminant X dans la seconde ´equation ainsi que les facteurs d’´echelles s, il vient : Xtechd ˜K−t
d [t]×R ˜K−1
g Xechg=0 (2.74)
avec l’op´erateur []× exprimant un produit vectoriel sous la forme d’un produit matriciel. De l`a la matrice fondamentale s’exprime :
Fd = ˜K−t
d [t]×R ˜K−1
g (2.75)
La matrice fondamentale v´erifie la propri´et´e :
XtechdFdXechg=0 (2.76)
Cette matrice est tr`es utile grˆace `a la propri´et´e suivante [64] :
ld=FdXechg (2.77)
avec (ld)t= (ad,bd,cd).
Ainsi, la connaissance des composantes de la droite ´epipolaire est connue `a partir de la ma-trice fondamentale et de la position des points dans les images. D’o`u l’importance de la mama-trice fondamentale puisqu’il n’est pas utile de connaˆıtre les param`etres du syst`eme st´er´eoscopique. L’estimation de la matrice fondamentale devient alors capitale et est l’objet de la section sui-vante.
2.3 Estimation lin´eaire de la matrice fondamentale
La d´etermination de la matrice fondamentale (voir [65, 66, 67] pour plus de d´etails) est faite en partant de la connaissance des positions des points sur les images et de la contrainte suivante :
Appariement par corr´elation d’images 43
Cette derni`ere ´equation peut se mettre sous une forme vectorielle plus agr´eable `a manipuler dans la suite des calculs :
Nitfd=0 (2.79) o`u : Ni= (ui1ui2,vi1ui2,ui2,ui1vi2,vi1vi2,vi2,ui1,vi1,1)t fd= (Fd 11,Fd 12,Fd 13,Fd 21,Fd 22,Fd 23,Fd 31,Fd 32,Fd 33) (2.80)
i ´etant le nombre de points consid´er´es. Il devient possible d’´ecrire :
N fd =1 (2.81)
o`u N est la matrice de dimension n × 9, N = [N1,N2, ...,Nn]t o`u n repr´esente le nombre de points. La r´esolution de ce syst`eme passe par l’application d’une contrainte suppl´ementaire afin d’´eviter la solution triviale fd vecteur nul. Cette contrainte est la suivante k fdk = 0. Ensuite, lorsque plus de huit points sont utilis´es pour la d´etermination de la matrice fondamentale, il est n´ecessaire de minimiser la relation kmin(N fd)k2 o`u une optimisation sans contrainte est utilis´ee par l’introduction du multiplicateur de Lagrangeλ [55]. Cette m´ethode donne la relation suivante :
NtN fd=λ fd (2.82)
Ainsi fd est le vecteur propre de la matriceNtN associ´e `a la plus petite valeur propre.
Cette d´emarche permet donc de trouver l’expression de la matrice fondamentale en partant uniquement de la connaissance des coordonn´ees des points sur les images. La relation (2.75) permet de la relier aux param`etres intrins`eques et extrins`eques bien qu’il soit g´en´eralement im-possible de tous les trouver `a partir d’une seule paire d’images. L’am´elioration de l’´etalonnage proprement dite est ensuite pr´esent´ee dans la partie 2.2 du chapitre 5.
3 Appariement par corr´elation d’images
Par le terme d’appariement, il est sous-entendu la connaissance des coordonn´ees d’un mˆeme point d’une image dans d’autres images. Plusieurs techniques existent pour estimer la posi-tion de ces points dans les images et la m´ethode retenue ici est la corr´elaposi-tion d’images. Cette technique ne renvoie pas directement `a la position des points mais au d´eplacement entre deux mˆemes points, d’o`u son utilisation pour la mesure de champ de d´eplacement. C’est une tech-nique couramment employ´ee dans le domaine de la m´ecatech-nique [68, 69, 70] et qui repose sur la comparaison du niveau de gris d’une succession d’images prises `a des instants ou pour des angles de vue diff´erents, d’o`u un champ de d´eplacement est d´eduit. Elle poss`ede l’avantage d’ˆetre facile d’emploi et de donner une grande quantit´e de points de mesure en comparaison d’autres m´ethodes. Dans une premi`ere partie, cette technique est d´ecrite plus en d´etail et les diff´erents crit`eres de corr´elation sont pr´esent´es. Dans une seconde partie, nous pr´esentons notre approche.
3.1 Crit`eres de corr´elation
Le principe g´en´eral de la corr´elation d’images consiste `a d´eterminer un champ de d´eplacement par comparaison de l’´evolution du niveau de gris entre plusieurs parties d’images, prises `a des instants ou `a des orientations diff´erentes, constituant ainsi un maillage de la surface comme pr´esent´e succinctement sur la Figure 2.10. Lorsque la ressemblance est maximale, le d´eplacement est trouv´e. L’estimation de la valeur de la similitude (ou score de corr´elation) se fait pour chaque zone. Dans la litt´erature [48, 41], il existe un grand nombre de crit`eres destin´es `a estimer le score de corr´elation, ceux-ci diff`erent dans leur expression et sont plus ou moins tol´erants vis-`a-vis de certaines contraintes comme le bruit dans les images et la diff´erence de luminosit´e entre celles-ci. Dans la suite, quelques crit`eres de corr´elation sont pr´esent´es, ainsi que leurs limites.