Rayonnement

Le rayonnement thermique est un phénomène d'origine électromagnétique. Il est dû à des

transitions de niveaux électroniques des molécules (Annexe C). Il est régi par l'équation du

transfert radiatif (ETR). Sous forme diérentielle et dans le cas d'un régime stationnaire,

cette équation s'écrit [39,40] :

dI

_η

ds ^=κ

^η

^I

^bη

−β

_eη

I

_η

+ ^σ

^sη

4π

Z

4π

I

_η

(^~s

0

)Φ

_η

(s^~

0

, ~s)dΩ (1.56)

I

_η

est la luminance rayonnée en un point de l'espace, dans une direction~s et à un nombre

d'ondeη. I

_bη

est la luminance rayonnée par un corps noir. κ

η,

β

_eη

et σ

_sη

sont les coecients

d'absorption, d'extinction et de diusion du milieu à un nombre d'onde donné. Φ

_η

(s^~

0

, ~s)

re-présente la fonction de phase de diusion.~s et~_s

0

sont des directions etdΩun élément d'angle

solide.

La précision de la résolution numérique du transfert radiatif dépend de la modélisation

spa-tiale et spectrale du rayonnement. Ainsi plusieurs modèles existent, aboutissant à diérentes

précisions de résultats selon la capacité de calcul nécessaire.

1.2.2.2.1 Modèles de résolution spatiale Il existe de nombreuses méthodes de

résolu-tion spatiale du transfert radiatif développées dans la littérature et plus ou moins adaptées à

un problème radiatif précis. Joseph [40] propose de les classer en quatre catégories : méthodes

de type diérentiel, méthodes de type intégral, méthodes de type statistique et méthodes de

type "hybride".

Méthodes de type diérentiel Ces méthodes permettent de modéliser le transfert

radiatif en résolvant l'ETR sous forme diérentielle. Les méthodes les plus connues

apparte-nant à cette catégorie sont les méthodes aux harmoniques sphériques P

_N

, les méthodes aux

ordonnées discrètes (DOM) et les méthodes des volumes nis (FVM).

Méthode aux harmoniques sphériques P

_N

Les méthodes aux harmoniques sphériques

per-mettent d'obtenir une solution approximative de l'équation du transfert radiatif en la

décom-posant en plusieurs équations diérentielles aux dérivées partielles plus simples car

indépen-dantes de la direction. Plus l'ordreN de la méthode est élevé, plus la précision des résultats

est importante, et les méthodes d'ordre impair sont les plus courantes. Parmi ces méthodes,

la méthode P

1

est la plus utilisée pour sa simplicité d'application et de résolution. Elle

per-met de résoudre des problèmes où l'épaisseur optique du milieu est grande (mais qui reste

toutefois très inférieure à 10). Par contre, elle conduit à des résultats erronés dans le cas d'un

milieu optiquement mince, pour des géométries dont une dimension est plus importante que

les autres, dans le cas d'une surface émettant plus que le milieu et proche des parois. Il est

également à noter que les méthodes d'ordre N grand sont très diciles à appliquer et que,

à partir de N = 5, la complexité du calcul devient trop coûteuse par rapport à la précision

atteinte.

Méthode des ordonnées discrètes (DOM) Cette méthode décompose les grandeurs suivant

un nombre ni de directions n et permet ainsi d'écrire l'équation du transfert radiatif en

un système de n équations diérentielles. Cela induit deux défauts majeurs. Tout d'abord,

une grande sensibilité au nombre de directions qui, lorsqu'il est insusant, peut conduire à

des discontinuités irréalistes des grandeurs dans le modèle et à des résultats erronés. Mais

aussi à un phénomène de fausse diusion qui apparaît notamment lorsque les directions sont

obliques par rapport à l'orientation des lignes du maillage. Cette méthode n'est pas adaptée

aux milieux dont l'épaisseur optique est grande, contrairement au modèle P

₁

, car elle est

dicile à appliquer et ne donne pas de bons résultats. Un des plus gros désavantages de

cette méthode est qu'elle n'assure pas la conservation de l'énergie radiative [39]. Par contre,

elle présente l'avantage d'être facilement utilisable dans des simulations prenant en compte

d'autres modes de transfert thermique. Cette méthode reste très populaire pour la précision

obtenue avec un faible temps de calcul [41].

Méthode des volumes nis (FVM) Cette méthode est une évolution de la méthode DOM.

Elle consiste à intégrer l'équation du transfert radiatif sur un volume de contrôle. La diérence

avec la méthode DOM se situe au niveau de la discrétisation angulaire qui est dénie par des

angles de contrôle pour la FVM et par des poids directionnels dans la méthode DOM [41].

Les méthodes DOM et FVM nécessitent approximativement la même capacité de calcul, mais

la méthode FVM est légèrement plus précise que la méthode DOM en particulier dans le

cas d'un milieu optiquement mince, car elle est moins sensible à une discrétisation angulaire

insusante [39]. Cette méthode présente également l'avantage de conserver l'énergie radiative.

C'est une des méthodes les plus utilisées pour résoudre l'équation du transfert radiatif dans des

problèmes complexes, pour son large champ d'application et en tant que moyen d'obtention

de résultats précis avec une capacité de calcul raisonnable.

Méthodes de type intégral Ces méthodes résolvent la forme intégrale de l'équation de

transfert radiatif. La méthode des zones, par exemple, fait partie de cette catégorie. Dans cette

méthode, le milieu est décomposé en un nombre ni de volumes et de surfaces isothermes dans

lesquels les propriétés radiatives sont uniformes. Un bilan d'énergie permet alors d'évaluer le

transfert radiatif entre deux éléments du milieu à l'aide de facteurs d'échange. Dans ce bilan,

on considère que l'échange se fait uniquement à travers l'angle solide sous lequel un élément

voit l'autre de façon directe [39, 40]. Ces méthodes sont moins précises que les autres et les

facteurs d'échange sont diciles à déterminer en particulier pour des géométries complexes.

Ces facteurs peuvent être calculés à l'aide des méthodes statistiques par exemple.

Méthodes de type statistique La méthode Monte Carlo se classe dans cette

catégo-rie. Elle consiste à utiliser des lois de probabilité obtenues sur un échantillon d'évènements

aléatoires adapté pour prédire les phénomènes constituant le transfert radiatif comme

l'ab-sorption, l'émission ou encore la diusion. En dehors des approximations liées aux lois

sta-tistiques, cette méthode, contrairement aux autres, ne nécessite pas d'approximation. Elle

permet ainsi de modéliser avec plus de précision les transferts radiatifs avec un échantillon

comprenant un grand nombre d'évènements qui permet de tendre vers la solution réelle. Elle

présente également l'avantage d'intégrer directement les résultats sur le spectre et permet

ainsi une modélisation simultanée des dépendances spatiales et spectrales du transfert

ra-diatif, contrairement aux autres méthodes qui résolvent l'équation du transfert radiatif sous

forme monochromatique et nécessitent un modèle spectral. L'inconvénient de cette méthode

est qu'elle nécessite une capacité de calcul plus importante que les méthodes précédentes,

néanmoins elle reste la référence en terme de précision [41].

Méthodes hybride Dans ce type de méthodes est notamment classée la méthode des

transferts radiatifs discrets (DTM) qui est la méthode hybride la plus connue. Elle est basée

sur le concept de résolution de l'équation du transfert radiatif sous forme diérentielle pour un

certain nombre de rayons représentatifs [40]. Cette méthode est semblable à la méthode DOM

dans le sens où un nombre discret de directions est choisi. Elle présente aussi les désavantages

de cette méthode comme la non assurance de la conservation de l'énergie radiative ou encore

la dépendance au nombre de directions [39]. Elle est également semblable à la méthode Monte

Carlo pour la méthode de tracé de rayon [39]. Cette méthode a l'avantage d'être plus précise

que la méthode DOM et plus rapide que la méthode Monte Carlo (mais reste plus coûteuse que

la méthode DOM). Toujours comme pour la méthode DOM, la précision peut être améliorée

en augmentant le nombre de directions. Cette méthode est également adaptée aux problèmes

nécessitant la résolution simultanée sur le même maillage de l'énergie et d'un écoulement [40].

Approximation de diusion L'approximation de Rosseland n'est pas tout à fait un

modèle de rayonnement mais correspond plutôt à une approximation qui permet de simplier

l'équation du transfert radiatif. Elle consiste à supposer que le milieu étudié est optiquement

épais (c'est-à-dire avec une épaisseur optique très grande devant 1), ce qui simplie l'écriture

de l'équation du transfert radiatif. Le problème est alors réduit à un problème de conduction

(similaire à la loi de Fourier) [39]. Cette méthode présente l'inconvénient de ne pas être valide

au niveau des parois [42]. De plus, lorsque l'on utilise cette approximation dans le logiciel,

l'émissivité des parois est imposée égale à 1.

1.2.2.2.2 Modèles de résolution spectrale Comme les méthodes de résolution spatiale,

les modèles spectraux peuvent être classés en quatre catégories [39, 43] : résolution raie par

raie (line by line calculation), résolution par bandes étroites (narrow band model), résolution

par larges bandes (wide band model) et résolution globale (global model).

Raie par raie

La résolution raie par raie est la méthode la plus précise existante. Elle consiste à prendre

en compte chaque raie du spectre d'absorption du milieu. Le coecient d'absorption variant

beaucoup avec la longueur d'onde, le nombre de raies est très important. La résolution du

problème radiatif se fait pour plusieurs centaines de milliers de longueurs d'onde, suivie d'une

intégration sur tout le spectre. Cette méthode nécessite une connaissance de toutes les raies et

une grande capacité de calcul. Elle est utilisée comme référence et est appliquée pour valider

des cas très simples.

Bandes étroites

Elle consiste à découper le spectre en nes bandes (de mêmes dimensions ou de dimensions

diérentes selon les modèles à bandes étroites utilisés) et à remplacer la valeur réelle du

coecient d'absorption sur cette bande par une valeur moyennée convenablement. De toutes

les quantités jouant un rôle dans les échanges radiatifs, le coecient d'absorption est celle

qui varie le plus sur le spectre. C'est pourquoi cette méthode suppose que les bandes sont

susamment étroites pour pouvoir considérer que seul le coecient d'absorption n'est pas

constant sur chaque bande.

La méthode à bandes étroites est moins précise que la méthode raie par raie mais pourrait,

en théorie, être aussi précise en prenant les bandes de la taille des raies. Ses principaux

incon-vénients sont la diculté d'application aux gaz non homogènes et sa limitation aux milieux

non diusants contenus dans une enceinte composée de parois noires. Diérents modèles de

résolution à bandes étroites existent (modèle Elsasser et modèle statistique). Une variante

de ces modèles est appelée k-distribution et permet de réduire le nombre d'intégration en

réorganisant le coecient d'absorption [39].

Larges bandes

Cette méthode consiste également à découper le spectre en bandes, cette fois, plus larges.

Contrairement à la méthode des bandes étroites, le coecient d'absorption n'est plus considéré

constant sur la bande et doit être modélisé. Elle permet généralement d'obtenir une précision

de résultats de 30 %, pouvant atteindre, dans certains cas, jusqu'à 70 % d'erreur. Plusieurs

modèles larges bandes existent (modèle des boîtes et modèle exponentiel) ainsi que la variante

k-distribution.

Globale

L'objectif des modèles globaux est de déterminer les propriétés radiatives totales du milieu,

c'est-à-dire intégrées sur le spectre pour calculer plus simplement le transfert par rayonnement.

Une approche (Weighted Sum of Gray Gases) consiste à considérer les propriétés radiatives

d'un mélange de gaz comme la somme pondérée des propriétés radiatives de chaque gaz

supposé gris. L'intérêt des méthodes globales est la faible capacité de calcul nécessaire à la

résolution du problème radiatif.

1.2.2.2.3 Echange radiatif entre deux cylindres concentriques séparés par un

mi-lieu transparent Le transfert radiatif est étudié entre deux cylindres concentriques séparés

par un milieu transparent (non absorbant et non diusant (diusant dans le sens de

scatte-ring)). Pour cela, les surfaces sont supposées grises, c'est-à-dire dont les propriétés radiatives

ne dépendent pas de la longueur d'onde et émettant, absorbant et rééchissant de manière

dif-fuse, c'est-à-dire indépendamment de la direction. Les émissivités de la surface extérieure du

cylindre intérieur et de la surface intérieure du cylindre extérieur sont notées respectivement

_i

et

o.

T

_i

etT

_o

leurs températures et D

_i

et D

_o

leur diamètre (Fig.1.13).

Figure 1.13 Schéma du modèle étudié pour la prise en compte des échanges radiatifs

Modest [39] propose, en recourant à la méthode de rayonnement net, une expression du

ux radiatif surfacique échangé dans une enceinte fermée composée de deux surfaces séparées

par un milieu transparent. Cette expression est valable pour toute surface convexe S

_i

(c'est-à-dire ayant un facteur de forme de la surface sur elle même,F

i−i

= 0) rayonnant uniquement

sur une surface S

_o

(c'est-à-dire avec un facteur de forme de la surface S

_i

sur la surface S

o,

F

i−o

= 1) [39]. Elle est donc valable pour deux cylindres concentriques et le bilan d'énergie

sur les surfaces des cylindres s'écrit :

q

_i

_i

−(¹

_i

−1)F

i−i

q

i

−(¹

_o

−1)F

i−o

q

o

=F

i−o

σ

S

(T

_i⁴

−T

_o⁴

) (1.57)

q

_o

_o

−(¹

_i

−1)F

o−i

q

i

−(¹

_o

−1)F

o−o

q

o

=F

o−i

σ

S

(T

_o⁴

−T

_i⁴

) (1.58)

Où l'équation (1.57) correspond au bilan d'énergie sur le cylindre intérieur de surface

S

_i

et (1.58) le bilan sur le cylindre extérieur de surface S

o. Dans ces expressions,

q

_i

et q

_o

correspondent aux ux radiatifs surfaciques sur les surfaces du cylindre intérieur et extérieur

respectivement, etσ

S

la constante de Stefan. Les surfaces S

i

et S

o

sont les surfaces latérales

des cylindres et s'expriment : S

_i

= πD

_i

L et S

_o

= πD

_o

L. Les facteurs de forme, dans cette

conguration, s'écrivent :

F

_i−i

= 0 F

_i−o

= 1 F

_o−i

= ^S

ⁱ

S

_o

^F

^o−o

^{= 1}− ^S

ⁱ

S

_o

(1.59)

L'expression du ux radiatif entre les deux cylindres s'écrit alors :

q

_i

= ^σ

^S

^(T

4 i

−T

_o⁴

)

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