Dans la suite de cet article, toutes les repr´esentations que nous allons consid´erer sont `a coefficients dans Q`. Avant de donner des cons´equences sur la partie non-supercuspidale de la cohomologie sur Q`, nous rappelons les propri´et´es des repr´esentions elliptiques de GLd(Fq) et de GLd(K).
(3.3.1) Soit k un corps fini. Si πi est une repr´esentation de GLdi(k), i = 1, . . . , t, on note
×iπi :=π1× · · · ×πt l’induite de la repr´esentationπ1⊗ · · · ⊗πt du sous-groupe de Levi diagonal par blocs GLd1(k)×· · ·×GLdt(k) de GLd1+···+dt(k),le long du parabolique triangulaire par blocs sup´erieur correspondant P(d1,...,dt). Notons R(GLd(k)) le groupe de Grothendieck des Q`-repr´esentations de longueur finie de GLd(k).
D´efinition.– Soient k =Fq etf|d. On dit qu’un caract`ere θ0 :F×qf →Q
×
` estf-primitif, si θ0 ne se factorise pas par la norme NF
qf/Fqf0 :F×qf F×qf0, ∀f0|f etf0 6=f.
Un caract`eref-primitifθ0correspond `a une repr´esentation irr´eductible cuspidaleπf(θ0) de GLf(Fq) par la correspondance de Green. Notons e := d/f. Les sous-quotients irr´eductibles de ×eπf(θ0) (le produit e fois) sont en bijection avec les EndGLd(Fq)(×eπf(θ0))-modules `a droites simples. Howlett et Lehrer (voir [Dip85, 3.6]) ont d´efini un isomorphisme d’alg`ebres
EndGLd(Fq)(×eπf(θ0))∼=Hqf(Se),
o`u Hqf(Se) d´esigne l’alg`ebre de Hecke du groupe sym´etrique Se sur Q`. Rappelons que Hqf(Se) poss`ede une base{Tw | w∈Se} telle que
(Tv·Tw =Tvw, si l(vw)> l(w);
TvTw =qfTvw+ (qf −1)Tw, sinon.
L’ensemble des caract`eres irr´eductibles de Hqf(Se) est param´etr´e par l’ensemble des partitions de e: (λ `e)7→Sλ(qf),o`u Sλ(qf) est le module de Specht associ´e `a λ [Dip85]. Si qf = 1, Sλ(1) est le module de Specht du groupe sym´etrique Se. On en d´eduit une bijection
λ7→πλθ0 :=Sλ(qf)⊗H
qf(Se)(×eπf(θ0))
entre l’ensemble des partitions dee et l’ensemble des sous-quotients irr´eductibles de×eπf(θ0).
D´efinition.– Une repr´esentation irr´eductible π de GLd(Fq) sera dite elliptique si son image dans R(GLd(Fq)) n’est pas contenue dans le sous-groupe engendr´e par les induites paraboliques de repr´esentations de sous-groupes de Levi propres.
(3.3.2) Lemme.– Soit π une repr´esentation irr´eductible elliptique de GLd(Fq). Alors, il existe un unique triple(f, θ0, i)avec f|d, θ0 un caract`eref-primitif deF×qf eti∈ {0, . . . , e−1}avec e:=d/f tel que π ∼=πiθ0 :=π(i+1,1θ0 e−1−i).
Preuve : D’apr`es la classification dˆue `a Green des repr´esentations irr´eductibles de GLd(Fq), le support cuspidal d’une repr´esentation elliptique π est de la forme ((GLf(Fq))d/f,⊗d/fπf(θ0)) pour un entierf|d et un caract`ere f-primitif θ0. Donc, on aπ ∼=πλθ0 pour λ`e:=d/f.
Pour n ∈ N, notons BGLf,θ0nf(Fq) la sous-cat´egorie pleine des Q`-repr´esentations de GLnf(Fq) de longueur finie engendr´ee par les sous-quotients de ×nπf(θ0).On a donc une famille d’´equivalences de cat´egories
αnFq :BGLf,θ0nf(Fq) −→Mod-Hqf(Sn)
V 7−→HomGLnf(Fq)(×nπf(θ0), V) M ⊗H
qf(Sn) ×nπf(θ0)
←−[M
o`u Mod-Hqf(Sn) d´esigne la cat´egorie des Hqf(Sn)-modules `a droites de longueur finie.
Fait.– Soient µ:= (µ1 >· · ·> µr) une partition de e et Sµ :=Sµ1 × · · · ×Sµr le sous-groupe deSe associ´e `aµ. Posons
xµ := X
w∈Sµ
Tw ∈ Hqf(Se)∼= EndGLd(Fq)(×eπf(θ0)).
Alors, on a
(a) xµHqf(Se) = IndHHqf(Se)
qf(Sµ)1;
(b) xµ(×eπf(θ0)) = IndGLP d(Fq)
µ·f σ,o`uPµ·f d´esigne le sous-groupe parabolique standardP(µ1f,...,µrf) de GLd(Fq), etσ est une repr´esentation cuspidale du quotient r´eductif dePµ·f.
Preuve : (a) d´ecoule de [Dip85, 4.2]. (b) d´ecoule de [Jam86, 6.2]. Notons qu’en fait on connaˆıt la
forme pr´ecise de σ.
Rappelons que Sλ(qf) apparaˆıt avec multiplicit´e un dans IndHHqf(Se)
qf(Sλ)1, et que dans le groupe de Grothendieck de Mod-Hqf(Se), [IndHHqf(Se)
qf(Sλ)1] = [Sλ(qf)] +P
µ>λmλ,µSµ(qf).On en d´eduit que [Sλ(qf)] =X
µ>λ
aλ,µ[IndHHqf(Se)
qf(Sµ)1]
=X
µ>λ
aλ,µxµ(Hqf(Se)).
Il s’ensuit que
πλθ0 =X
µ>λ
aλ,µxµ(×eπf(θ0)).
Par d´efinition, πλθ0 est elliptique si et seulement si aλ,(e) 6= 0. Par ailleurs, il exist un isomorphisme d’alg`ebres entre Hqf(Se) et l’alg`ebre du groupe C[Se] tel que Sµ(qf) correspond `a Sµ(1) et que IndHHqf(Se)
qf(Sµ)1 correspond `aC[Se/Sλ] (cf.[Dip85, 4.3]). D’apr`es [JK81, 2.3.17],aλ,(e) 6= 0 si et seulement si λ est de la forme (i+ 1,1e−1−i) avec i∈ {0, . . . , e−1}.
(3.3.3) Soit K une extension finie de Qp. Notons R(GLd(K)) le groupe de Grothendieck des Q`-repr´esentations de longueur finie de GLd(K). Comme d’habitude, pour πi une repr´esentation de GLdi(K), i = 1, . . . , t, on note ×iπi := π1 × · · · ×πt l’induite normalis´ee de la repr´esentation π1⊗ · · · ⊗πtdu sous-groupe de Levi diagonal par blocs GLd1(K)× · · · ×GLdt(K) de GLd1+···+dt(K), le long du parabolique triangulaire par blocs sup´erieur P(d1,...,dt).
Rappelons bri`evement la classification des repr´esentations elliptiques [Dat07, §2].
D´efinition.– Une repr´esentation irr´eductible π de GLd(K) est elliptique si son image dans R(GLd(K)) n’est pas contenue dans le sous-groupe engendr´e par les induites paraboliques de repr´esentations de sous-groupes de Levi propres.
Pour une repr´esentation irr´eductible ρ de D×, il existe un unique diviseur f ∈ N de d et une unique repr´esentation supercuspidale irr´eductible πρ de GLf(K) tels que JL(ρ) apparaisse dans l’in-duite parabolique standard normalis´ee |det|1−e2 πρ× · · · × |det|e−12 πρ, o`u e := d/f et JL d´esigne la correspondance de Jacquet-Langlands induisant une bijection entre les repr´esentations irr´eductibles de D× et les s´eries discr`etes de GLd(K). Notons Mρ le sous-groupe de Levi standard (GLf(K))e et
−
→πρ:=|det|1−e2 πρ⊗· · ·⊗|det|e−12 πρ,alors la paire (Mρ,−→πρ) est un repr´esentant du support cuspidal de JL(ρ).PosonsSρl’ensemble des racines simples du centre deMρdans l’alg`ebre de Lie du parabolique triangulaire sup´erieurPρ de Levi Mρ. On peut identifierSρ `a l’ensemble {1, . . . , e−1}.
(3.3.4) Fait– ([Dat07, 2.1]) Soit π une repr´esentation elliptique de GLd(K). On d´esigne Soc le socle, i.e. le plus grand sous-objet semi-simple et Cosoc le cosocle, i.e. le plus grand quotient semi-simple. Alors
(i) il existe une repr´esentation irr´eductible ρ de D× telle que le support cuspidal de π est de la forme (Mρ,−→πρ);
(ii) Il existe un unique sous-ensemble I de Sρ tels que π peut s’´ecrire de la mani`ere unique sous la forme
πρI := Cosoc iGLM d(K)
ρ,I Soc iMMρ,I
ρ (−→πρ) ,
o`uMρ,I est le centralisateur du noyau commun desα∈I,le symboleid´esigne l’induite normalis´ee, et (Mρ,−→πρ) est le support cuspidal deπ.Dans ce cas, Soc iMMρ,I
ρ (−→πρ)
et Cosoc iGLMd(K)
ρ,I Soc iMMρ,I
ρ (−→πρ) sont irr´eductibles.
(iii) On a l’´egalit´e LJ(πρI) = (−1)|I|[ρ] dansR(D×) le groupe de Grothendieck desQ`-repr´esentations de longueur finie de D×, o`u LJ :R(GLd(K))→R(D×) d´esigne le transfert de Langlands-Jacquet.
(3.3.5) La repr´esentation elliptique πρI de GLd(K) est de niveau z´ero, i.e. (πρI)1+$Md(O) 6= 0, si et seulement si ρ est de niveau z´ero, i.e. ρ1+ΠDOD 6= 0. Bushnell et Henniart [BH11] d´ecrivent dans ce cas, la classification explicite des repr´esentations irr´eductibles de niveau z´ero de D× ainsi que la correspondance de Jacquet-Langlands associ´ee.
Pourn∈Nun entier, notonsKnl’extension non-ramifi´ee deK de degr´en.Un caract`ere mod´er´e4 θe : Kd× → Q
×
` sera dit f-primitif si f est l’entier positif minimal tel qu’il existe un caract`ere θe0 : Kf× → Q
×
` avec θe = θe0 ◦ NKd/Kf. Notons dans ce cas e := d/f. Le couple (Kf/K,θe0) est une paire admissible mod´er´ee, cf. [BH11].
Il existe une bijectioneθ7→ρ(eθ) entre l’ensemble des classes d’´equivalence des caract`eresθe:Kd×→ Q
×
` et l’ensemble des classes d’isomorphie des repr´esentations irr´eductibles de niveau z´ero de D×. En effet, si θeestf-primitif, on fixe une K-injection Kf ,→D, unique `a conjugaison par un ´el´ement deD× pr`es, et on identifieKf `a une K-sous-alg`ebre deD×. Notons B le centralisateur de Kf dans D. Alors, B est uneKf-alg`ebre `a division centrale de dimension e2. On d´esigne NrB/Kf :B×→Kf× la norme r´eduite et UD1 le sous-groupe 1 + ΠDOD de D×. Donc θeinduit un caract`ere Θ du groupe [D]f =B×UD1 (cf. 3.2) par
Θ(bu) =θe0(NrB/Kf(b)), b∈B×, u∈UD1,
o`uθe0 est le caract`ere de Kf× tel que eθ =θe0◦NKd/Kf. Alors, on d´efinit la repr´esentation irr´eductible ρ(eθ) de D× comme suit
ρ(eθ) := IndD[D]×f Θ,
et on obtient de telle mani`ere toutes les repr´esentations de niveau z´ero de D×.
(3.3.6) Th´eor`eme.– Soit π une repr´esentation de niveau z´ero de GLd(K) telle que π1+$Md(O) soit irr´eductible et elliptique en tant que repr´esentation de GLd(Fq), donc isomorphe `a une πiθ0 avec f|d et θ0 un caract`eref-primitif de F×qf (voir (3.3.2)). Alors, π est irr´eductible elliptique de la forme πI
ρ(eθ) o`u eθ est un caract`ere mod´er´e tel que eθ|O×
Kd/1+$OKd ∼= θ := θ0 ◦NF
qd/Fqf et I = {1, . . . , i} ou {e−i, . . . , e−1} avec e:=d/f, 06i6e−1 sous la convention I =∅ si i= 0.
Preuve : Rappelons que le foncteur M 7→M1+$Md(O) induit une ´equivalence de cat´egories entre la cat´egorie des repr´esentations lisses de niveau z´ero de GLd(K) et la cat´egorie des modules sur
4. C’est-`a-direθ|e1+$OKd est trivial.
l’alg`ebre de Hecke H(GLd(K),1 +$Md(O)). Comme π1+$Md(O) est irr´eductible et non nulle, π est irr´eductible.
Supposons que π ne soit pas elliptique. Alors, on peut ´ecrire
[π] = X
P$GLd(K)
aP[IndGLP d(K)σMP], aP ∈Z,
o`uσMP d´esigne une repr´esentation de niveau z´ero du sous-groupe de LeviMP deP.Donc, en prenant les invariants sous 1 +$Md(O), on a (cf. [Vig96, III. 3.14])
Consid´erons BGLf,θ0nf(K) (∀n ∈N) la sous-cat´egorie pleine des Q`-repr´esentations de longueur finie de GLnf(K) form´ee des objets dont tous les sous-quotients irr´eductibles contiennent ((GLf(K))n, ψ·
−−−→
πf(eθ0)) dans leur support cuspidal, pour un certain caract`ere non-ramifi´e ψ de (GLf(K))n. On sait que c’est une sous-cat´egorie de Serre et que l’on a des ´equivalences
BGLf,θ0nf(K) −→Mod-EndGLnf(K)(×nπf(eθ0)) V 7→HomGLnf(K)(×nπf(eθ0), V),
o`u Mod-EndGLnf(K)(×nπf(eθ0)) d´esigne la cat´egorie des EndGLnf(K)(×nπf(eθ0))-modules `a droites de longueur finie. Bushnell et Kutzko [BK93, 5.6.6] ont d´efini un isomorphisme d’alg`ebres
EndGLnf(K)(×nπf(eθ0))∼=H(n, qf),
o`u H(n, qf) est l’alg`ebre de Iwahori-Hecke. Nous avons donc une ´equivalence de cat´egories (bijective sur les objets simples)
αnK :BGLf,θ0nf(K)−→Mod-H(n, qf).
Cette ´equivalence est compatible `a l’´equivalence αnFq, les induites paraboliques normalis´ees et les foncteurs de Jacquet normalis´es (voir [Dat07]). Notons que π = πI
ρ(eθ) ∈ BGLf,θ0d(K). Nous avons donc
En d´ecorant de signes 0 les objets relatifs au corps Kf et Fqf selon le contexte, l’image de πI
P0I 1 contient la repr´esentation irr´eductible π0λ1I avec multiplicit´e un, et on a de plus HomGLe(Fqf)(π0λ1I,IndGLe(Fqf)
(1,...,1) le foncteur de Jacquet normalis´e associ´e au sous-groupe de BorelP(1,...,1)0 de GLe(Kf), et U0(1,...,1) le radical unipotent de P0(1,...,1). On a
Par ailleurs, d’apr`es [Dat12, (2.1.1) Fact], on a dimQ`rP0
(1,...,1)(π0I1) = #{w∈Se | I ={i∈ {0, . . . , e−1} |w(i−1)< w(i)}}.
Par un calcul direct de ce sous-ensemble de Se, on obtient que
#{w∈Se | I ={i∈ {0, . . . , e−1} |w(i−1)< w(i)}}=
e−1 i
si et seulement siI ={1, . . . , i} ou{e−i, . . . , e−1}.Ceci termine la preuve du th´eor`eme (3.3.6).