Les applications locales

D´esormais, on utilisera les alphabets latins x, y, z . . . pour des sommets de BT, et les alphabets grecs σ, τ, ω, . . . pour des simplexes quelconques.

(2.2.1) Pour une-syst`eme de coefficients Γ = (Vσ)σ∈BT,on identifieVσ eteσ(Vx) via le morphisme canoniqueϕ^σ_x lorsque x∈ σ. Pour deux simplexesτ < σ, V_σ =e_σ(V_τ), notons alors p^τ_σ le projecteur V_τ e_σ(V_τ) =V_σ.Nous allons d´efinir une famille d’applicationsε^σ_x :V_σ →V_x (xn’est pas forc´ement contenu dans σ) telle que ∀τ < σ, l’application ε^σ_x se factorise par ε^τ_x, i.e. le diagramme suivant soit commutatif :

V_σ ^ε

σ x //

 _

ϕ^σ_τ

V_x

V_τ

ε^τ_x

>>

Tout d’abord, soient x, σ adjacents, on d´efinit l’application ε^σ_x par la compos´ee : ε^σ_x :V_σ ^p

σ [x,σ]

−→V_[x,σ]=e_[x,σ](V_x),→V_x

En particulier, six∈σ, ε^σ_x est l’inclusionV_σ =e_σ(V_x),→V_x induite par ϕ^σ_x.On peut aussi d´efinir un idempotentεe^σ_x ∈End(V_σ) :

εe^σ_x :V_σ ^p

σ [x,σ]

−→V_[x,σ]=e_[x,σ](V_σ),→V_σ.

(2.2.2) Lemme.– Soit y un autre sommet tel que x, y, σ soient adjacents, alorsεe^σ_y◦εe^σ_x =εe^σ_x◦εe^σ_y. Preuve : L’application εe^σ_y ◦εe^σ_x est la compos´ee

V_σ e_[y,σ](e_[x,σ](V_σ)),→V_σ et l’application εe^σ_x◦εe^σ_y est la compos´ee

Vσ e_[x,σ](e_[y,σ](Vσ)),→Vσ.

Grˆace `a l’hypoth`ese de (e_σ)σ∈BT, on a e_[x,σ]e_[y,σ] =e_[y,σ]e_[x,σ],d’o`u l’´enonc´e du lemme.

Soit maintenant y un sommet quelconque. On peut choisir un appartement A contenant x et y, et une chambre de Weyl ferm´ee³ C telle que y∈x+C.

(2.2.3) Lemme.– L’enclos H(x, y) est ´egal `a (x+C)∩(y−C).

Preuve : Rappelons que H(x, y) est l’intersection de tous les appartements contenant x, y. Il est aussi ´egal `a la r´ealisation g´eom´etrique de l’enveloppe convexe simpliciale de {x, y}, cf. [Far07, Annexe A. Prop. 29]. D’abord on sait que les ensemblesx+C ety−C sont convexes, leur intersection (x+ C)∩ (y − C) est ´egalement convexe et contient x, y. Donc H(x, y) ⊂ (x + C)∩ (y − C).

R´eciproquement, il suffit de montrer que pour tout sommet z ∈ (x+C)∩(y−C), z est contenu dans H(x, y).

3. Cest la clˆoture d’une chambre de Weyl.

Comme tout sommet de l’immeuble de Bruhat-Tits semi-simple associ´e `a GL<sub>d</sub>(K) est un point sp´ecial [BT72], on peut alors supposer que x est l’origine de la donn´ee radicielle valu´ee, i.e. x est repr´esentable par le r´eseau [O<sup>d</sup>] de l’espace vectoriel K<sup>d</sup>. Notons ∆ = {α1, . . . , αd−1} l’ensemble de racines simples associ´ees `a C, on a alors α_i(x) = 0, ∀i ∈ {1, . . . , d− 1}. Par hypoth`ese, on sait que pour tout i ∈ {1, . . . , d−1}, α_i(y) > α_i(z) > 0. Pour montrer que z ∈ H(x, y), il suffit de montrer que pour toute racine affine α telle que α(x) > 0 et α(y) > 0, on a α(z) > 0. Ecrivons´ α = P

λ_iα_i+n o`u n ∈ Z et les λ_i sont tous positifs ou tous n´egatifs. Notons d’abord que n > 0, car α(x) > 0 et α_i(x) = 0. Si λ_i > 0, on a α(z) = P

λ_iα_i(z) +n > 0. Si λ_i 6 0, alors puisque α(y) =P

λiαi(y) +n >0, on a aussi α(z) =X

λ_iα_i(z) +n=X

λ_iα_i(y) +n+X

(−λ_i)(α_i(y)−α_i(z))>0.

(2.2.4)D´efinition.– On dit qu’une suite finie de sommets diff´erents (z0, z1, . . . , zm−1, zm) est un chemin tendu deyversx,siz₀ =y, z_m =xetzi−1, z_i sont adjacents de sorte quez_i ∈H(x, zi−1)∀i∈ {1, . . . , m}.

(2.2.5) Lemme.– (a) Si(z₀, z₁, . . . , zm−1, z_m) est un chemin tendu, alors(z_m, zm−1, . . . , z₀)l’est aussi.

(b) L’entier m dans la d´efinition ci-dessus ne d´epend pas du choix de chemin tendu. On l’appelle la distance entre x et y, not´ee par ρ(x, y).

(c) Soit (z₀, z₁, . . . , zm−1, z_m) un chemin tendu, alors ∀0 6 k 6 m, (z₀, . . . , z_k) (resp. (z_k, . . . , z_m)) est un chemin tendu.

(d) Soient(z₀, . . . , z_k)et(z_k, . . . , z_m)deux chemins tendus etz_k∈H(z₀, z_m),alors(z₀, . . . , z_k, . . . , z_m) est un chemin tendu.

Preuve : (a) Choisissons un appartement A contenant z₀ etz_m, et une chambre de Weyl ferm´ee C telle que z0 ∈ zm+C. Par d´efinition, on a zi ∈ H(zi−1, zm) = (zm +C)∩(zi−1−C) cf. (2.2.3).

Ceci entraˆıne que zi−1 ∈H(z₀, z_i),car zi−1 ∈z₀−C.Autrement dit, (z_m, zm−1, . . . , z₀) est un chemin tendu.

(b) Le choix d’un appartementAcomme ci-dessus nous fournit un tore maximal d´eploy´eT dansG tel que la r´ealisation g´eom´etrique|A|deAs’identifie `a l’espace euclideanX∗(T)⊗R/(X∗(Z(G))⊗R), o`uZ(G) d´esigne le centre deG.On peut supposer queT s’identifie au sous-groupe de matrices diag-onales. On peut supposer de plus que les racines simples ∆ ={α1, . . . , αd−1} associ´ees `a la chambre de Weyl ferm´ee C que l’on a choisie sont de la forme α<sub>i</sub>(t) =t<sub>i</sub>/t<sub>i+1</sub>, o`u t= diag(t₁, . . . , t_d). Notons {ω₁, . . . , ωd−1}l’ensemble des copoids fondamentaux associ´es `a ∆,o`uω_i(a) = diag(a, . . . , a

| {z }

i

,1. . . ,1), ∀a ∈ K^×.Supposons de plus que le sommetxest l’origine de cet espace affineX∗(T)⊗R/(X∗(Z(G))⊗R)∼= R^d−1. Consid´erons les cocaract`eres λ_k :K^× →T tels que (λ_k(a))_ij =a si i=j =k et (λ_k(a))_ij = 1 si i = j 6= k. Alors λ₁, . . . , λd−1 induisent une base de |A| ∼= R^d−1, sous laquelle ω_i s’identifie au vecteur ω_i := (1, . . . ,1

| {z }

i

,0, . . . ,0) ∈ R^d−1, et la chambre vectorielle x+ C s’identifie au cˆone R⁺ω1 +· · ·+R⁺ωd−1 ⊂ R^d−1. Ainsi le sommet y s’identifie `a un point (a1, . . . , ad−1) ∈ Z<sup>d−1</sup>, o`u a₁ >· · ·>ad−1 >0,et la chambre vectorielle y−C s’identifie au cˆone (a₁, . . . , ad−1) +R⁻ω₁+· · ·+

R⁻ωd−1 ⊂R^d−1.Un sommetz ∈H(x, y) adjacent `ays’identifie alors `a un point (b₁, . . . , bd−1)∈Z^d−1

La preuve du lemme pr´ec´edent donne ´egalement l’existence d’un chemin tendu de y vers x, on d´efinit alors ε^y_x comme une composition de ε^zzⁱ⁻¹i :

ε^y_x :=ε^z_x^m−1 ◦ · · · ◦ε^y_z1.

(2.2.6) Proposition.– Cette d´efinition ne d´epend pas du choix de chemin tendu.

Preuve : On d´emontre cette proposition par r´ecurrence sur m =ρ(x, y). Lorsque m= 1, on n’a qu’un seul chemin tendu reliant x et y, l’´enonc´e est trivial. Si m > 1, soit (z₀⁰ = y, . . . , z⁰_m =x) un On voit qu’il s’identifie `a la compos´ee :

Vy De la mˆeme mani`ere, on sait que ceci s’identifie ´egalement au morphisme ε^z

0

x1ε^y_z0 1.

Si m = ρ(x, y) > 3, grˆace au lemme qui suit, il existe un sommet z ∈ H(x, z₁)∩ H(x, z₁⁰) diff´erent de x tel que z₁⁰, z₁ ∈ H(z, y). Posons un chemin tendu de z₁ vers z (resp. z₁⁰ vers z), alors (y, z1, . . . , z) (resp. (y, z₁⁰, . . . , z)) est un chemin tendu deyversz,et (z1, . . . , z, x) (resp. (z₁⁰, . . . , z, x)) est un chemin tendu de z₁ (resp. z⁰₁) vers x grˆace au lemme (2.2.5) (d). En utilisant l’hypoth`ese de r´ecurrence, on a

ε^z_x^m−1 ◦ · · · ◦ε^y_z1 =ε^z_x¹ ◦ε^y_z1 =ε^z_x◦ε^z_z¹ ◦ε^y_z1 =ε^z_x◦ε^y_z

=ε^z_x◦ε^z_z¹⁰ ◦ε^y_z0

1 =ε^z_x¹⁰ ◦ε^y_z0 1 =ε^z

0 m−1

x ◦ · · · ◦ε^y_z0 1.

On conclut par r´ecurrence.

(2.2.7)Lemme.– Soient x, y, z trois sommets tels quey, z adjacents etmin{ρ(x, y), ρ(x, z)}>2, alors il existe un sommet w diff´erent de x tel que w∈H(x, y)∩H(x, z) et x, w soient adjacents.

Preuve : Choisissons un appartement A contenant x et [y, z], et une chambre de Weyl ferm´ee C tel que [y, z] ⊂ x+C. Identifions |A| `a l’espace affine R^d−1 et x au point d’origine comme dans la preuve du lemme (2.2.5). Comme y, z sont adjacents, on peut supposer que y (resp. z) s’identifie au point (a₁, . . . , a_d−1) ∈ Z^d−1 (resp. (b₁, . . . , b_d−1) ∈ Z^d−1) tel que a₁ > · · · > a_d−1 > 0 (resp.

b₁ >· · ·>bd−1 >0) et |a_i−b_i|61, ∀i. Notons r∈ {1, . . . , d−1} (resp. s∈ {1, . . . , d−1}) l’entier tel que a_r >2 eta_r+1 61 (resp.b_s>2 et b_s+1 61). On peut alors prendrew∈Ale sommet associ´e au point (1, . . . ,1

| {z }

min{r,s}

,0. . . ,0)∈R^d−1.

Le corollaire suivant est un analogue local de la condition (b) dans [MS10, Def. 2.1].

(2.2.8) Corollaire.– Soient x, y, z trois sommets tels que z ∈H(x, y), alors ε^z_x◦ε^y_z =ε^y_x. Preuve : D’apr`es le lemme (2.2.5) (d), si l’on choisit un chemin tendu dey vers z, et un chemin tendu de z vers x, alors le chemin compos´e est un chemin tendu de y vers x. L’´enonc´e du corollaire d´ecoule du fait que ε^y_x ne d´epend pas du choix de chemin tendu, cf.(2.2.6).

(2.2.9) Lemme.– Soient x, y, z trois sommets et y, z adjacents. Alors on a (a) ε^y_x◦ε^[y,z]y =ε^z_x◦ε^[y,z]z .

(b) p^y_[y,z]◦ε^x_y =p^z_[y,z]◦ε^x_z.

Preuve : On d´emontre (a) par r´ecurrence sur m = max{ρ(x, y), ρ(x, z)}. Lorsque m = 1, x, y, z sont adjacents, on a par d´efinition ε^y_x◦ε^[y,z]y =ε^[x,y,z]x ◦p^[y,z]_[x,y,z] =ε^z_x◦ε^[y,z]z . Sim >1,d’apr`es le lemme (2.2.7), il existe un sommetw∈H(x, y)∩H(x, z) tel queρ(w, y) =ρ(x, y)−1 etρ(w, z) = ρ(x, z)−1.

Par r´ecurrence, on a ε^y_w ◦ε^[y,z]y =ε^z_w◦ε^[y,z]z . En vertu du corollaire pr´ec´edent, on obtient que ε^y_x◦ε^[y,z]_y =ε^w_x ◦ε^y_w◦ε^[y,z]_y =ε^w_x ◦ε^z_w◦ε^[y,z]_z =ε^z_x◦ε^[y,z]_z .

L’assertion (b) peut ˆetre d´emontr´ee de la mˆeme mani`ere, et on laisse le d´etail au lecteur.

(2.2.10) Maintenant, pour un simplexe quelconque σ, on d´efinit l’application ε^σ_x de la mani`ere suivante : choisissons un sommety ∈σ et posons

ε^σ_x :Vσ

ε^σ_y

−→Vy

ε^y_x

−→Vx.

Lemme.– Cette d´efinition ne d´epend pas du choix de y. En cons´equence, soient τ < σ deux simplexes, on a ε^σ_x =ε^τ_x◦ϕ^σ_τ (voir (2.2.1)).

Preuve : Soit y⁰ un autre sommet de σ.D’apr`es le lemme (2.2.9) (a), on a ε^y_x◦ε^σ_y =ε^y_x◦ε^[y,y_y ^0]◦ϕ^σ_[y,y0]=ε^y_x⁰◦ε^[y,y_y0 ^0]◦ϕ^σ_[y,y0] =ε^y_x⁰ ◦ε^σ_y0.