La cohomologie ` a coefficients `-adiques

On ´etudie la partie non-supercuspidale de la cohomologie `-adique : H^d−1+i

f Θ la repr´esentation irr´eductible de niveau z´ero deD^× associ´ee `aθ,e o`u Θ =θe⁰◦Nr_B/Kf, cf. (3.3.5). En particulier, on a

Θ(Π^f_D) =θe⁰(Nr_B/Kf(Π^f_D)) = θe⁰((−1)^e−1$) = 1.

(3.5.2) Lemme.– En tant que repr´esentation de GW, on a Hom_D^×(ρ(eθ),H^d−1+i_c,

Preuve : D’apr`es la r´eciprocit´e de Frobenius, on a Hom_D^×(ρ(eθ),H^d−1+i action (non naturelle) de [GDW]_f en faisant agir Π^f_D trivialement. On a alors

Hom_D^×(ρ(eθ),H^d−1+i

(3.5.3) Proposition.– Il existe une repr´esentation irr´eductible elliptique de niveau z´ero π_i(θ) de G telle que

Hom_D^×(ρ(eθ),H^d−1+i_c,

Q` ) ∼=

GW πi(θ)⊗Ind^W_[W^K

K]_f V.

o`u V est unQ`-espace vectoriel de dimension1 sur lequelI_K agit viaI_K I_K/I_K($t) ∼=F^×_q^d −→^θ Q caract`ere θ, et ϕ^f y agit comme l’endomorphisme Frob^f. Or, l’action de Frob^f commute avec celle de GL_d(Fq) et πⁱ_θ0 est une repr´esentation irr´eductible de GL_d(Fq). Frob^f y agit par un scalaire λ_i.

Preuve : Ceci d´ecoule de [Dat07, 2.1.11].

(3.5.5) Corollaire.– Le W_K-module ind^W_[W^K

K]f V est isomorphe `a σ<sub>ρ(eθ)</sub>(−i) comme dans le th´eor`eme A. (b) dans l’introduction.

Preuve : C’est une cons´equence directe du th´eor`eme principal de [BH11]. En effet, comme d´ecrit par Bushnell et Henniart, le W<sub>K</sub>-module σ<sub>ρ(θ)e</sub>(−i) s’identifie `a l’induction ind^W_[W^K

Kf](η_K^e(f−1)

f θe⁰) nor-malis´ee `a la Hecke, o`uη_Kf est le caract`ere non-ramifi´e quadratique deK_f^×.Bien sˆur, on voitη_K^e(f−1)

f θe⁰ comme un caract`ere de W_Kf via l’inverse de morphisme d’Artin Art⁻¹_K

f :W_Kf W_K^ab

f

−→∼ K_f^×.Donc la restriction `aI<sub>Kf</sub> =I<sub>K</sub> du caract`ere η_K^e(f−1)

f θe⁰ se factorise par le quotient I_Kf F^×_q^f,et la valeur du caract`ere η_K^e(f−1)

f θe⁰ enϕ^f est ´egale `a

(−1)^e(f−1)eθ⁰(Art⁻¹(ϕ^f)) = (−1)^e(f−1)θe⁰(π) = (−1)^e(f−1)θ⁰((−1)^e−1).

D’o`u le corollaire.

Dans le reste de ce paragraphe, on d´emontre le th´eor`eme suivant, qui nous dit en particulier que la repr´esentation π_i(θ) = π^I

ρ(eθi) est isomorphe `aπ^I

ρ(eθ).

(3.5.6)Th´eor`eme.– Dans le groupe de GrothendieckR(D^×),on a l’´egalit´eLJ(πi(θ)) = (−1)ⁱ[ρ(eθ)], i.e. π_i(θ) est elliptique de type ρ(eθ).

Preuve : Soit K_f/K l’extension non-ramifi´ee de degr´ef.Posonsg⁰ ∈GL_e(K_f) la matrice donn´ee par x_i,i+1 = 1 pour 16i6e−1, x_e1 =$,et les autres x_ij = 0.D`es que l’on fait un choix de base de K_f sur K, pour tout ´el´ement de GL_e(K_f), on le voit naturellement comme un ´el´ement de GL_d(K) dont la classe de conjugaison ne d´epend pas du choix de base.

Lemme.– Il existe un α∈ O_K^×

f tel que g⁰·diag(1, . . . ,1, α)∈GL_e(K_f) soit un ´el´ement elliptique dans GLd(K), et que Pf−1

i=0 θe⁰(ϕⁱ(α))6= 0.

Preuve : Soit α un ´el´ement de O_K^×

f qui engendre K_f sur K.Alors, son polynˆome caract´eristique P_α(X) sur K a des racines distinctes a₁, . . . , a_f dans K^ca. Le polynˆome caract´eristique de g⁰ · diag(1, . . . ,1, α)∈GL_e(K_f) sur K est de la forme

P(X) = (X^e−a₁$)(X^e−a₂$)· · ·(X^e−a_f$)∈K[X].

Il s’agit alors de montrer que P(X) est irr´eductible sur K. Soit f(X) un polynˆome unitaire de K[X] divisant P(X), comme les polynˆomes X^e−a_i$ sont irr´eductibles dans K_f[X], on a f(X) = Q

i∈I(X^e−a_i$),o`uI est un sous-ensemble de{1, . . . , f}.Posonsg(X) :=Q

i∈I(X−a_i$),alorsg(X) diviseP_α(X) etf(X) = g(X^e).Commef(X)∈K[X], g(X) l’est aussi. En vertu de la irr´eductibilit´e de P_α(X) sur K, on sait que I =∅ ou{1, . . . , f}. DoncP(X) est irr´eductible sur K.

Commeθ⁰est un caract`eref-primitif deF<sup>×</sup><sub>q</sub><sup>f</sup>,les caract`eresθ⁰◦Frobⁱ_q, 06i6f−1,sont distincts.

D’apr`es Artin, ils sont lin´eairement ind´ependants. En vertu du fait que

θe⁰(ϕⁱ(α)) = θ⁰(ϕⁱ(α) (mod $)) = θ⁰(Frobⁱ_q(α (mod $))), on a Pf−1

i=0 θe⁰(ϕⁱ(α))6= 0.

Choisissons un α∈ O^×_K

f satisfaisant le lemme pr´ec´edent, et notons g_G :=g⁰·diag(1, . . . ,1, α)

vu comme un ´el´ement de GL_e(K_f),→ GL_d(K). Fixons un K-injection K_f ,→ D de sorte qu’il soit normalis´e par ΠD, et notonsB le centralisateur de Kf dansD. Alors, gG correspond `a une classe de conjugaison d’´el´ements r´eguliers elliptiques {g_D} deB^× ⊂D^×. On va calculer la trace de g_G (resp.

g_D) sur π_i(θ) (resp. ρ(eθ)) dans la proposition suivante.

(3.5.7) Proposition.– On a l’´egalit´e de caract`eres suivante : χ_πi(θ)(g_G) = (−1)^d−1+iχ_ρ(θ)e(g_D)6= 0.

Preuve : Rappelons que ρ(eθ) = Ind^D_[D]^×

f Θ, o`u Θ est le caract`ere de [D]_f d´efini dans (3.3.5).

CommegD ∈B^× ⊂[D]f correspond `agG,(gD)<sup>e</sup> est conjugu´e `aα$.Donc, on a Nr_B/Kf(Πⁱ_DgDΠ⁻ⁱ_D) = Πⁱ_D(−1)^e−1α$Π⁻ⁱ_D = (−1)^e−1ϕⁱ(α)$. Alors, par d´efinition,

χ_ρ(eθ)(gD) = χ_IndD×

[D]fΘ(gD) =

f−1

X

i=0

Θ(Πⁱ_DgDΠ⁻ⁱ_D)

=

f−1

X

i=0

θe⁰((−1)^e−1ϕⁱ(α)$) =

f−1

X

i=0

θe⁰ ϕⁱ(α) .

Notons σ := {s₁, . . . , s_e} la facette stable sous g_G sur laquelle g_G agit par la permutation {1, . . . , e} ∈S_e. D’apr`es [SS97, Thm. III 4.16 et Lemma III 4.10], on a

χ_πi(θ)(g_G) = Trace(g_G|π_i(θ)^G+σ).

En vertu du th´eor`eme (2.1.9) et la dualit´e de Poincar´e, on a

πi(θ)^G+σ =H_c^d−1+i(τ⁻¹(|σ|^∗),Lθ) =H^d−1−i(τ⁻¹(|σ|^∗),L_θ⁻¹)^∨,

o`uτ : Ω<sup>d−1,ca</sup><sub>K</sub> → |BT |signifie le morphisme de r´eduction (voir (3.1.1)), et L<sub>θ</sub> (resp. L<sub>θ</sub><sup>−1</sup>) d´esigne le syst`eme local sur Ω^d−1,ca_K associ´e `aθ (resp. θ⁻¹).

Notons que l’action de g_G sur H_c^d−1+i(Σ^ca₁ ,Q`)(θ) est induite par l’action naturelle de l’´el´ement (g_G,Π^−f_D )∈(GD)⁰ :={(g, δ)∈G×D^× | v(g, δ,1) = 0}sur Σ^ca₁ (cf.[Dat07, 3.1.5]), grˆace au fait que Θ(Π^f_D) = 1 (voir (3.5.1)). On a alors

χ_πi(θ)(g_G) = Trace (g_G,Π^−f_D )|H_c^d−1+i(τ⁻¹(|σ|^∗),L_θ)

= Trace (g⁻¹_G ,Π^f_D)|H^d−1−i(τ⁻¹(|σ|^∗),L_θ⁻¹) . Lemme.– Le morphisme de restriction

H^d−1−i(τ⁻¹(|σ|^∗),L_θ⁻¹)−→H^d−1−i(τ⁻¹(|σ|),L_θ⁻¹) est un isomorphisme.

Preuve : Notons RΨ_η le foncteur de cycles ´evanescents formel `a la Berkovich [Ber96]. D’apr`es Berkovich, il s’agit de montrer que le morphisme de restriction

RΓ(Ω_σ, RΨ_η(L_θ⁻¹))−→RΓ(Ω⁰_σ, RΨ_η(L_θ⁻¹))

induit un isomorphisme. Choisissons un sommet s∈σ,et notons les inclusions j_s : Ω⁰_s ,→Ω_s, i_σ : Ω_σ ,→Ω_s et j_σ : Ω⁰_σ ,→Ω_σ. En vertu des ´egalit´es [Wan14, (2.1), (2.4)], on a

RΨ_η(L_θ⁻¹)|_Ω

σ =i^∗_σRj_s∗ RΨ_η(L_θ⁻¹)|_Ω⁰

s

=i^∗_σRjs∗(p_s∗Q`)(θ⁻¹).

Finalement, [Wan13, Lemme 3.2.2] nous dit que

i^∗_σRjs∗(p_s∗Q`)(θ<sup>−1</sup>) = Rjσ∗j<sub>σ</sub><sup>∗</sup>i<sup>∗</sup><sub>σ</sub>Rjs∗(p<sub>s∗</sub>Q`)(θ⁻¹)

=Rjσ∗(Rjs∗(p_s∗Q`)(θ⁻¹)|_Ω⁰

σ).

On en d´eduit l’´enonc´e du lemme.

Grˆace au lemme pr´ec´edent, on a

χ_πi(θ)(g_G) = Trace (g_G⁻¹,Π^f_D)|H^d−1−i(τ⁻¹(|σ|),L_θ⁻¹) .

On va consid´erer un certain sous-sch´ema formel deΩ :=b Ωb^d−1_O ⊗bOOd^ca afin de calculer cette trace.

Soit σ = {$Λ_k ( Λ₀ ( · · · ( Λ_k} un k-simplexe. On dit que σ est de type (e₀, . . . , e_k) si e₀ = dim_FqΛ₀/$Λ_k et e_i = dim_FqΛ_i/Λ_i−1 pour 1 6 i 6 k. On dit de plus que σ est une f-facette, si f|e_i, ∀i. Lorsque e_i =f ∀i et k =e−1, on dit que σ est une f-facette maximale. On note F(f) l’ensemble de f-facettes, et F(f)^c:=BT \F(f).

Soit σ ={s₀, . . . , s_k} ∈F(f),on note

Ω^f_σ : = Ω_σ\ [

σ⊂ω,ω∈F(f)^c

Ω_ω

= [

σ⊂ω,ω∈F(f)

Ω⁰_ω.

Il est ´evident que Ω^f_σ = Ω^f_s0 ∩ · · · ∩Ω^f_s

k, et Ω^f_σ = Ω⁰_σ si σ est une f-facette maximale. Pour s un sommet de BT, Ω^f_s = Ωs\S

s∈ω,ω∈F(f)^cΩω est une sous-vari´et´e ouverte de Ωs,donc elle est lisse.

Notons Ω(f) := S

s∈BT^◦Ω^f_s une vari´et´e ouverte de la fibre sp´eciale Ω deΩ,b et Ω(f) := sp⁻¹(Ω(f)) o`u sp d´esigne le morphisme de sp´ecialisation (voir (3.1.1)). Posons Ω(f) le compl´b et´e deΩ le long deb Ω(f), alors Ω(f) s’identifie `a la fibre g´en´erique de Ω(fb ),cf. [Ber96, Prop. 1.3].

En utilisant ce mod`ele entier, nous calculons le groupe de cohomologie H<sup>d−1−i</sup>(τ<sup>−1</sup>(|σ|),L<sub>θ</sub><sup>−1</sup>) o`u σ :{s₁, . . . , s_e}est la f-facette maximale consid´er´ee avant.

Ω(f) ^{ j //}Ω(fb )^{oo i ? _}Ω(f)

Notons tout d’abord que le faisceauL_θ⁻¹ se prolonge `aΩ(f),b i.e. il existe un syst`eme local de rang unLb_θ⁻¹ surΩ(fb ) tel quej^∗Lb_θ⁻¹ ∼=L_θ⁻¹.En effet, d’apr`es (3.1.5), pour chaque sommets∈ BT<sup>◦</sup>,L<sub>θ</sub><sup>−1</sup> se prolonge en un faisceau sur Ω<sup>0</sup><sub>s</sub>,qui est isomorphe au syst`eme localF_θ^w−1 introduit dans [BR03, §7], iciw= (1, . . . , d) ∈S_d. Alors, d’apr`es loc. cit., si ω est unef-facette contenant s, on sait que F_θ^w−1

se prolonge sur la strate Ω⁰_ω. C’est-`a-dire le syst`eme local L_θ⁻¹ se prolonge sur toutes les Ω⁰_ω, pour ω ∈ F(f), donc il se prolonge sur Ω(f), car Ω(f) = S

ω∈F(f)Ω⁰_ω. Comme Ω(f) estb $-adiquement complet, ce faisceau se rel`eve uniquement comme un faisceau Lb_θ⁻¹ sur Ω(fb ) prolongeantL_θ⁻¹.

Notons RΨ^f_η le foncteur de cycles ´evanescents formel `a la Berkovich [Ber96] associ´e au mod`ele entier Ω(f) de Ω(f).b D’apr`es Berkovich, on a

H^d−1−i(τ⁻¹(|σ|),L_θ⁻¹) =H^d−1−i(Ω^f_σ, RΨ^f_ηL_θ⁻¹)

=H^d−1−i(Ω⁰_σ, RΨ^f_ηL_θ⁻¹), car σ est f-maximale. En vertu de la formule de projection, on obtient que

RΨ^f_ηL_θ⁻¹|_Ω⁰

σ =Lb_θ⁻¹|_Ω⁰

σ ⊗^LRΨ^f_ηQ`|_Ω⁰

σ.

Rappelons que dans ce cas (o`uΩ(f) est un mod`b ele semi-stable de Ω(f)), on connaˆıt les faisceaux de cycles ´evanescents (cf.[Ill94, Thm. 3.2])

R⁰Ψ^f_ηQ`|_Ω⁰

σ =Q`; (3.5.8)

R¹Ψ^f_ηQ`|_Ω⁰

σ = (⊕^e_i=1(Q`)<sub>i</sub>/Q` diagonal)(−1);

R^qΨ^f_ηQ`|_Ω⁰

σ =

q

^R¹Ψ^f_ηQ`|_Ω⁰

σ. L’autre cˆot´e, on veut comprendre

H_c^q(Ω⁰_σ,Lb_θ|_Ω⁰

σ) = H_c^q(Ω⁰_σ,(js,∗F_θ^w)|_Ω⁰

σ).

Commeσ estf-maximale, d’apr`es [BR03, Thm. 7.7], (js,∗F_θ^w)|_Ω⁰

σ =F_θ^wθ o`uw<sub>θ</sub> est l’image deg<sup>0</sup> dans le groupe de Weyl de GL<sub>d</sub>(K) (apr`es fixer une K-injection GL_e(K_f) ,→ GL_d(K)). Le syst`eme local F<sub>θ</sub><sup>wθ</sup> sur Ω<sup>0</sup><sub>σ</sub> est associ´e `a la vari´et´e de Deligne-Lusztig Y(w_θ) et le caract`ere θ,cf. [BR03,§6].

Grˆace `a [Lus76, Lemma 3], Ω<sup>0</sup><sub>σ</sub> est isomorphe `a (Ω^f−1

Fq )^e et F_θ^wθ ' L^⊗e_θ0 ,o`u L<sub>θ</sub><sup>0</sup> d´esigne le syst`eme local sur Ω^f−1

F^q associ´e au caract`ere θ⁰ :F^×_q^f →Q

×

` qui est f-primitif. Donc, d’apr`es [DL76, Cor. 9.9], la cohomologie `a support compact de Ω^f−1

Fq `a coefficients L_θ⁰ est concentr´ee en degr´e f −1. On en d´eduit le calcul suivant en appliquant le formule de K¨unneth :

(3.5.9) H_c^q(Ω⁰_σ,Lbθ|_Ω⁰

σ) =

( H_c^f−1(Ω^f−1

Fq ,L_θ⁰)^⊗e, si q=e(f−1) ;

0, si q6=e(f−1).

En tant que repr´esentation de GL_f(F^q), H_c^f−1(Ω^f−1

Fq ,L_θ⁰) est la repr´esentation cuspidale π_f(θ⁰).

Maintenant, on peut terminer le calcul de la trace deg_G. χ_πi(θ)(g_G) = Trace (g_G⁻¹,Π^f_D)|H^d−1−i(Ω⁰_σ, RΨ^f_ηL_θ⁻¹)

= Trace (g_G⁻¹,Π^f_D)|H^e(f−1)(Ω⁰_σ,Lb_θ⁻¹|_Ω⁰

σ ⊗R^e−1−iΨ^f_ηQ`|_Ω⁰

σ)

= Trace (g_G,Π^−f_D )|H_c^f−1(Ω^f−1

Fq ,L_θ⁰)^⊗e

·Trace (g⁻¹_G ,Π^f_D)|R^e−1−iΨ^f_ηQ`|_Ω⁰

σ

Comme le morphisme de p´eriode ξ_Dr : M^ca_Dr,0 → Ω^d−1,ca_K est G×D^×-´equivariant si l’on munit Ω^d−1,ca_K de l’action naturelle de G et de l’action triviale de D^× (voir [Dat07, 3.1.1 (ii)]), (g⁻¹_G ,Π^f_D) permute les sommets de σ = {s₁, . . . , s_e} comme la permutation (1, . . . , e) ∈ S_e. Donc il agit sur R¹Ψ^f_ηQ`|_Ω⁰

σ via cette permutation. Il s’ensuit que

Trace((g⁻¹_G ,Π^f_D)|R^e−1−iΨ^f_ηQ`|_Ω⁰

σ) = (−1)^e−1−i.

D’apr`es la r`egle de Koszul [Del77, Sommes trig. 2.4*, Cycle 1.3], on sait que (g⁰,Π^−f_D ) agit sur H_c^f−1(Ω^f−1

Fq ,L_θ⁰)^⊗e par la formule

v1⊗v2⊗ · · · ⊗ve 7→θe⁰(NrB/K_f(Π^−f_D ))·(−1)^{(f−1)2(e−1)}v2⊗ · · · ⊗ve⊗v1. En vertu de la formule de caract`ere pour l’induite tensorielle, on a

Trace (g_G,Π^−f_D )|H_c^f−1(Ω^f−1

Fq ,L_θ⁰)^⊗e

= θe⁰(Nr_B/Kf(Π^−f_D ))·(−1)^{(f−1)2(e−1)}Trace(α|H_c^f−1(Ω^f−1

Fq ,L_θ⁰))

= (−1)^{(f−1)2(e−1)}Trace(α|H_c^f−1(Ω^f−1

Fq ,L_θ⁰)).

La derni`ere trace a ´et´e calcul´ee par Deligne et Lusztig [DL76, Cor. 7.2], elle est de la forme (−1)^f−1

f−1

X

i=0

θ⁰(Frobⁱ_q(α (mod $))).

Donc, on a

χ_πi(θ)(g_G) = (−1)^e−1−i·(−1)^{(f−1)2(e−1)}·(−1)^f−1

f−1

X

i=0

θ⁰(Frobⁱ_q(α (mod $)))

= (−1)^d−1−i·

f−1

X

i=0

θe⁰(ϕⁱ(α))

= (−1)^d−1−i·χ_ρ(θ)e(g_D).

(3.5.10) Proposition.– On a π0(θ) ∼= JL(ρ(eθ)), o`u JL d´esigne la correspondance de Jacquet-Langlands.

Preuve : Grˆace au corollaire (3.5.4), π₀(θ) est une s´erie discr`ete de G. D’apr`es la proposition (3.5.7), on a les ´egalit´es suivantes :

χ_π0(θ)(g_G) = (−1)^d−1χ_ρ(eθ)(g_D)

=χ_JL(ρ(θ))e (g_G).

(3.5.11)

D’apr`es 3.5.9, les deux s´eries discr`etes π₀(θ) et JL(ρ(eθ)) contiennent le mˆeme type simple (J_θ, λ_θ), o`u J<sub>θ</sub> est isomorphe `a G⁺_σ pour σ une facette f-maximale, et λ_θ est la repr´esentation d’inflation de J_θ, via le morphisme J_θ GL_f(Fq)^e, de la repr´esentation (π_f(θ⁰))^⊗e, cf. [BH11, 5.2]. Donc, leurs types simples ´etendus [BH11] sont conjugu´es `a un caract`ere non-ramifi´e pr`es. Plus pr´ecis´ement, un type simple ´etendu qui prolonge (J<sub>θ</sub>, λ<sub>θ</sub>) est un couple (J<sub>θ</sub>,Λ), o`u J_θ s’identifie au stabilisateur de σ dans G, et Λ est une repr´esentation de J_θ telle que Λ|_J ∼= λ_θ, cf. [BH11, 4.1]. D’apr`es [BH11, Prop. 7], on a une bijection entre les s´eries discr`etes contenant (J_θ, λ_θ) et les types simples ´etendus prolongeant (J_θ, λ_θ). Notons (J_θ,Λ_π0(θ)) (resp. (J_θ,Λ_JL(ρ(θ))e )) le type simple ´etendu associ´e `a π<sub>0</sub>(θ) (resp. JL(ρ(eθ))). Grˆace `a [BH11, Lemma 10], il existe un caract`ere non-ramifi´e χ de K<sup>×</sup> tel que Λπ0(θ)∼=Λ<sub>JL(ρ(eθ))</sub>⊗χJ<sub>θ</sub>,o`u χJ_θ =χ◦det|J_θ.

Comme le type simple ´etendu (J_θ,Λ_π0(θ)) (resp. (J_θ,Λ_JL(ρ(eθ)))) est de multiplicit´e un dans π₀(θ) (resp. JL(ρ(eθ))), cf. [BH11], on sait que π₀(θ)^G+σ ∼=Λ_π0(θ) (resp. JL(ρ(eθ))^G+σ ∼=Λ_JL(ρ(θ))e )).

Notons que g_G ∈J_θ. D’apr`es [SS97, Thm. III 4.16 et Lemma III 4.10], on a χ_π0(θ)(g_G) = Trace(g_G|Λ_π0(θ)),

et idem pour JL(ρ(eθ)).Donc, en vertu de 3.5.11, on a

Trace(gG|Λ_JL(ρ(eθ))) = Trace(gG|Λ_π0(θ))

= Trace(g_G|Λ_JL(ρ(eθ))⊗χ_Jθ)

= Trace(g_G|Λ_JL(ρ(eθ)))·χ_Jθ(g_G).

Doncχ_Jθ(g_G) = 1. Il s’ensuit que χ_Jθ = 1.

L’´enonc´e du th´eor`eme (3.5.6) d´ecoule de la proposition suivante.

(3.5.12) Proposition.– Nous avons LJ(πi(θ)) = (−1)ⁱ[ρ(eθ)], ∀i∈ {1, . . . , e−1}.

Preuve : Grˆace `a la proposition (3.5.3), [ρ(eθ<sub>i</sub>)] = (−1)<sup>i</sup>LJ(π<sub>i</sub>(θ)) pour un caract`ere mod´er´eθe_i pro-longeantθ.Commeθe_iprolongeθ,le support cuspidal deπ_i(θ) contient le type simple ((GL_f(O))^e,(π_f(θ⁰))^⊗e) du Levi standard. Comme les repr´esentations elliptiquesπ^I

ρ(eθi)(∼=π_i(θ)) et π^∅

ρ(eθi) ont le mˆeme support cuspidal, on obtient que π^∅

ρ(θei) contient le type simple (J_θ, λ_θ).

D’apr`es [Dat07, 2.1.14], on a l’´egalit´e suivante χ_π^∅

ρ(eθi)

(g_G) = (−1)^|I|χ_π^I

ρ(eθi)

(g_G).

En vertu des propositions (3.5.7) et (3.5.10), nous avons χ_π^∅

ρ(eθi)

(gG) = χ_π0(θ)(gG)

=χ_JL(ρ(eθ))(g_G).

En r´esum´e, les deux s´eries discr`etes π^∅

ρ(θei) et JL(ρ(eθ)) contiennent le mˆeme type simple (J_θ, λ_θ), et leurs caract`eres ont la mˆeme valeur en l’´el´ementg_G.Comme dans la preuve de la proposition (3.5.10), ils sont isomorphes, i.e. π^∅

ρ(eθi)

∼= JL(ρ(eθ)). Donc ρ(eθ_i)∼=ρ(eθ).

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Haoran Wang, I.H.E.S.

Current : Dept. of Mathematics, Michigan State University, E. Lansing wanghaoran@math.msu.edu

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