On relie les repr´esentations elliptiques πiθ0 dans 3.3 aux cohomologies de vari´et´e de Deligne-Lusztig DLd−1
Fq (cf. (3.1.5) (b)). Les lettres ´epaisses G,P,L,U,V... seront utilis´ees pour les groupes alg´ebriques lin´eaires sur Fq. G sera toujours le groupe lin´eaire GLd surFq, et on fixe un morphisme de FrobeniusF : (ai,j)7→(aqi,j). SoitV un sous-groupe unipotent deG,la vari´et´e de Deligne-Lusztig associ´ee est d´efinie par (voir [BR03])
YVG:={gV∈G/V | g−1F g ∈VF(V)}.
(3.4.1) Fixons une injection d’alg`ebres
ι:Fqd ,→Md(Fq) = EndFq(Fdq).
Le centralisateur de ι(F×qd) dansG est un tore maximalF-stable T deG,d´eploy´e sur Fqd. T est un tore Coxeter de G, etTF ∼=F×qd. Notons V :=Fdq etV :=Fq⊗Fq V. Alors, on a
V =
d−1
M
i=0
Vi, avecVi ={v ∈V | ι(λ)(v) =λqiv,∀λ∈F×qd}.
Posons B le sous-groupe de Borel associ´e au drapeau complet 0⊂V0 ⊂V0⊕V1 ⊂ · · · ⊂ M
i<d−1
Vi ⊂V ,
et Uson radical unipotent.
Soit d=ef.Notons L le centralisateur de ι(F×qf) dans G. L est un sous-groupe de Levi F-stable de G d´efini sur Fqf;L contient T, etLF ∼= GLe(Fqf).Si l’on note
Vj ={v ∈V | ι(λ)(v) =λqjv,∀λ∈F×qf}= M
i≡j modf
Vi,
L est associ´e `a la d´ecomposition V = Lf−1
j=0Vj. Posons P le sous-groupe parabolique associ´e au drapeau
0⊂V0 ⊂V0⊕V1 ⊂ · · · ⊂ M
j<f−1
Vj ⊂V ,
et V son radical unipotent. NotonsBL :=B∩L=TnUL un sous-groupe de Borel deL de radical unipotent UL.
Soit θ0 un caract`ere f-primitif de F×qf. En composant avec la norme deFqd sur Fqf,on d´efinit un caract`ere θ :=θ0◦NF
qd/Fqf de F×qd. La classe de conjugaison Frobenius de θ correspond `a une classe de conjugaison d’´el´ements semi-simples {s}dans le groupe dual G∗ deG. On identifie L au groupe dual du centralisateur de s dans G∗. Dans [BR03, Thm. A’], Bonnaf´e et Rouquier ont associ´e `a s un idempotent central eLsF ∈Q`LF. Soit t ∈ {s} ∩T∗ correspondant `a θ; l’idempotent eTtF est alors l’idempotent associ´e au caract`ere θ.
PosonsRL⊂PG l’induction de Lusztig d´efinie par somme altern´ee [Lus76, §1]. Le morphismeRL⊂PG induit une bijection
RGL⊂P :BGL1,θ0e(Fqf)−→BGLf,θ0d(Fq).
(3.4.2) Fait– On aRGL⊂P((θ0◦det)⊗π0i1) = (−1)d+eπiθ0,o`uπ0i1 signifie la repr´esentation elliptique de GLe(Fqf) associ´ee au caract`ere trivial et la partition (i+ 1,1e−1−i).
Preuve : D’apr`es [Dip85, 4.5] et [FS82, Page 116], πiθ0 = εGFεLFRGL⊂P((θ0 ◦ det) ⊗π0i1) avec
εGF = (−1)d et εLF = (−1)e.
(3.4.3) Proposition.– Rappelons bri`evement que la vari´et´e DLd−1
Fq est munie une action de GLd(Fq), et qu’elle est un F×qd-torseur au-dessus de l’espace de Drinfeld Ωd−1
Fq sur Fq qui est le compl´ementaire de tous les hyperplansFq-rationnels dans Pd−1Fq (cf. [Wan14, 2.5.1]). Notons M(θ) la partie θ-isotypique d’un F×qd-module M. Alors, en tant que repr´esentations de GLd(Fq), on a
Hcd−1+i(DLd−1
Fq ,Q`)(θ)∼=πiθ0, ∀i∈ {0, . . . , e−1}.
Preuve : On utilise le r´esultat de l’ind´ependance de paraboliques prouv´e dans [BDR15]. Nous avons des isomorphismes de vari´et´es
YUG ∼= DLd−1
Fq
YUL
L
∼= DLe−1
Fq , ainsi qu’un isomorphisme grˆace `a [Lus76, Lemma 3],
(3.4.4) YVG×LF YUL
L
∼=YVUG
L.
Notons queVUL est le radical unipotent d’un sous-groupe de BorelB0 := (B∩L)V de G. D’apr`es, [BR03, Thm. B’], YVG(resp. YUL
L) est de dimension e(d−e) (resp. e−1), et le complexeRΓ(YVG)eLsF est concentr´ee en degr´e e(d−e). En vertu de [BDR15, 5.16 et 5.17], les parties θ-isotypiques des complexes de cohomologies deYUGet deYVUG L sont isomorphes, `a un d´ecalage de la diff´erence de leurs dimensions et un twist `a la Tate pr`es. Tenant compte du fait que RΓ(YULL)eTtF = eLsFRΓ(YULL)eTtF ([BR03, Thm. 11.4]), on a
Hcd−1+i(DLd−1
Fq ,Q`)(θ) =He(d−e)+e−1+i
c (YVG×LF YUL
L,Q`)eTtF
=He(d−e)(YVG)eLsF ⊗Q
`[LF]Hce−1+i(YUL
L)(θ)
= (−1)e(d−e)RGL⊂P((θ0◦det)⊗π0i1)
= (−1)e(e−1)(f−1)πiθ0 =πiθ0.
o`u la derni`ere ´egalit´e d´ecoule de (3.4.2). D’o`u l’´enonc´e.
On peut calculer les valeurs propres de Frobenius sur les cohomologies de YUG ∼= DLd−1
Fq . (3.4.5) Proposition.– Le Frobenius Ff agit sur Hcd−1+i(YUG,Q`)(θ) par le scalaire
(−1)e(f−1)θ0((−1)e−1)·(qf)d−e2 +i.
Remarque.– Un autre calcul des valeurs propres de Frobenius a ´et´e obtenu par T.-H. Nguyen dans sa th`ese.
Preuve : En vertu de [BDR15, 5.17], on a un isomorphisme F-´equivariant Hcd−1+i(YUG)(θ)((e−1)(d−e)
2 )∼=He(d−e)+e−1+i
c (YVUG
L)(θ).
Comme V est Ff-stable, l’isomorphisme 3.4.4 : YVG×LF YUL
L
∼=YVUG
L
est Ff-´equivariant. Donc il suffit de calculer la valeur propre de Ff sur He(d−e)+e−1+i
c (YVG×LF YULL)(θ)(−(e−1)(d−e)
2 ).
Comme pr´ec´edemment, on a l’expression suivante He(d−e)+e−1+i
c (YVG×LF YUL
L)(θ) =Hce(d−e)(YVG)eLsF ⊗
Q`[LF]Hce−1+i(YUL
L)eTtF.
Alors, le valeur propre de Ff est ´egal `a µ1·µ2, o`u µ1 (resp. µ2) d´esigne la valeur propre de Ff sur Hce−1+i(YUL
L)eTtF (resp.Hce(d−e)(YVG)(−(e−1)(d−e)2 )eLsF).
Commen¸cons par le calcul de µ1. (3.4.6) Lemme.– µ1 =θ0((−1)e−1)qf i.
Preuve : Ceci est essentiellement donn´e par Digne et Michel [DM85]. Rappelons que YUL
L est isomorphe `a la vari´et´e DLe−1
Fqf d´efinie par l’´equation :
det((Xiqf j)06i,j6e−1)qf−1 = (−1)e−1.
Notons que dans [DM85], les auteurs ont consid´er´e la vari´et´e d´efinie par l’´equation det((Xiqf j)06i,j6e−1)qf−1 = 1.
Soit g ∈GLe(Fqf),notons, suivant eux [DM85, Page 12] (not´e Nw1˙(θ)(g) dans loc. cit.), Nθ(g) := Trace(gFf|Hc∗(YUL
L)eTtF) :=X
k
(−1)kTrace(gFf|Hck(YUL
L)eTt F).
Rappelons que s se correspond `a θ,etθ =θ0 ◦NF
qd/Fqf.
Fait.– (a) En tant que repr´esentations de GLe(Fqf), on a Hck(YUL
L)eTtF =Hck(Ωe−1
Fqf,Q`)⊗θ0−1◦det, ∀k.
(b) Pour tout g ∈GLe(Fqf), on a
(3.4.7) Nθ(g) = θ0((−1)e−1)·N1(g)·θ0−1(det(g));
Preuve : (a) d´ecoule du fait que l’´el´ement (g, ζ) ∈ GLe(Fqf)×F×qd avec det(g)·NF
qd/Fqf(ζ) = 1 stabilise une composante connexe g´eom´etrique fix´ee de DLe−1
Fqf. (b) d´ecoule de [DM85, V. Corollaire 3.3], avec le facteur suppl´ementaireθ0((−1)e−1) qui vient du fait que DLe−1
Fqf est d´efinie par l’´equation det((Xiqf j)06i,j6e−1)qf−1 = (−1)e−1.
On revoie les lectures `a [Wan14, Thm. 3.1.12] pour les d´etails.
Posons g un ´el´ement r´egulier elliptique de GLe(Fqf). D’apr`es [DOR10, Prop. 3.3.9], on a
Preuve : La strat´egie de la d´emonstration est la suivante. Notons Ru(H) le radical unipotent d’un groupe r´eductif connexe H.On va choisir un sous-groupe de BorelB dansP:=LV tel que l’on a un isomorphismeFf-´equivariant :
YRGu(B)∼=YVG×LF YRLu(B∩L)
et que l’on connaˆıt la valeur propre de Ff sur la partie θ-isotypique de la cohomologie de YRL
u(B∩L). Ensuite, on trouve un autre sous-groupe de BorelB0 tel queB∗∩L∗ =B0∗∩L∗,et que l’on connaˆıt la
valeur propre de Ff sur la partie θ-isotypique de sa cohomologie. En vertu du r´esultat de [BDR15], les valeurs propres de Ff sur la partieθ-isotypique de la cohomologie de YRG
u(B) et de celle de YRG Fq-automorphisme de V .Les ιi induisent une injection
ι:=ι1× · · · ×ιe: (F×qf)e,→AutFq(V1)× · · · ×AutFq(Ve)⊂AutFq(V1 ⊕ · · · ⊕Ve),→G.
Le centralisateur deι((F×qf)e) dansGest un tore maximalF-stableTdont la structure rationelle est donn´ee par la restriction de scalaires ResF
qf/Fq(Gm)e. De plus, TF = ι((F×qf)e). L’action de F×qf sur Vi induite parιi fait une d´ecomposition en sous-espaces de dimension 1
Vi =
f−1
M
j=0
Vi,j, o`uVi,j :={v ∈Vi | ιi(λ)(v) = λqjv,∀λ∈F×qf}.
On note B0 le sous-groupe de Borel de G associ´e au drapeau complet d´efini par les sous-espaces vectoriels successifs
0, V1,0, V1,1, . . . , V1,f−1, V2,0, V2,1, . . . , V2,f−1, . . . , Ve,0. . . Ve,f−1,
etRu(B0) son radical unipotent. NotonsL0 le sous-groupe de LeviF-stable associ´e `a la d´ecomposition V =
e
M
i=1
Vi,
et P0 le sous-groupe paraboliqueF-stable associ´e au drapeau 0⊂V1 ⊂V1⊕V2 ⊂ · · · ⊂M
En fait, Vj = Le
i=1Vi,j. Notons L le sous-groupe de Levi F-stable associ´e `a cette d´ecomposition V =Lf−1
j=0 Vj,et Ple sous-groupe parabolique de G correspondant au drapeau 0⊂V0 ⊂V0⊕V1 ⊂ · · · ⊂ M
j<f−1
Vj ⊂V ,
et Ru(P) le radical unipotent de P. On note B le sous-groupe de Borel F-stable de G associ´e au drapeau complet d´efini par les sous-espaces vectoriels successifs
0, V1,0, V2,0, . . . , Ve,0, V1,1, V2,1, . . . , Ve,1, . . . , V1,f−1. . . Ve,f−1,
sur l’ind´ependance du sous-groupe parabolique . On obtient
Hce(d−e)(YRGu(P)×LF YRLu(B∩L))(θ) = (−1)e(d−e)·(−1)d−e·Hcd−e(YRGu(P0)×L0F YRLu0(B0∩L0))(θ)((e−1)(d−e)