D´ emonstration du th´ eor` eme (2.1.9) - 2 Syst` emes de coefficients sur l’immeuble de Bruhat

Démontrons tout d’abord la première partie du théorème (2.1.9).

(2.4.1) Proposition.– Soient Σ un sous complexe fini convexe de BT fix´e et Σ⁰ ⊂ Σ un sous complexe convexe, alors

(a) H_n(Σ⁰,Γ) = 0 pour tout n >0.

(b) L’application i^Σ_Σ0 :H₀(Σ⁰,Γ)−→H₀(Σ,Γ) (voir 2.3) est injective d’image u^Σ_Σ0(H₀(Σ,Γ)).

Preuve : Tout d’abord on d´emontre (b). Notons que l’on a un diagramme commutatif : H₀(Σ⁰,Γ) ⁱ

Σ Σ0

p^Σ_x⁰

H₀(Σ,Γ)

p^Σ_x

V_x ^Id ^//V_x.

Soit a ∈ H₀(Σ⁰,Γ) tel que i^Σ_Σ0(a) = 0. Donc p^Σ_x⁰(a) = p^Σ_x ◦i^Σ_Σ0(a) = 0, ∀x ∈ Σ^0◦. On en d´eduit que e^Σ_x⁰(a) =i^Σ_x⁰ ◦p^Σ_x⁰(a) = 0, ∀x∈Σ^0◦. Donca∈T

x∈Σ^0◦Kere^Σ_x⁰ ={0} (cf. (2.3.6)).

D’apr`es la proposition (2.3.6), on a u^Σ_Σ0(H₀(Σ,Γ)) = X

x∈Σ^0◦

Ime^Σ_x = X

x∈Σ^0◦

i^Σ_x(V_x)

= X

x∈Σ^0◦

i^Σ_Σ0◦i^Σ_x⁰(V_x) = i^Σ_Σ0(X

x∈Σ^0◦

i^Σ_x⁰(V_x))

=i^Σ_Σ0(u^Σ_Σ⁰0H₀(Σ⁰,Γ)) =i^Σ_Σ0H₀(Σ⁰,Γ).

On d´emontre (a) par r´ecurrence.

Lemme.– Supposons que Σ ne soit pas un simplexe, et ∀Σ⁰ $Σ fini convexe la propriété (a) de la proposition soit vérifiée pour Σ⁰. Alors elle est vérifiée pour Σ.

Preuve : Lorsque Σ n’est pas un simplexe, grâce à [MS10, Section 2.5], on peut décomposer Σ = Σ₊∪Σ− de sorte que Σ₊,Σ−et leur intersection Σ₀ soient sous complexes finis convexes propres de Σ. En particulier, (a) est vérifiée pour Σ₊,Σ₋ et Σ₀. Les complexes de chaˆınes associés forment une suite exacte de complexes

C∗(Σ₀,Γ)C∗(Σ₊,Γ)⊕ C∗(Σ−,Γ)C∗(Σ,Γ),

dont la suite exacte longue d’homologie du type Mayer-Vietoris associ´ee implique que H_n(Σ,Γ) = 0 pourn>2.De plus, l’injectivit´e de l’applicationH0(Σ0,Γ)

i^Σ+

−→Σ0 H0(Σ+,Γ) implique queH1(Σ,Γ) = 0.

Donc (a) est v´erifi´ee pour Σ.

Il nous reste à traiter le cas où Σ est un simplexe. Soit Σ un simplexe, rappelons que pourx∈Σ^◦ et σ ⊂ Σ un sous simplexe, on a défini un idempotent εe^σ_x ∈ End(V_σ) satisfaisant εe^σ_x ◦εe^σ_y = εe^σ_y ◦εe^σ_x (voir le lemme (2.2.2)). Posons comme [MS10, (2.5)] des idempotents

ε^σ,0_I :=Y

x∈I

εe^σ_xY

x6∈I

(1−εe^σ_x)∈End(V_σ) pour un sous-ensemble I de Σ^◦. On a comme dans loc. cit.

– ε^σ,0_I (V_σ) =

0, siσ^◦ *I; ε^σ,0_I (V_x) pour un sommet x∈I, siσ^◦ ⊂I.

– Id_V_σ =P

I⊂Σ^◦ε^σ,0_I ∈End(V_σ) et ε^σ,0_I ε^σ,0_J = 0 si I 6=J.

Notonsε⁰_I :=⊕_σε^σ,0_I ∈End(C∗(Σ,Γ)) commutant avec la différentielle. On en déduit une décomposition C∗(Σ,Γ) = M

I⊂Σ^◦

ε⁰_I(C∗(Σ,Γ)).

Si I = ∅, ε⁰_I(C∗(Σ,Γ)) = 0. Si I 6= ∅, le complexe de chaˆınes ε⁰_I(C∗(Σ,Γ)) calcule l’homologie du sous complexe Σ_I de Σ engendré par I à valeurs constants ε⁰_I(V_x), pour un sommet quelconque x contenu dans I. Comme ΣI est contractile, ε⁰_I(C∗(Σ,Γ)) est une résolution de ε⁰_I(Vx). Ceci entraˆıne

que H_n(Σ,Γ) = 0 pourn >1.

Maintenant, on peut montrer queC∗(BT,Γ) est une r´esolution deH₀(BT,Γ) (cf.[MS10]). Posons (Σ_n)n∈N une suite croissante de sous complexes finis convexes telle que BT =S

nΣ_n et C∗(BT,Γ) =

−→lim C∗(Σn,Γ). D’après ce qui précède, on sait que pour chaquen, le complexe C∗(Σ_n,Γ)−→H₀(Σ_n,Γ)−→0

est exact. Or, la limite inductive préserve l’exactitude dans la catégorie de R-modules. On a alors que C∗(BT,Γ) est une résolution de lim−→H₀(Σ_n,Γ). C’est-à-dire H_n(BT,Γ) = 0 pour n > 1 et H₀(BT,Γ) = lim

−→H₀(Σ_n,Γ). Ceci entraˆıne la première partie du théorème.

(2.4.2)On démontre la seconde partie du théorème (2.1.9). Soitxun sommet quelconque. Notons que pour Σ⁰ ⊂Σ deux complexes finis convexes contenant x,on a un diagramme commutatif :

V_x ⁱ

Σ0 x//

i^Σ_x $$

H₀(Σ⁰,Γ)

i^Σ_Σ0

H₀(Σ,Γ) Ceci induit une injectioni_x :V_x →H₀(BT,Γ).

Lemme.– Soient x, y deux sommets adjacents, alors on a un diagramme commutatif : V_x ⁱ^x^//

ε^x_y

H₀(BT,Γ)

V_y ⁱ^y^//H₀(BT,Γ)

Preuve : La d´emonstration suit la ligne de la d´emonstration de (2.3.2) (c). Notons i⁰_x : Vx → V_x⊕V_y⊕L

s∈BT^◦\{x,y}V_s l’injection naturelle u7→(u,0,0. . .),eti⁰_y :V_y →V_x⊕V_y⊕L

s∈BT^◦\{x,y}V_s l’injection naturelle v 7→(0, v,0. . .) telles quei_x(u) =f(i⁰_x(u)) et i_y(v) = f(i⁰_y(v)) o`u f est l’applica-tion canoniquef :L

s∈BT^◦V_s H₀(BT,Γ).

Lorsque x=y, on a e_x(i⁰_x(a)) =i⁰_x(a), ∀a ∈V_x.C’est-à-dire, i_x◦ε^x_x =e_x◦i_x. Lorsque x6=y, soit a un élément de V_x, il s’agit de montrer que

e_y(i⁰_x(a))−i⁰_y(ε^x_y(a))∈∂( M

σ∈BT₁

V_σ).

Par d´efinition, on a

e_y(i⁰_x(a))−i⁰_y(ε^x_y(a)) = e_ye_x(i⁰_x(a))−i⁰_y(ε^x_y(a)) = (e_[x,y](a),−ε^x_y(a),0. . .).

Posons b := p^x_[x,y](a) ∈ V_[x,y], alors e_[x,y](a) = ϕ^[x,y]x (b) et ε^x_y(a) = ϕ^[x,y]y (b). On en d´eduit que (e_[x,y](a),−ε^x_y(a),0. . .) appartient `a∂(L

σ∈BT₁Vσ).

D’après ce qui précède, le morphisme ix se factorise par ex(H0(BT,Γ)). Soit σ un simplexe contenantx, i_σ :=i_x|_e_σ_(V_x₎ envoie ϕ^σ_x(V_σ) = e_σ(V_x) dans e_σ(H₀(BT,Γ)), et il ne dépend pas du choix

de sommet contenu dans σ.Donc les morphismes {i_σ}σ∈BT induisent un morphisme de syst`emes de coefficients

Γ−→(σ 7→e_σ(H₀(BT,Γ)))σ∈BT. En tenant compte du fait que H0(BT,Γ) = P

y∈BT^◦iy(Vy), il suffit de montrer que ∀y ∈ BT^◦, e_σ(i_y(V_y))⊂i_x(V_σ).Prenons un chemin tendu z₀ =y, . . . , z_m =x de y vers x,on a alors

e_σ(i_y(V_y)) =e_σ(e_yi_y(V_y)) = e_σe_z_me_y(i_y(V_y)) =· · ·=e_σe_z_m· · ·e_z₂e_z₁e_y(i_y(V_y)).

D’après le lemme précédent, on a

e_σe_z_m· · ·e_z₂e_z₁e_y(i_y(V_y)) =e_σe_z_m· · ·e_z₂i_z₁(ε^y_z₁(V_y))⊂e_σe_z_m· · ·e_z₂i_z₁(V_z₁)

=e_σe_z_m· · ·i_z₂(ε^z_z¹₂(V_z₁))⊂e_σe_z_m· · ·i_z₂(V_z₂)

⊂ · · · ⊂e_σi_x(V_x) =i_x(V_σ), car e_σ◦i_x =i_σ◦ε^x_σ. Ceci termine la démonstration du théorème.

3 La cohomologie du revˆ etement mod´ er´ e de l’espace de Drin-feld

Dans cette section, on s’intéresse à la partienon-supercuspidalede la cohomologie du revêtement modéré de l’espace de Drinfeld (la partie supercuspidalea été traitée dans [Wan14]). Rappelons tout d’abord les résultats géométriques obtenus dans [Wan14].

3.1 Rappels sur le revˆ etement mod´ er´ e de l’espace de Drinfeld

(3.1.1) Soient K une extension finie de Qp d’anneau des entiers O et $ une uniformisante de O tels que O/$ ' Fq. On fixe K^ca une clôture algébrique de K et Kd^ca son complété $-adique.

Soient D l’algèbre à division centrale sur K d’invariant 1/d, O_D l’anneau des entiers de D et Π_D une uniformisante. Soient K_dune extension non-ramifiée de degréddeK contenue dansD d’anneau des entiers de O_K_d. On note ˘K le complété de l’extension non-ramifiée maximale K^nr ⊂ K^ca de K, O˘ son anneau des entiers. On désigne W_K le groupe de Weil associé à K, et I_K le groupe d’inertie.

Fixons un rel`evement ϕ∈Gal(K^ca/K) de (Frob_q :x7→x^1/q)∈Gal(Fq/Fq).

Soit d > 2 un entier, notons Ω^d−1_K l’espace symétrique de Drinfeld [Dri74] de dimension d−1, défini comme le complémentaire de l’ensemble des hyperplans K-rationnels dans l’espace projectif P^d−1K .Il admet une structure d’espace rigide-analytique au sens de Raynaud-Berkovich. Notons|BT | la réalisation géométrique de l’immeuble de Bruhat-Tits semi-simpleBT associé àG:= GL_d(K),et rappelons que nous avons une application de réduction τ : Ω^d−1_K → |BT |. Pourσ ={s₀, . . . , s_k} avec si des sommets un k-simplexe de BT, notons |σ| ⊂ |BT | sa facette associée et |σ|^∗ :=S

σ⊂σ⁰|σ⁰| = T

i|s_i|^∗. Donc, les donn´ees{τ⁻¹(|σ|^∗)}σ∈BT fournissent un recouvrement admissible de Ω^d−1_K .

Deligne a construit un modèle semi-stableΩb^d−1_O de Ω^d−1_K sur SpfO en recollant les modèles locaux {Ωb^d−1_O,σ}σ∈BT, tel que sa fibre spéciale géométrique Ω :=Ωb^d−1_O ⊗OFq est une réunion des composantes irréductibles paramétrées par les sommets de BT (cf. [Wan14, 2.1.5]) i.e. Ω = S

s∈BT^◦Ω_s. Soit

σ = {s₀, . . . , s_k}, notons Ω_σ := T

iΩ_s_i, Ω⁰_σ := Ω_σ\S

s⁰6∈σΩ_s⁰, et j_σ : Ω⁰_σ ,→ Ω_σ l’inclusion naturelle.

Rappelons que Berkovich a d´efini dans ce cas un morphisme de sp´ecialisation sp : Ω^d−1,ca_K := Ω^d−1_K ⊗b_KKd^ca −→Ω

(qui est appel´e le morphisme de r´eductiondans [Ber96, §1]).

(3.1.2) Dans [Dri76], Drinfeld a démontré que le schéma formel Ωb^d−1_O ⊗b_OO˘ (pro)-représente l’es-pace de modules des O_D-modules formels spéciaux de dimension d et hauteur d² sur la catégorie de ˘O-algèbres dans lesquelles $ est nilpotent. Notons X le O_D-module formel spécial universel, et posons Σ_n := Isom_O

D(Π⁻ⁿ_D O_D/O_D,X[Πⁿ_D]ân), où X[Πⁿ_D] désigne les Πⁿ_D-torsions. Par construction, Σ_n est un (O_D/Πⁿ_DO_D)^×-torseur sur Ω^d−1_K ⊗b_KK˘ muni d’une action de G^◦× O^×_D×I_K, où

G^◦ := Ker(val_K◦det : GL_d(K)→K^×).

Les morphismes de transitions Σ_n −→^×Π^D Σn−1 sontG^◦× O_D^××I_K-équivariants. Lorsquen= 1,l’espace rigide-analytique Σ^ca₁ := Σ1⊗bKKd^ca est un (OD/ΠDOD)^× ' F^×_q^d-torseur sur Ω^d−1,ca_K := Ω^d−1_K ⊗bKKd^ca, que l’on appelle le revêtement modéré de l’espace de Drinfeld de dimension d−1.

Notons p: Σ^ca₁ →Ω^d−1,ca_K la mutiplication par Π_D,etν :=τ◦p.On a un diagramme commutatif dont les fl`eches sont G^◦-´equivariantes

Σ^ca₁

Ω^d−1,ca_K ^τ ^//|BT |

et tel que Σ^ca₁ admet un recouvrement des ouverts admissibles {ν⁻¹(|σ|^∗)}_σ∈BT.

Fixons`6=pun nombre premier et une clˆoture alg´ebriqueQ` deQ`.Soientσ⁰ ⊂σ deux simplexes deBT, l’immersion ouverte ν⁻¹(|σ|^∗),→ν⁻¹(|σ⁰|^∗) induit un morphisme canonique :

H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗),Λ)−→H_c^q(ν⁻¹(|σ⁰|^∗),Λ), ∀q>0 o`u Λ =Z` ouQ`. Donc les donn´ees

((σ ∈ BT)7→H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗),Λ)

(σ⁰ ⊂σ)7→ H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗),Λ)→H_c^q(ν⁻¹(|σ⁰|^∗),Λ)

définissent un système de coefficients G^◦-équivariant (voir (2.1.2)) à valeurs dans les Λ-modules que nous noterons simplement σ 7→ H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗),Λ). Ce système de coefficients calcule la cohomologie de Σ^ca₁ .

(3.1.3) Fait– ([Dat06, Prop. 3.2.4]) Il existe une suite spectrale G^◦-´equivariante (3.1.4) E₁^pq =C_c^or(BT(−p), σ 7→H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗),Λ)) =⇒H_c^p+q(Σ^ca₁ ,Λ)

dont la diff´erentielled^pq₁ est celle du complexe de chaˆınes du syst`eme de coefficientsσ7→H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗),Λ).

On regroupe ci-dessous les résultats dans [Wan14, §2] (où Σ₁ est noté Σ).

(3.1.5) Théorème.– Soient s un sommet de BT et σ un simplexe contenant s. Posons K˘^t = K˘[$t]/($_t^q^d⁻¹ −$) une extension modérément ramifiée de degré q^d−1 de K˘ d’anneau des entiers O˘^t,notons Σ_1,s l’espace rigide Σ₁×_Ω^d−1

K τ⁻¹(|s|), et consid´erons la normalisation de Ωb^d−1_O,s⊗bOO˘^t dans Σ1,s⊗K˘ K˘^t que l’on notera Σb⁰_1,s. Alors,

(a) Σb⁰_1,s est unF^×_q^d-torseurG_s-invariant au-dessus deΩb^d−1_O,s⊗bOO˘^t;et si l’on noteΣ⁰_1,s sa fibre spéciale, on en déduit un isomorphisme I_K/I_K($_t₎ ∼=F^×_q^d-équivariant

H^q(ν⁻¹(|s|),Λ)∼=H^q(Σ⁰_1,s,Λ), ∀q>0.

De plus, il existe une donnée de descente à la Weil sur Σ^ca₁ (qui est induite par Π⁻¹_D ◦ϕ sur M^ca_Dr,1 cf. (3.2.1)) telle qu’elle induit une donnée de descente Fr sur Σ⁰_1,s.

(b) Quitte à choisir une base d’un réseau qui représentes,on a un isomorphismeG_s/G⁺_s ∼= GLd(Fq

)-´

equivariant Σ⁰_1,s ∼= DL^d−1

Fq := DL^d−1⊗_F_qF^q où DL^d−1 désigne la sous-variété fermée de l’espace affine A^d_Fq = SpecF^q[X0, . . . , Xd−1] définie par l’équation

(3.1.6) det((X_i^q^j)06i,j6d−1)^q−1 = (−1)^d−1.

De plus, cet isomorphisme est compatible aux actions de F^×_q^d, o`u F^×_q^d agit sur DL^d−1

Fq par X_i 7→

ζX_i, ∀ζ ∈F^×_q^d;la structureF^q-rationnelle induite parFrsurΣ⁰_1,s co¨ıncide via cet isomorphisme avec celle induite par Frob :X_i 7→X_i^q sur DL^d−1

Fq .

−→H^q(ν⁻¹(|s|),Λ), ∀q >0.

(d) Soit σ un simplexe contenant s. Le morphisme canonique H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗),Λ) → H_c^q(ν⁻¹(|s|^∗),Λ) provenant de l’immersion ouverte ν⁻¹(|σ|^∗),→ν⁻¹(|s|^∗) induit un isomorphisme

H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗),Λ) ∼

−→H_c^q(ν⁻¹(|s|^∗),Λ)^G⁺^σ.

Preuve : (a) d´ecoule de [Wan14, 2.3.8, 2.3.9, 3.1.8]. (b) d´ecoule de [Wan14, 2.4.6, 2.5.3, 3.1.10].

L’assertion (c) est [Wan14, Théorème 2.2.3] qui est une conséquence de [Zhe08, Lemme 5.6]. La démonstration de (d) est donné dans [Wan14, Théorème 2.5.9] qui est une conséquence du théorème

principal de [Wan13].

(3.1.7) Corollaire.– Notons Γ_q(Λ) le système de coefficients σ7→H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗),Λ). Alors, la suite spectrale 3.1.4 dégénère en E₁, et elle induit un isomorphisme

H_c^q(Σ^ca₁ ,Λ) ∼

−→H₀(BT,Γ_q(Λ)), ∀q >0.

Preuve : D’après (d) du théorème précédent, on sait que Γ_q(Λ) est un système de coefficients G^◦-équivariant de niveau 0 (cf. 2.1). Donc, l’énoncé du corollaire découle du théorème (2.1.9).

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