Raisonner sur le temps

6.2.1 Algebres d'intervalles

Il est possible de representer un ensemble de formules  de A par un reseau de contraintes binaires, dans lequel ne sont pas achees les relations universelles entre deux intervalles; les nuds du reseau sont les intervalles et les arcs representent les contraintes entre deux de ces intervalles (gure 6.5).

{p, m} {o, m] {p, m} {p, p^} {o, p, m} I I I I 1 2 4 3

Figure 6.5 - : Reseau de contraintes temporelles. Chaque nud du reseau est un intervalle, chaque arc entre deux nuds symbolise une relation temporelle de A; ainsi, l'intervalleI

1 soit rencontre, soit recouvre l'intervalleI

2, soit precede, soit rencontre I

3, soit precede, soit est precede parI

4. Le reseau de contraintes presente ici est ditregulier [Ladkin90] car il n'existe qu'un arc entre deux variables (il sut pour obtenir un graphe regulier de remplacer deux arcs orientes dieremment par l'intersection de l'un avec l'inverse de l'autre).

Les deux problemes mentionnes avant (satisfaisabilite et determination du reseau mi-nimal) sont NP-complets pour A. Allen [Allen83] a decrit un algorithme de consistance de chemin1 qui, dans le cas present de reseaux de contraintes binaires, est equivalent a la 3-consistance [Montanari74]; un reseau est chemin-consistant si, pour tout chemin du reseau, il existe une instanciation des variables qui satisfait les contraintes sur le chemin; la 3-consistance se limite a un chemin de longueur egale a 3. Il est interessant de no-ter que la formalisation des reseaux de contraintes temporelles (ou TCSP pour Temporal

Constraint Satisfaction Problem) est dierente de celle des problemes de satisfaction de

contraintes (ou CSP pourConstraint Satisfaction Problem); en eet, il existea priori une innite d'instanciations possibles pour les intervalles, mais, intuitivement, un nombre ni de classes d'instanciation equivalentes. En reduisant le domaine de la relation liant deux variables, on limite implicitement le domaine (inni) des valeurs des extremites des inter-valles [vanBeek et al.90]. On peut egalement transcrire un TCSP en CSP en posant que les variables ne sont plus les intervalles, mais les relations entre eux, et que le probleme

1La consistance d'arc est toujours satisfaite dans le cas des reseaux de contraintes temporelles [Lad-kin90, Ladkin et al.94, vanBeek et al.90].

6.2 Raisonner sur le temps 65 a resoudre est de reduire les domaines de ces variables en eliminant progressivement des relations de la disjonction en se basant sur les proprietes de transitivite. Pour plus de renseignements sur les CSP, voir [Freuder78, Mackworth77].

L'algorithme de consistancede chemin decrit par Allen fonctionne de la maniere sui-vante: pour chaque triangle (i;j;k) du reseau de contraintes temporelles, pour chaque ar^ete (i;j) de ce triangle, on remplace la contrainte P

ij par l'intersection de P

ij et de

P ik

oP

k j; cette operation est iteree jusqu'a ce que plus aucune contrainte n'ait ete modi-ee. La gure 6.6 montre le resultat de l'application de l'algorithme au reseau de la gure 6.5. Un reseau chemin-consistant verie:8i;j;k;P

ij P ik oP k j. {p, m} {o, m] {p, m} {o, p, m} {p} I I I I 2 3 4 1

Figure 6.6 - : Reseau chemin-consistant de contraintes temporelles. L'application de l'algorithme de consistance de chemin a permis de reduire le domaine de la relation liantI

1 aI 3.

Une implementation iterative de cet algorithme est en O(n

3); malheureusement, la consistance de chemin n'implique pas m^eme la satisfaisabilite du graphe de contraintes temporelles. En d'autres termes, cet algorithme est bien s^ur correct, mais il n'est pas complet. Allen [Allen83] donne un exemple de graphe consistant mais insatisfaisable (-gure 6.7). Ladkin [Ladkin90] presente une version de cet algorithme utilisant la recherche d'un point xe dans une matrice representant le reseau de contraintes; Nebel et Burckert [Nebel et al.93] donnent un algorithme de calcul de la fermeture reduite d'un reseau  obtenu en inferant toutes les relations possibles a partir du reseau initial en se servant de la relation inverse, de l'intersection et de la composition, puis en prenant parmi toutes les relations entre deux variables la plus forte; le reseau ^ obtenu est chemin-consistant.

Il appara^t donc que la consistance d'un TCSP dans l'algebre d'intervalles A est un probleme NP-complet [Vilain et al.86]. De m^eme, la recherche de l'etiquetage minimum est egalement un probleme NP-complet.

Si par contre, on passe aux sous-algebres des ensembles des relations pointisables, la satisfaisabilite du reseau peut ^etre connue en temps polynomial (c'est egalement vrai pour l'ensemble des relations continues puisque C  P). En particulier, la chemin-consistance (en O(n

3)) assure cette satisfaisabilite [Vilain et al.86]. En fait, il existe m^eme un al-gorithme en O(n

2) qui n'est pas base sur la chemin-consistance et qui verie la satis-faisabilite du reseau [vanBeek90b]. Vilain et Kautz [Vilain et al.86] ont pretendu que la chemin-consistance donnait egalement une solution au probleme d'etiquetage minimum; en realite, van Beek [vanBeek89] a demontre que ce n'etait pas le cas, et a decrit un algo-rithme realisant ce travail en O(n

4). Par contre, cette propriete est vraie pour l'ensemble des relations continues.

I2 I3 I1 I4 {s, m] {s, m} {d, d^} {d, d^} {f, f^} {o}

Figure 6.7 - : Exemple de reseau de contraintes temporelles chemin-consistant mais insatisfaisable. On le voit en instanciant successivement la relation entreI

1et I

4af et f.

Pour terminer sur ce sujet, ajoutons simplement que Nebel et Burckert [Nebel et al.93] ont exhibe le plus grand sous-ensemble de A pour lequel le probleme de satisfaisabilite se resolvait en temps polynomial (en O(n

3) egalement). En consequence, l'etiquetage minimumse resout enO(n

5), car, pour l'algebre de points, le passage d'un reseau chemin-consistant a la resolution du probleme d'etiquetage minimum se fait enO(n

2) [Ladkin90]. De plus, comme cela a deja ete dit, le probleme de satisfaisabilite pour l'ensemble
0

des trois relations fintersecte, disjoint, relation universelleg, est NP-complet [Golumbic et al.93].

Tous ces resultats sont resumes dans le tableau 6.3.

Ensemble Satisfaisabilite Etiquetage minimum

A NP-complet NP-complet H O(n 3) O(n 5) P O(n 2) O(n 4) C O(n 2) O(n 3)
0 NP-complet NP-complet

Tableau 6.3 - :Resume des caracteristiques des problemes classiques de raisonnement temporel pour dierents ensembles.

6.2.2 Raisonnement quantitatif

Nous ne nous attacherons dans cette section qu'aux graphes simplies pour lesquels un seul intervalle appara^t dans le reseau et plus precisement a leur traduction en graphe de distances. Mentionnons juste que la consistance d'un reseau de contraintes temporelles dans le cas general est un probleme NP-complet.

Le cas simplie est directement soluble en O(n

3); l'algorithme de Floyd-Warshall utilise calcule les distances des chemins les plus courts pour tous les couples de nuds du graphe, et permet par la m^eme occasion de verier la consistance du graphe. On obtient au bout du compte les domaines minimaux des variables. L'application de l'algorithme au graphe de la gure 6.4 donne le reseau minimal du tableau 6.4.

6.2 Raisonner sur le temps 67 0 1 2 3 4 0 0 20 50 30 70 [0] [10, 20] [40, 50] [20, 30] [60, 70] 1 -10 0 40 20 60 [-20, -10] [0] [30, 40] [10, 20] [50, 60] 2 -40 -30 0 -10 30 [-50, -40] [-40, -30] [0] [-20, -10] [20, 30] 3 -20 -10 20 0 50 [-30, -20] [-20, -10] [10, 20] [0] [40, 50] 4 -60 -50 -20 -40 0 [-70, -60] [-60, -50] [-30, -20] [-50, -40] [0]

Tableau 6.4 - : Longueurs des chemins les plus courts dans le graphe de distance et reseau minimal. La premiere ligne donne la valeur la plus faible de la contrainte entre deux nuds ; la seconde ligne donne directement l'intervalle de valeurs pour ces deux nuds (on observe alors une symetrie dans les valeurs).

6.2.3 Integration des formalismes

Dans cette section, nous parlerons de deux integrations de contraintes qualitatives et quantitatives, chacune ayant des specicites interessantes. L'inter^et evident d'une telle integration est de disposer de mecanismes de representation et de raisonnement ortho-gonaux qui se completent mutuellement. La premiere integration [Kautz et al.91] denit une double traduction entre l'algebre d'Allen et les relations quantitatives simples de-nies par [Dechter et al.91] (c'est-a-dire en excluant les unions d'intervalles); la seconde [Meiri91] decrit plut^ot un formalisme commun permettant d'y exprimer a la fois des re-lations qualitatives (incluant celles entre intervalles et points et entre deux points) et des relations quantitatives avec union d'intervalles. Neanmoins, ce second formalisme semble moins puissant dans ses capacites deductives comme cela sera montre.

Kautz et Ladkin integrent donc les 213 disjonctions de l'algebre d'intervalles d'Allen

A et les relations quantitatives simples de la forme m  x,y  n ou x et y sont des extremites d'intervalles eventuellement dierents. A partir de deux reseaux de contraintes initiaux, leur algorithme calcule les reseaux minimaux (ou la seule consistance de chemin dans le cas du reseau de contraintes qualitatives, puisque la determination du reseau minimal est un probleme NP-complet) et traduit chacune des relations d'un formalisme dans l'autre, et repete ce processus jusqu'a l'obtention de la stabilite. L'algorithme est precise dans le tableau 6.5.

Il s'agit alors de denir les procedures de traduction d'un formalisme a l'autre en per-dant le moins d'information possible. La traduction des relations du reseau de contraintes quantitatives vers des relations qualitatives est plus compliquee qu'il n'y para^t, car, contrairement a l'intuition premiere, il ne sut pas de considerer les relations impliquant les extremites d'un m^eme intervalle. En eet, si 3< I+

,I,<1et,1< J+

,J,< 2, les relations qualitatives inferees ne contiennent pas celle qui dit que I ne peut pas ^etre pendant J puisque I dure plus longtemps que J. Heureusement, il sut en fait de consi-derer les couples d'intervalles (et non pas n'importe quel n-uplet) pour que les plus fortes contraintes qualitatives soient inferees. L'algorithme quanti ! quali du tableau 6.6 fait ce travail de traduction en O(n3), n etant le nombre d'intervalles.

Algorithme 1

Entrees: un reseau metrique simple M et un reseau de relations entre intervalles A

Sorties: les reseaux M

0 et A 0 impliques par M [A Repeter A 0:=quanti!qual i(M)[A M 0 :=qual i!quanti[M M :=M 0;A:=A 0 Jusqu'a ce queA =A 0 et M =M 0 Rendre A 0 et M 0

Tableau

Reciproquement, la traduction des relations du reseau de contraintes qualitatives vers des relations quantitatives est un probleme NP-complet (pour la simple raison que la consistance du premier est NP-complet et celle du second polynomiale). L'algorithme presente enumere les couples d'intervalles relies par une relation complexe et ne garde que les relations quantitatives de la formex,y <0 consistantes avec chacune des relations atomiques de la relation complexe (tableau 6.7). Malheureusement, cet algorithme n'est complet que si le reseau qualitatif minimal a ete determine, ce qui demande un temps exponentiel.

L'article de Meiri [Meiri91] a pour objectif la denition d'un formalisme qui unie les dierentes representations du temps, a savoir l'algebre d'intervalles d'Allen, l'algebre de points de Vilain et Kautz, ainsi que les relations point-intervalle et point-point, et l'ensemble des relations quantitatives denies par Dechteret al. (en ne se limitant donc pas aux reseaux simples comme precedemment).

La premiere etape de la formalisation consiste en la denition d'une algebre integrant toutes les relations qualitatives, possedant en particulier une table de transitivite com-plete, adjoignant a celles d'Allen et de Vilain et Kautz celle pour les relations entre point et intervalle. La seconde est la determination de regles d'inference permettant de passer de relations qualitatives aux relations quantitatives, et reciproquement. Celles-ci sont tres simples et se limitent a celles impliquant les relations quantitatives et les relations quali-tatives entre deux points (tableau 6.8). En particulier, elles ne semblent pas tenir compte du point souleve avant sur la necessite d'integrer plusieurs relations metriques pour inferer l'ensemble des relations qualitatives impliquees.

La representation de l'ensemble des contraintes, qualitatives ou quantitatives, se fait dans un reseau de contraintes comme celui de la gure 6.8 dans lequel les contraintes entre points ont systematiquementete transformees en contraintes quantitatives gr^ace aux regles du tableau 6.8. De plus, il existe des contraintes internes exprimant que l'origine d'un intervalle commence cet intervalle et que la n le termine.