Application d'algorithmes de raisonnement temporel

or d(P 1 ;P 2 ;P 3):

10. Algorithme de Floyd-Warshall: a partir d'un reseau de contraintes quantitatives sur lesquelles l'additivite est valide, cet algorithme en O(n

3) permet de determiner les intervalles minimaux pour les variables contraintes.

11. Traduction de relations qualitatives en relations quantitatives (Cf. x6.2.3). 12. Traduction de relations quantitatives en relations qualitatives (Cf. x6.2.3).

7.3.3 Application d'algorithmes de raisonnement temporel

Nous avons vu a la section 6.2 des algorithmes permettant de resoudre des problemes classiques en representation du temps. Comment peuvent-ils ^etre utilises ici, vu les carac-teristiques de notre probleme? Pour cela, il faut transformer le probleme initial de maniere a satisfaire les contraintes necessaires a l'utilisation de ces algorithmes. Par exemple, la resolution d'un probleme de contraintes quantitatives en utilisant l'algorithme propose en representation temporelle necessite d'avoir des distances exprimees selon la m^eme orienta-tion (pour que les distances soient additives), et de se placer dans un point de vue unique. Si on met de c^ote pour le moment la question des incoherences, la grande dierence va resider dans l'utilisation des relations de m^eme orientation et d'orientation opposee.

Avant de decrire l'algorithme, nous allons en dresser une ebauche basee sur des trans-formations du probleme, pour se ramener aux conditions des algorithmes de raisonnement temporel.

Relationsqualitatives: D'abord, a partir de l'ensemble des entitesE, on ne considere que celles qui ont des composants, c'est-a-dire dont la fonction desc est non vide sur au moins un point de vue. Ceci permet de partitionner E en sous-ensembles, appeles

^lots, pour lesquels une partie des entites possede la m^eme orientation et une autre partie (disjointe) une orientation opposee (gure 7.3). Il s'agit bien d'une partition car, si une entite appartient a deux de ces ensembles, ils peuvent ^etre fusionnes en un seul, puisque la relation de m^eme orientation est une relation d'equivalence.

L'inter^et de ce traitementest qu'en projetant ces ensemblessur l'ensembledes relations qualitatives orientees, on obtient des ensembles de relations qu'on va pouvoir manipuler comme cela est fait en representation du temps, car les orientations de leur entite de refe-rence seront connues les unes par rapport aux autres. En eet, en construisant une entite ctive e

fict contenant toutes les entites d'un ^lot I et d'orientation xee (disons celle des entites du plus grand sous-^lot I

+), on peut se ramener a des relations qualitatives orien-tees ayant pour seule et unique reference cette entite ctive, en appliquant l'equation 4.12;

7.3 Algorithme de construction de cartes 83 O F O O O O O O O F F F _F F F F Îlots E

Figure7.3 - :Partitionnement du sous-ensemble deEsuivant la relation de m^eme orientation. Comme l'information est incomplete, il subsiste des ^lots independants dont l'orientation par rapport aux autres ^lots n'est pas connue. Pour chaque ^lot, pour chaque couple d'entites de cet ^lot, il existe une relation de m^eme orientation ou d'orientation opposee liant ces deux entites ; reciproquement, pour deux entites de deux ^lots dierents, il n'existe pas de relation d'orientation entre ces entites (car, s'il en existait une, les deux ^lots pourraient fusionner). De plus, pour chaque couple d'entites d'un sous-^lot, la relation les liant est celle de m^eme orientation.

en eet, soite 2I +, la relatione 1 t + e e 2impliquee 1 t + e fict e 2 puisquee ,! !e fict; de m^eme,pour e2I ,, il s'ensuite 1t  + e fict e 2 ,e 2 t + e fict e 1 car e ,! e

fict. On obtient au bout du compte une partition deR

+

q uali basee sur la partition deE. Alors, sur chacun de ces ensembles enrichi des relations qualitatives de R

,

q uali, on peut appliquer des algorithmes de consistance de chemin, de satisfaisabilite ou m^eme d'etiquetage minimum, independamment des autres (gure 7.4). Un avantage de ce procede est qu'il detecte des inconsistances locales aux ensembles de relations, tout en autorisant la poursuite du raisonnement sur les autres ensembles. De plus, tous les developpements (dont certains sont encore du domaine de la recherche) de ces algorithmes pourront ^etre pris en compte dans le raisonnement, en particulier l'ajout et le retrait dynamiques de contraintes, le traitement de contraintes exibles (i.e. non s^ures), l'introduction de contraintes preferentielles, etc.

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e’1 e’2 e’3 e’4 _e’5 I+ I-R R⁺ quali quali -e1 e2 e5 e’3 e’4

Figure7.4 - :Projection des^lots d'orientation relative connue sur l'ensemble des relations qualitatives orientees. L'introduction d'une entite ctive englobant toutes les entites de reference met en evidence un ensemble de relations sur lequel appliquer un algorithme de chemin-consistance, de satisfaisabilite ou d'etiquetage minimum.

gr^ace a la regle d'inference 4 etendue a l'ensemble des relations qualitatives (Cf. tableau 7.11), car elle permet d'engendrer de nouvelles relations d'orientation. On peut alors repeter ce processus jusqu'a ce que la stabilite soit atteinte. La description de l'algorithme detaillera ce mecanisme.

Relations quantitatives: En ce qui concerne les relations quantitatives, en plus du probleme d'orientation s'ajoute celui lie a la decomposition en points de vue. On ne peut

a priori que travailler point de vue par point de vue, a l'exception de l'utilisation de la fonction scal e quand elle existe entre deux unites liees a des points de vue, auquel cas toute relation quantitative nouvelle dans un point de vue est traduite immediatementdans le point de vue associe. Il est donc indispensable avant toute chose de partionner R

q uanti

par point de vue. Ensuite, de m^eme que pour les relations qualitatives ont ete cherches des ^lots de m^eme orientation, de m^eme, le raisonnement sur les relations quantitatives necessite qu'elles s'exprimentselon une direction connue, pour pouvoir appliquer des regles d'additivite.

Pour ce faire, en partant des ^lots precedemment mis en evidence, c'est-a-dire en ne considerant que les positions associees aux entites de l'^lot, plusieurs moyens sont a notre disposition pour conna^tre la disposition de deux positions P

i et P

j liees par la relation quantitative (P i $ P j = [d ij ;i ij]):

 utiliser le tableau 4.4, l'orientation des entitese i ete

j associees aP i etP

j, ainsi que la relation qualitative r qui les lie: en eet, dans le cas le plus complique ou e

i et

e

j sont dierentes, l'enumeration des elements der (qui estapriori une disjonction de relations atomiques) montre siP

i etP

j sont toujours disposees de la m^eme facon par rapport a l'entite ctive de reference;

 utiliser les relations ordre pour en extraire l'ordre des positions;

 utiliser des informations quantitatives pures pour ordonner les positions;

 utiliser la traduction des relations qualitatives en relations quantitatives, ce qui re-vient en fait a ordonner les extremites puisque l'algorithme n'infere que des relations du stylex,y<0 (Cf.x6.2.3).

Une fois l'orientation des relations connue, il est possible d'appliquer le m^eme algo-rithme que celui utilise en representation du temps (gure 7.5). Nous verrons dans la description de l'algorithme general (Cf. x7.3.4) le detail du fonctionnement de ces meca-nismes.

Relations qualitatives et relations quantitatives vont pouvoir ^etre aisement integrees, car l'ordonnancement des positions est issu des entites pour lesquelles l'orientation relative de l'une par rapport a une autre est connue, puisqu'elles appartiennent au m^eme ^lot; par consequent, les positions utilisees sont les extremites des entites qui ont ete traitees precedemment.

Enn, gr^ace aux nouvelles relations de R

car to inferees, il sera possible de determiner de nouvelles relations d'orientation qui pourront entra^ner la fusion d'^lots deR

7.3 Algorithme de construction de cartes 85 Point de vue 2 Point de vue 3 Point de vue 4 Point de vue 5 Point de vue 6 Point de vue 1 ? ? ? quanti Îlot R

Figure

q uanti, on utilise les inferences enoncees precedemment pour ne garder que les relations quantitatives qui satisfont la propriete d'additivite c'est-a-dire celles dont la position relative des points en relation est connue. Alors, chaque ensemble de relations qualitatives de-nit un reseau de contraintes quantitatives ou les distances sont additives et sur lequel on peut appliquer l'algorithme de Floyd-Warshall.

Integration des formalismes qualitatif et quantitatif: