Raccordement du squelette (1D) au volume (3D)

Le modèle converti, qui comme illustré ci-dessus contient à la fois une partie filaire et une partie volumique, soulève la question du raccordement des deux parties. Conserver l’avantage de la réduction de la dimension du modèle, du nombre et du type d’éléments du maillage, aussi bien que celui de la rapidité de calcul, demande une méthode de connexion appropriée. Cette dernière doit être automatique pour notamment permettre l’automatisation du processus global d’interprétation. Pour y arriver, des mini-poutres [133, 134] sont utilisées.

Une mini-poutre est une poutre de section infiniment rigide servant de connexion entre deux composantes [134]. Les mini-poutres servent à assurer la continuité des degrés de liberté entre les éléments 1D et 3D, comme le montre la Figure 4-22, où des mini- poutres ont été introduites sur tous les segments arrivant au nœud de raccord (nœud commun aux mini-poutres et à la poutre principale). À l’exception du nœud de raccord qui est un joint rigide, les nœuds d’extrémité des mini-poutres (8 nœuds sur la Figure 4-22) sont des joints de type rotule. Ainsi, les rotations de la poutre principale sont transmises aux nœuds du volume sous forme de translations par les mini-poutres et la transmission des déplacements est assurée à l’aide des rotules. L’ensemble mini-poutres et poutre principale forme un tout rigide à travers le joint rigide, ce qui élimine l’effet rotule global et assure le transfert du moment de flexion [134].

Figure 4-22 : Illustration de l’ajout de mini-poutres (inspirée de [134]).

À notre connaissance, les mini-poutres ont été introduites dans les travaux de Craveur et al. [133]. Leur utilisation dans ce projet revêt un triple intérêt. Premièrement, elles permettent de contourner les problèmes d’assemblage entre les maillages des 2 parties 1D et 3D (poutres pour la partie linéique et tétraèdres pour la partie volumique). Deuxièmement, l’on s’en sert également pour passer outre le problème de compatibilité entre les degrés de liberté puisque chaque nœud d’un élément tétraédrique linéaire possède 3 degrés de liberté qui sont les 3 translations, alors que chaque nœud d’un élément poutre à 2 nœuds possède 6 degrés de liberté qui sont les 3 translations et les 3 rotations.

Troisièmement, elles assurent la transmission de toutes les translations et de toutes les rotations à la connexion entre les éléments poutres et les éléments tétraédriques.

Les mini-poutres offrent l’avantage de ne pas nécessiter un solveur particulier. Elles ne requièrent pas d’ajustement du maillage. Ces ajustements comprennent par exemple le fait d’ajuster la taille du maillage de manière à générer les nœuds aux endroits propices, ou encore le fait d’insérer directement des nœuds à l’intersection et lors du remaillage local. Elles ne requièrent pas non plus de modifications de la géométrie (par exemple, lors de l’insertion d’un sommet à chaque point d’intersection avec une entité de façon à garantir sa présence après le maillage pour la connexion). Pour finir, la mise en œuvre des mini- poutres ne nécessite pas l’ajout d’éléments finis particuliers (exemple des éléments volumiques avec degrés de liberté en rotation) ni l’addition d’équations supplémentaires pour l’analyse ou pour contraindre le maillage [134].

La Figure 4-23 présente le principe de raccordement. Pratiquement, l’on détermine tout d’abord les nœuds d’extrémité de toutes les poutres à raccorder avec la partie volumique (ou de non-design). Par la suite, les triangles communs à la partie optimisée (en jaune sur la Figure 4-4a) et à la partie de non-design (en vert sur Figure 4-4c) sont également déterminés. Ces triangles sont en vert sur la Figure 4-25 (voir aussi Figure 4-6). À partir des triangles communs, l’on déduit les nœuds communs qui ne sont rien d’autre que les nœuds des triangles communs. En considérant que le nœud d’extrémité de la poutre est situé sur son axe neutre, un raccord est effectué entre ce dernier et le nœud commun le plus proche sur la surface du volume. Deux configurations sont à distinguer : le raccordement par nœuds et le raccordement par triangles.

Lors du raccordement par nœuds, des mini-poutres sont introduites sur toutes les arêtes ayant en commun le nœud de raccord. Ceci est illustré sur la Figure 4-24, où les zooms D1 et D2 montrent les mini-poutres du même nœud de raccord avec (pour D1) et sans (pour D2) non-design. Sur cette figure l’on remarque facilement, pour le raccord mis en relief, la création de 5 mini-poutres à la surface du tablier du modèle de référence, pour un total de 49 mini-poutres pour tout le modèle.

Par contre, lors du raccordement par triangles (voir Figure 4-25), les mini-poutres sont introduites non seulement sur toutes les arêtes auxquelles le nœud de raccord appartient, mais également sur toutes les arêtes des triangles communs aux éléments du

non-design et ceux optimisés. Pour ce faire, l’on procède en deux étapes. On commence

par identifier tous les triangles qui appartiennent à la fois à un tétraèdre optimisé, autrement dit un tétraèdre retenu à l’aide de 𝜌_{𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙} pour constituer le modèle optimisé adapté, et à un tétraèdre du non-design (voir zoom D3 Figure 4-25 et les parties en vert sur la Figure 4-6). Par la suite, des mini-poutres sont ajoutées (voir zoom D4 Figure 4-25) à cette interface. Dans le cas spécifique du modèle de cas test, l’on constate que pour le même raccord mis en évidence précédemment (Figure 4-24), le nombre de mini-poutres est passé de 5 à 34, et le nombre total de mini-poutres du modèle converti de 49 (Figure 4-24) à 241 (Figure 4-25). Ceci donne une moyenne de 30 mini-poutres par

zone de raccordement par triangles, comparativement à 6 mini-poutres pour le raccordement par nœuds.

Figure 4-24 : Illustration du raccordement par nœuds avec les mini-poutres.