Résultats avec le raccordement par triangles

Les Figure 4-32 et Figure 4-33a présentent respectivement les répartitions de l’énergie de déformation par élément (en 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠) et la norme du vecteur déplacement (en 𝑚𝑚) obtenues après l’étude multidimensionnelle pour le raccordement par triangles. La Figure 4-33b illustre la forme de la déformée où un facteur de 2000 a été appliqué.

Figure 4-32 : Répartition de l’énergie de déformation par élément 1D et 3D avec raccordement par triangles (Figure 4-25).

Dans ce cas, le déplacement maximal observé est 𝜃₂ = 0,52𝑚𝑚 et la valeur maximale de l’énergie de déformation est 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠2= 1,11 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠. La compliance du modèle converti

que l’on en déduit est 𝐶_{𝑐𝑜𝑛𝑠2} = 335 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠.

Figure 4-33 : (a) Norme du vecteur déplacement (en 𝑚𝑚) et (b) déformée (déplacement × 2000) de la structure avec raccordement par triangles.

La Figure 4-34 met en lumière la répartition des contraintes signées minimale et maximale 𝜎𝑥 dans les poutres. Pour chaque élément de poutre, cette contrainte cumule la

contrainte axiale et les contraintes de flexion.

La Figure 4-35 présente les contraintes de cisaillement 𝜏_𝑥𝑦 et 𝜏_𝑥𝑧. Toutes ces contraintes sont calculées dans le repère local de la poutre. La contrainte maximale en valeur absolue est |𝜎_𝑥2| = 1,620 𝑀𝑃𝑎. Elle apparaît dans les poutres transversales, au

niveau des jonctions. Dans ce cas également, cette contrainte est plus dominante, comparativement à la contrainte de cisaillement maximale qui est |𝜏𝑥𝑦2| = 0,024 𝑀𝑃𝑎.

Figure 4-34 : Distribution des contraintes (a) minimale et (b) maximale dans les poutres avec raccordement par triangles.

Comme dans le cas du raccordement par nœuds, la Figure 4-36 présente la répartition de la contrainte de Von Mises 𝜎𝑉𝑀𝐼𝑆2 dans la partie volumique. On note que la

contrainte maximale est 𝜎_{𝑉𝑀𝐼𝑆2} = 1,850 𝑀𝑃𝑎 qui est très comparable à la contrainte maximale dans les poutres |𝜎𝑥2| = 1,620 𝑀𝑃𝑎, et que la zone la plus sollicitée se trouve

sous le tablier, au niveau de la zone de contact entre le tablier et la culée. Les efforts ne sont donc pas transmis de la même façon pour les deux types de raccords (voir Figure 4-31 et Figure 4-36), et la contrainte est plus élevée lors du raccordement par nœuds.

Figure 4-35 : Répartition des contraintes de cisaillement (a) 𝜏_𝑥𝑦 et (b) 𝜏_𝑥𝑧 dans les poutres avec raccordement par triangles.

Figure 4-36 : Répartition de la contrainte de Von Mises dans le volume avec raccordement par triangles.

4.6 Récapitulatif des résultats

Dans le Tableau 4-1 est consigné un récapitulatif des caractéristiques du squelette et les valeurs des différents volumes et compliances. On constate une perte de volume entre le modèle converti (𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠 = 18,08 𝑚3) et le modèle optimisé adapté (𝑉𝑜𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 =

19,50 𝑚3_{). Moins de volume équivaut à moins de matière, et donc à une augmentation de}

la compliance (ou diminution de la rigidité).

Tableau 4-1 : Récapitulatif des résultats du modèle avant et après conversion. Caractéristiques du squelette

Nombre de points de jonction 4

Nombre de points d’extrémité 8

Nombre de segments (avant normalisation) 127

Nombre total de poutres droites 10

Volume optimisé (non-design exclu) (𝒎𝟑)

Volume total initial : 𝑉_𝑑 390,60

Volume objectif : 𝑉_{𝑜𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓} 19,50

Volume après lissage : 𝑉_{𝑙𝑖𝑠𝑠𝑒} 19,05

Volume construit : 𝑉_{𝑐𝑜𝑛𝑠} 18,03

Rapport 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠⁄𝑉𝑜𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 92 %

Compliance de la structure (𝑱𝒐𝒖𝒍𝒆𝒔)

Raccord par nœuds

(49 mini-poutres) Raccord par triangles (241 mini-poutres) Compliance effective après AEF 3D : 𝐶_𝑒𝑓𝑓 292 𝐽 292 𝐽

Compliance après AEF 1D-3D : 𝐶_{𝑐𝑜𝑛𝑠} 352 𝐽 335 𝐽

Ratio 𝐶_{𝑐𝑜𝑛𝑠}⁄𝐶_𝑒𝑓𝑓 121 % 115 %

Contrainte (𝑴𝑷𝒂)

Contrainte maximale |𝜎𝑥| 1,600 1,620

Contrainte tangentielle |𝜏_𝑥𝑦| 0,020 0,024

Les résultats de ce tableau révèlent aussi que les contraintes tangentielles peuvent être négligées devant la contrainte maximale. Cette dernière tient compte des contributions de l’effort normal suivant l’axe de la poutre : 𝜎_𝑁 = 𝑁 𝐴⁄ et des moments de flexion suivant 𝑌 : 𝜎𝑀𝐹𝑦 = 𝑧 ∙ 𝑀𝐹𝑦⁄ et 𝑍 : 𝜎𝐼𝑦 𝑀𝐹𝑧 = −𝑦 ∙ 𝑀𝐹𝑧⁄ , avec pour chaque poutre considérée, 𝐼𝑧

𝑦 = 𝑧 = rayon de la section de la poutre [135]. Dans cet exemple, la contribution de l’effort normal est la plus significative comparée à celle des moments de flexion. On obtient en l’occurrence les valeurs maximales suivantes dans le cas du raccordement par triangles : |𝜎_𝑁| = 1,50 𝑀𝑃𝑎, |𝜎_𝑀𝐹𝑦| = 0,66 𝑀𝑃𝑎 et |𝜎_𝑀𝐹𝑧| = 0,85 𝑀𝑃𝑎, comme le montre la Figure 4-37.

En outre, relevons que la distribution des contraintes fournit au concepteur une autre possibilité de validation, notamment au regard d’une contrainte maximale admissible.

Figure 4-37 : Répartition des contraintes (a) normale et (b), (c) de flexion dans les poutres avec raccordement par triangles.

Les compliances construites sont 𝐶_{𝑐𝑜𝑛𝑠1} = 352 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 et 𝐶_{𝑐𝑜𝑛𝑠2} = 335 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠, respectivement après raccordement par nœuds et par triangles. De l’un à l’autre, l’on constate que la compliance du modèle converti est plus faible lors du raccordement par triangles. Ceci paraît logique, à cause de la nature même du raccord qui est avec un seul nœud (ajout d’environ 5 mini-poutres par zone de raccord) d’un côté, contre les nœuds de plusieurs triangles (ajout d’environ 30 mini-poutres par zone de raccord) de l’autre côté. De plus, en observant ces compliances par rapport à la compliance globale 𝐶̃ = 452 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠, on aurait l’impression que le modèle converti serait plus rigide que le modèle optimisé adapté, alors que la réalité est tout autre. En effet, comme évoqué au début de cette sous-section, la compliance globale à la fin de l’optimisation topologique est affectée par la densité de matière 𝜌. Le module d’Young et par conséquent la rigidité de la structure sont également influencés par la densité de matière, alors que de son côté, l’analyse par éléments finis du modèle converti est effectuée en utilisant un module d’Young constant. Ainsi, cette compliance globale est une valeur artificielle qui n’a pas de sens physique. C’est pour cette raison qu’une analyse par éléments finis 3D du modèle optimisé adapté, en utilisant cette fois un module d’Young constant, a été effectuée.

La Figure 4-38 renseigne sur la répartition de l’énergie de déformation par élément du modèle optimisé adapté après une analyse par éléments finis 3D avec uniquement des éléments tétraédriques, en utilisant un module d’Young constant (𝐸 = 69 𝐺𝑃𝑎, égal au module d’Young du matériau initial) et les mêmes conditions mécaniques que le problème initial (voir sous-section 3.3.1). Ce modèle est utilisé pour valider la structure convertie en assemblage de poutres. La compliance effective obtenue à partir de cette énergie de déformation est 𝐶_𝑒𝑓𝑓 = 292 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠. La différence entre les compliances construites 𝐶_{𝑐𝑜𝑛𝑠1} et 𝐶_{𝑐𝑜𝑛𝑠2} et celle effective est manifeste, et établit qu’en réalité, le modèle converti sous forme d’une structure de poutres droites est plus flexible que le modèle optimisé adapté, sans toutefois l’altérer.

Figure 4-38 : Répartition de l’énergie de déformation dans les éléments du modèle optimisé adapté après AEF 3D de ce dernier.

4.7 Conclusion

Dans ce chapitre, une nouvelle méthodologie de transformation automatique en modèles CAO des résultats d’optimisation topologique lorsque ces derniers tendent vers des structures composées de poutres a été présentée. Le processus global commence par la conversion du modèle optimisé adapté en une structure constituée de poutres cylindriques. Durant ce processus, la partie de non-design demeure intacte. Le modèle converti est ensuite validé par une étude multidimensionnelle. Après application sur un exemple illustratif (voir Figure 4-39), plus de 90 % du volume objectif et 115 % de la compliance effective ont été retrouvés. Le modèle CAO obtenu de cette façon est une bonne approximation du modèle optimisé, mais sous une forme facilement manipulable et fabricable, contrairement à l’enveloppe irrégulière de la forme optimisée.

L’écart constaté entre les compliances des modèles converti et optimisé adapté est une des faiblesses de la présente approche. Ajouté à celle-ci le fait que le modèle CAO résultant ne soit pas symétrique, bien que le problème initial le soit. En terminant, la méthodologie proposée utilise les méthodes de lissage et de squelettisation conçues, pour la plupart, dans des contextes différents de l’optimisation topologique. Ladite méthodologie va maintenant être testée sur différentes structures dans le chapitre suivant.

Figure 4-39 : Illustration (a) du résultat de l’optimisation par la méthode SIMP adaptative et (b) du modèle CAO converti.