Interprétation par approximation géométrique

Moins complexes que les méthodes précédentes, l’interprétation d’un modèle optimisé en utilisant des primitives (forme simple généralement 2D telle que le carré, le triangle, le cercle, etc.) consiste à faire correspondre les frontières et les singularités de la forme optimisée avec une forme géométrique simple. Ceci s’effectue directement à partir du modèle optimisé par sélection, projection 2D, extraction, puis approximation avec une forme simple de la singularité à représenter [49]. Cette approche est en fait une adaptation en 3D du modèle 2D introduit par Lin et Chao [50] pour le traitement d’images.

En effet, comme proposé par les auteurs, pour créer une primitive 2D, une forme générique et convexe est dessinée, puis la distance et l’angle entre un point de référence à l’intérieur de la forme et sa frontière sont mesurés. Ceci est répété pour tous les points de la frontière de la primitive pour différentes valeurs de l’angle. Une carte polaire de la forme peut alors être représentée graphiquement comme le montre la Figure 2-13.

Figure 2-13 : Cartes polaires de quelques primitives (tirée de Lin et al. [50]).

Le choix de la primitive adéquate pour faire correspondre la forme approximée peut se faire à l’aide du schéma d’erreurs développé par Blattmann et al [51]. Ce schéma classe les primitives par ordre croissant de complexité et donne par le fait même un critère de choix au concepteur (voir illustration Figure 2-14). Il reste néanmoins à noter que ce dernier est libre de concevoir des primitives et les cartes polaires correspondantes en fonction du niveau de complexité de la pièce qu’il voudrait représenter.

Le modèle solide est obtenu par approximation des contours et singularités avec des primitives. Le principe consiste à sélectionner manuellement les nœuds des frontières et des singularités, les projeter dans l’espace 2D sous forme de nuage de points, faire une approximation du nuage et dessiner la carte polaire correspondante. Cette carte est ensuite comparée avec celle des formes simples pour choisir la plus appropriée. Le processus détaillé, illustré sur la Figure 2-15, est le suivant :

a. Problème d’optimisation b. Résultat triangulé

c. Sélection manuelle des nœuds des singularités d. Surface sélectionnée

e. Projection du nuage de points de la surface f. Approximation des points du nuage g. Point de référence et carte polaire h. Comparaison de la carte des primitives i. Choix de la primitive triangle

j. Choix de la primitive quadrilatère k. Choix de la primitive pentaèdre l. Choix de la primitive la plus adéquate

Cependant, cette méthode semi-automatique est difficile à généraliser en 3D, étant donné que des primitives en 2D peuvent donner lieu à une multitude de formes en 3D, en plus des possibilités de combinaison. Des sections sont également à prévoir dans le cas où l’on aurait par exemple des trous non débouchant. De plus, le modèle solide obtenu semble plus facile à manipuler, contrairement aux données non intuitives (vecteur nœud, poids, points et polygone de contrôle, etc.) des B-Splines. En outre, le fait de devoir créer des primitives en fonction de la complexité du modèle à approximer constitue une des faiblesses de la méthode en raison de sa difficulté d’adaptation et d’automatisation en 3D.

Figure 2-15 : Interprétation d’un résultat d’optimisation par des primitives (tirée de Larsen et al. [49]).

Chou et al. [52] dans leurs travaux ont recommandé de remplacer les caractéristiques géométriques évaluées pour effectuer les correspondances avec les primitives, par des formes polygonales en première approximation des trous dans le modèle optimisé. On procède ensuite à l’optimisation géométrique du modèle paramétrique obtenu.

Dans le même ordre d’idée, Papalambros et al. [6], en utilisant les techniques d’interprétation d’images en 2D, ont proposé un processus de conception en 3 modules. Le premier module est celui de l’optimisation par la méthode d’homogénéisation. Le résultat obtenu, sous forme d’image en niveaux de gris, est transféré dans le second module d’interprétation dans lequel le modèle est lissé, puis la frontière et les trous internes sont paramétrés à l’aide des formes simples (exemples : triangles et cercles). Le processus se termine au dernier module qui consiste en l’optimisation géométrique et paramétrique du résultat obtenu à la sortie du second module.

Chirehdast et al. [8] ont procédé à l’amélioration de cette méthode en faisant une claire séparation entre les résultats d’optimisation de type volumique et ceux composés de poutres. Dans le premier cas, la frontière et les trous du modèle optimisé sont détectés sous forme d’arêtes. Ces derniers sont par la suite lissés et transformés en B-Splines. Le résultat est donc remaillé afin de procéder à l’optimisation paramétrique. Dans le second cas, ils proposent d’extraire le squelette de la forme optimisée, de le convertir en un modèle géométrique et enfin de procéder à l’optimisation géométrique.

L’idée d’utiliser le squelette pour reconstruire un modèle optimisé composé de poutres a été, à notre connaissance, pour la première fois introduite par Bremicker et al. [7]. Ces derniers ont proposé, après optimisation topologique, de procéder à un seuillage afin d’obtenir un résultat binaire solide-vide. L’axe médian, squelette de ce résultat qui permet de saisir ses caractéristiques géométriques, est extrait et élagué de façon à avoir une représentation plus affinée. Le modèle est enfin reconstruit sous forme de lignes droites suivant un ensemble de règles précises, comme l’illustre la Figure 2-16.

Toutefois, les mêmes remarques que celles formulées précédemment demeurent. En effet, ces techniques sont limitées aux modèles 2D. De plus, elles nécessitent l’application d’une nouvelle optimisation, soit l’optimisation géométrique, qui est en soi une méthode d’optimisation de formes. Dans le cas particulier des structures composées de poutres, on constate que le potentiel de fabrication est pris en compte dans la transformation en modèle CAO, mais qu’aucune validation du modèle reconstruit n’est effectuée.

Figure 2-16 : Interprétation d’un modèle optimisé à l’aide du squelette. (a) Problème initial, (b) solution optimisée, (c) squelette (axe médian) et (d) modèle reconstruit avec 8

bars (tirée de Bremicker et al. [7]).