R´esultats

A chaque pas de temps l’incr´ement de champs magn´etique δB ajout´ee `a chaque cellule du r´eseau est une variable al´eatoire prenant les valeurs 0, 1, ou −1 avec

Fig. 3.5 – D´ependance de la longueur de corr´elation en fonction du seuil de dissipation pour les deux m´ecanismes de dissipation. La r´esistivit´e anormale est repr´esent´ee par des triangles et la reconnexion par des losanges.

Fig. 3.6 – Distribution typique du champ magn´etique en ´echelle lin´eaire en haut et log-log en bas `a t = 6.104. Dissipation par reconnexion pour j_max = 5. Les pointill´es repr´esentent la Gaussienne la mieux ajust´ee.

une probabilit´e ´egale. Ainsi, sans dissipation, le champ magn´etique dans chaque cellule ex´ecuterait un mouvement Brownien. La dissipation par les m´ecanismes de r´esistivit´e anormale ou de reconnexion peut modifier ce comportement. Ici nous pr´esentons trois s´eries de r´esultats calcul´es pour les mˆemes conditions : taille de

Fig. 3.7 – Evolution temporelle des moments (moyenne, variance et kurtosis) du champ magn´etique. Le m´ecanisme de dissipation correspond `a la reconnexion. Les grandes valeurs de kurtosis par rapport au cas de la r´esistivit´e anormale indiquent des d´eviations fortes par rapport `a la Gaussiannit´e. Les pics du kurtosis sont corr´el´es avec l’augmentation de la variance de l’´energie dissip´ee.

Fig. 3.8 – La corr´elation spatiale des champs magn´etique en ´echelle log-log (t = 7.9 × 104). A ce moment, le kurtosis du champ magn´etique a une tr`es grande valeur et un grand d´egagement d’´energie se produit (voir la figure 3.7). La pente est approximativement ´egale `a 0.40.

128 × 128, t_max = 105, j_max= 5.

Fig. 3.9 – Distribution de l’´energie dissip´ee en ´echelles lin´eaire et log-log. Dissipation par reconnexion, pour j_max = 5. La ligne en pointill´es correspond `a la Gaussienne la mieux ajust´ee.

Fig. 3.10 – Filtrage des ´energies plus basses qu’un certain seuil pour la dissipation par reconnexion. S´erie temporelle de l’´energie dissip´ee et son spectre de puissance.

deux cellules du r´eseau exc`ede le seuil, il est dissip´e et les champs magn´etiques dans ces cellules voisines prennent une valeur ´egale `a leur moyenne. Ce crit`ere est appliqu´e `a chaque pas de temps, apr`es l’action de la source sur la grille enti`ere. Le crit`ere de dissipation est appliqu´e jusqu’`a ce que tous les courants soient dissip´es. Le calcul est relanc´e avec application de la source pour le pas de temps suivant.

Fig. 3.11 – PDF de la dissipation d’´energie filtr´ee. Les pointill´es correspondent `a la Gaus-sienne la mieux ajust´ee.

Fig. 3.12 – Le spectre de puissance d’´energie dissip´ee totale.

Dans une large gamme de seuils j_max, de 0.1 `a 100, la distribution de l’´energie dissip´ee est une Gaussienne ou a une enveloppe Gaussienne (pour les grandes valeurs du seuil). C’est ´egalement le cas de la distribution des champs magn´etiques instantan´es (voire figues 3.2, 3.3).

Des structures de courte dur´ee de vie peuvent apparaˆıtre et disparaˆıtre dans le processus de simulation. Malgr´e l’interaction entre cellules voisines dues `a la dissi-pation, les propri´et´es statistiques du syst`eme ressemblent au mouvement Brownien qui pr´evoit des distributions Gaussiennes. La dissipation limite donc l’amplitude du champ magn´etique et de l’´energie dissip´ee. Cependant, elle ne semble pas dans ce cas introduire un couplage fort entre les cellules. L’´evolution temporelle des moments des champs magn´etiques calcul´es `a chaque pas de temps sur la grille (la moyenne, la variance, le skweness –ou moment normalis´e d’ordre 3– et le kurtosis –moment normalis´e d’ordre 4) montrent qu’`a tout moment la distribution de B

est proche d’une Gaussienne (figure 3.3). En effet, le skewness et le kurtosis sont proches de 0.

Le faible couplage entre cellules semble confirm´e par les corr´elations spatiales du champ magn´etique, qui d´ecroissent exponentiellement (figure 3.4).

Cependant, quantitativement, certaines fonctions d´ependent du seuil choisi. Par exemple, la longueur de corr´elation diminue avec j_max (figure 3.5).

La condition suppl´ementaire que la dissipation ne peut se produire que si les champs voisins ont des signes oppos´es, provoque une augmentation des lon-gueurs de corr´elation (voir figure 3.5). Avec les deux m´ecanismes de dissipation, les corr´elations spatiales sont exponentielles. Quoique les corr´elations spatiales moyenn´ees soient toujours exponentielles (la longueur moyenne caract´eristique est 14). Cependant de fortes diff´erences d’amplitude du kurtosis du champ magn´etique apparaissent. Le kurtosis est beaucoup plus grand en moyenne que dans le pre-mier cas, mais ce qui est plus important encore est qu’il montre de grands pics atteignant des valeurs sup´erieures `a 10 (figure 3.6), montrant que par instants, le champ magn´etique poss`ede une distribution fortement non-Gaussienne et atteint des valeurs tr`es sup´erieures `a sa d´eviation standard (figure 3.7).

Pendant ces pics de kurtosis, les corr´elations spatiales prennent une forme en loi de puissance (figure 3.8), indiquant de longues corr´elations spatiales.

Apr`es le lib´eration d’´energie, le syst`eme se relaxe et les corr´elations deviennent de nouveau exponentielles. De tels pics de kurtosis sont souvent associ´es aux sur-sauts de variance (hB2i), i.e. `a la dissipation d’´energie. L’´energie totale dissip´ee `a

chaque instant s’´ecarte aussi de la Gaussienne, et de petites d´eviations en forme de loi de puissance sont visibles dans des queues des distributions (figure 3.9).

Il faut noter que la comparaison des observations exp´erimentales avec des mod`eles th´eoriques n’est pas une tˆache facile. La sensibilit´e des instruments peut ajouter des ambigu¨ıt´es suppl´ementaires. Les exp´eriences ne peuvent pas distinguer les micro- ou nano´eruptions d’´energie trop petite.

Pour nous rapprocher des conditions exp´erimentales, nous avons filtr´e les d´ega-gements d’´energie trop petits. Pour ce but, les ´energies inf´erieurs `a un certain seuil (E<sub>min</sub>) ont ´et´e remplac´ees dans la s´erie temporelle. Les valeurs inchang´ees (mesurables) correspondent aux grands ´ev´enements dissipatifs, dans le cas o`u B a g´en´eralement un grand kurtosis (figure 3.7) et des corr´elations spatiales en loi de puissance (figure 3.8). La s´erie temporelle obtenue et son spectre en loi d’´echelle sont visibles sur la figure (figure 3.10). Voir pour le comparaison le spectre de puissance d’´energie totale sur la figure 3.12.

3.11), bien que la totalit´e de l’´energie ait une distribution diff´erente. Cette ana-lyse montre que la comparaison entre observations exp´erimentales et les mod`eles th´eoriques doit ˆetre effectu´ee avec beaucoup d’attention.

3.1.2 R´esum´e. Comparaison avec la SOC

Dans ce paragraphe nous nous sommes int´eresse `a la possibilit´e de cr´eer des corr´elations spatiales longues par des processus des petites ´echelles. La deuxi`eme question examin´ee est la liaison entre les propri´et´es spatiales du champs magn´etique (conditionn´ees par les sources et les diff´erents m´ecanismes de dissipation) et l’´energie dissip´ee en temps. Les deux points marquant qui ressortent de cette analyse sont :

– Quand le champ magn´etique est produit en ajoutant des valeurs al´eatoires de l’ensemble {−1, 0, 1} et que le processus de dissipation a lieu quand le courant est plus grand qu’un certain seuil (le courant critique), le syst`eme ne montre pas de signature d’un comportement auto-organis´e, et sa dyna-mique est tout `a fait semblable au mouvement Brownien (la plupart des corr´elations spatiales sont exponentielles, les densit´es de probabilit´es du champ magn´etique aussi bien que de l’´energie dissip´ee est Gaussienne). Il n’y a aucun ´ev´enement de dissipation semblable `a une avalanche dans le syst`eme. Cependant, quelques points brillants et des petites structures de dur´ee de vie courtes sont observ´es.

– Dans le mˆeme syst`eme, o`u on impose en plus la condition de reconnexion pour obtenir une dissipation (dissipation permise uniquement si les champs dans des cellules adjacentes ait des signes oppos´ees), on observe des corr´elations spatiales plus longues et une forte d´eviation de la distribution de l’´energie dissip´ee par rapport `a la Gaussienne aux hautes ´energies. Les corr´elations spatiales montrent des d´ependances en loi de puissance pendant les grands d´egagements d’´energie et elles diminuent en devenant exponentielles quand il n’y a aucun grand d´egagement dans le syst`eme. La distribution du champ magn´etique dans l’espace est la plupart du temps fortement non-Gaussienne. La g´en´eration de grandes corr´elations est due `a la possibilit´e de l’existence de grands courants qui apparaissent `a cause de la condition de reconnexion impos´ee au syst`eme. La queue de la distribution de l’´energie dissip´ee montre des caract´eristiques en loi de puissance.

Dans les deux cas, la longueur caract´eristique moyenne d´ecroˆıt avec l’augmen-tation du seuil de dissipation.

En filtrant les ´ev´enements de faible ´energie, la distribution suit une loi de puissance et pr´esente aussi un spectre en loi de puissance.