5.2 La dynamo turbulente
5.2.1 Principe de l’effet α
La production de champ magn´etique par le plasma dans la zone de convection a ´et´e mentionn´ee plusieurs fois dans cette th`ese comme la source des champs magn´etiques coronaux et solaire. Il est donc important de discuter le m´ecanisme de production de champ magn´etique par les mouvements convectifs du plasma, ou m´ecanisme de dynamo (Moffatt, 1978 ; Zeldovich et al., 1983). La dynamo peut encore intervenir directement dans l’´evolution des champs magn´etiques de la basse couronne, et non seulement comme source. C’est donc un effet qu’il peut ˆetre int´eressant d’introduire dans notre mod`ele.
Le probl`eme de la g´en´eration de champ magn´etique par les ´etoiles ou les plan`etes magn´etis´ees est un probl`eme ancien mais encore non compl`etement r´esolu. L’origine la plus largement accept´ee aujourd’hui est la convection du plasma, d’ori-gine thermique et gravitationelle, mˆeme si une d´emonstration rigoureuse de la pos-sibilit´e de dynamo par le plasma est toujours attendue. Des progr`es importants dans la compr´ehension des dynamos solaire et terrestre ont ´et´e accomplis par Par-ker (ParPar-ker, 1955) et Steenbeck, Krause et Radler (Steenbeck et al., 1966). Ils ont propos´e un m´ecanisme connu sous le nom d’effet α dont l’origine est la vorticit´e du plasma.
Comme d’habitude, on suppose que l’´evolution du champ magn´etique est donn´ee par l’´equation d’induction
∂B
∂t = ∇ × (V × B) + ν∆B (5.1)
L’effet α appartient `a la cat´egorie des dynamos cin´ematiques, o`u le champ de vitesse V est impos´e (l’autre type de dynamo, la dynamo MHD, consid`ere le couplage des champs de vitesse et magn´etique). C’est donc en quelque sorte un probl`eme lin´eaire, dont le but est de montrer la croissance d’une ”graine” initiale de champ magn´etique.
(Steenbeck et al., 1966) ont introduit une ”´electro- dynamique de champ moyen”, en s´eparant, d’une part, un champ magn´etique de grande ´echelle et, d’autre part, des fluctuation turbulentes de petite ´echelle. On ´ecrit alors
B = hBi +B0 V = hVi +V0
o`u h•i d´enote la moyenne d’ensemble sur diff´erentes r´ealisations de la turbulence, et le 0 d´enote la partie rapidement fluctuante. En introduisant cette notation dans l’´equation d’induction 5.1, on obtient
∂B ∂t +
∂B0
∂t = ∇×(hVi × hBi + V
0× hBi + hVi ×B0+ V0×B0)+ν (∆ hBi + ∆B0) . En prenant la moyenne d’ensemble de cette ´equation, et en utilisant le fait que
hV0i = hB0i = 0, on obtient l’´equation d’induction pour le champ moyen ∂ hBi
∂t = ∇ × (hVi × hBi + E) + ν∆ hBi (5.2)
o`u E = hV0×B0i est la force ´electromotrice (fem) moyenne. Cette ”fem” ´etant
une moyenne sur les fluctuations turbulentes, elle peut ˆetre parall`ele au champ magn´etique moyen hBi, contrairement `a la ”fem” normale qui est toujours per-pendiculaire au champ magn´etique. C’est pr´ecis´ement cette ”fem” parall`ele qui permet l’effet dynamo, comme nous allons le montrer.
Par la suite, nous allons seulement consid´erer hBi, et pour all´eger la notation nous allons supprimer les crochets. En dynamo cin´ematique, E est une fonction de B que l’on peut d´evelopper localement en s´erie de Taylor
Ei =X j αijBj +X j,k βijk ∂Bj ∂xk.
En supposant la turbulence parfaitement isotrope, la ”fem” s’exprime par
E = αB − β∇ × B. (5.3)
C’est le premier terme de cette expression qui est responsable du courant parall`ele. La constante α est donn´ee par
α = −τc
3 hV
o`u τc est un temps caract´eristique de corr´elation de la turbulence. La quantit´e entre crochets ´etant l’h´elicit´e du fluide, on peut interpr´eter τc comme la p´eriode de rotation des vortex.
Pour que l’h´elicit´e soit non nulle, il faut que V0 et ∇ × V0 ne soient pas per-pendiculaires, ce qui correspond `a un mouvement de type vortex en d´eplacement. De plus, pour que l’h´elicit´e moyenne soit non nulle, il faut que les vortex aient un sens de rotation pr´ef´erentiel. Dans le cas du soleil, le sens de rotation pr´ef´erentiel des vortex est dˆu `a la force de Coriolis. Ce sens est diff`erent dans l’h´emisph`ere nord et dans l’h´emisph`ere sud. Le d´eplacement des vortex est, lui, dˆu aux mouve-ments ascendants des descendants dans la zone de convection. Pour que l’h´elicit´e moyenne soit non-nulle, il faut donc encore qu’il y ait plus de vortex montants que de vortex descendants (voir la discussion dans (Parker, 1955)).
1 2 3 B0 V Vz Vrot B B B J J
Fig. 5.7 – H´elicit´e et principe de l’effet α. Un vortex montant (1) d´eforme les lignes de champ magn´etique en surface et forme une ”bosse” (2). A cause du mouvement de rotation du plasma, la ”bosse” de champ magn´etique est tourn´ee autour d’un axe de rotation vertical (2 et 3), augmentant ainsi l’´energie magn´etique.
La constante β repr´esente la diffusion turbulente et sa valeur est proportionnelle `a l’intensit´e de la turbulence
β = τc
3hV 02i.
En introduisant l’expression 5.3 dans l’´equation 5.2, et en n´egligeant ∇×hVi ×
hBi, on obtient ∂B
∂t = α∇×B + (ν + β) ∆B = αh∇×Bi + νt∆B,
o`u νt est le coefficient de diffusion turbulent. Ici il apparaˆıt que β joue un rˆole tr`es semblable `a la r´esistance anormale.
Pour ´etudier la croissance du champ magn´etique, on suppose une petite per-turbation de B = 0, que l’on suppose de la forme
B(r,t)= bx by 0 ei(kz−ωt).
L’´equation d’induction devient alors
−iωB = iαk × B − νtk2B.
Pour que ce syst`eme d’´equation poss`ede des solutions diff´erentes de B = 0, il faut que
¡
iω − νtk2¢2
− α2k2 = 0.
De cette relation, on obtient la partie imaginaire de ω, =ω = −νtk2± αk.
L’am-plitude du champ magn´etique augmente donc avec le temps (ce qui correspond `a l’effet dynamo), `a condition que
|k| < α νt
,
ce qui signifie que ce sont les modes de grande longueur d’onde qui vont grandir. On remarque aussi que la dynamo est absente si α = 0. L’effet α permet donc de faire grandir des modes de grande ´echelle grˆace aux fluctuations turbulentes de petite ´echelle, et permet donc l’organisation du plasma `a grande ´echelle par les petites ´echelles.
D’autres types de dynamo sont d´ecrits dans (Moffatt, 1978), et des d´eveloppement r´ecents dans (Proctor et al., 1993).