Mod`eles d’avalanche pour les ´eruptions solaires

La criticalit´e auto-organis´ee ´etant une des possibilit´es pour expliquer les dis-tributions en loi de puissance de certains param`etres physiques de syst`emes

com-h

i+1 i i-1

Fig. 1.3 – Mod`ele de tas de sable de Bak, Tang et Wiesenfeld (Bak et al., 1988). Les grains de sable sont ajout´es un par un. Lorsque la pente z<sub>i</sub>= h<sub>i</sub>− h<sub>i+1</sub> est localement plus grande que z<sub>c</sub>, un grain de sable tombe sur le site voisin (i + 1), et les variables h et z changent comme indiqu´e sur la figure. Le processus se r´ep`ete au pas suivant partout o`u la pente est sur-critique, jusqu’`a ce qu’elle soit partout sous-critique. Alors, on ajoute un nouveau grain de sable.

plexes, elle a ´et´e propos´ee pour expliquer l’origine des lois de puissance li´ees aux ´eruptions solaires.

Lu et Hamilton (Lu & Hamilton, 1991 ; Lu et al., 1993 ; Lu, 1995) ont propos´e un mod`ele tridimensionnel d’´eruptions solaires tr`es semblable au tas de sable de Bak et al. (table 1.1), o`u le sable est rempla¸c´e par un ”champ magn´etique moyen”. La perturbation dans ce mod`ele est formellement due `a la torsion et l’enroulement des lignes de champ magn´etique par la convection dans la photosph´ere d’o`u elles ´emergent. Le m´ecanisme d’instabilit´e est la reconnexion magn´etique qui satisfait `a deux des conditions n´ecessaire `a la SOC : la relaxation par reconnexion est suppos´ee ˆetre beaucoup plus rapide que la perturbation par torsion des lignes de champ magn´etique et elle d´epend d’un seuil.

Tab. 1.1 – Comparaison du mod`ele de tas de sable de Bak et al. (Bak et al., 1987) et du mod`ele d’´eruptions solaires de (Lu & Hamilton, 1991) en 3D. Dans les 2 cas, la perturbation est plac´ee en 1 seul point de la grille choisi au hasard. ”ppv” d´esigne les plus proches voisins, et n_ppv le nombre de plus proches voisins.

Tas de sable de BTW Eruptions de Lu & Hamilton Variable hauteur h ou pente z champ B ou ”courant”dB Perturbation 1 grain de sable (δhi = 1) δBi = 1

Instabilit´e zi = hi− 1 nppv P j=ppvhj > zc |dBi| = |Bi − 1 nppv P j=ppvBj| > dBc Relaxation ( z_i → z_i− n_ppv z_ppv → z_ppv + 1 ( dB_i → 0 dB_ppv → dB_ppv+ 1 nppvdB_i

la relaxation, Lu et Hamilton ont trouv´e des param`etres distribu´es selon des lois d’´echelles (Lu & Hamilton, 1991) en bon accord avec les histogrammes exp´erimentaux en ´energie, luminosit´e maximale et dur´ee des ´eruptions, d´etermin´es par les obser-vations d’´eruptions en X–dur par ISEE 3/ICE, du moins pour les grandes valeurs de ces param`etres (Lu et al., 1993).

Malgr´e cet accord satisfaisant entre mesures et simulations, le mod`ele pose un certain nombre de probl`emes d’interpr´etation :

– L’interpr´etation de B comme champ magn´etique est rendue difficile par le fait que ∇ · B 6= 0.

– La source n’est pas isotrope, et ne perturbe qu’une seule case. De plus, la perturbation est d´epos´ee directement `a l’int´erieur du volume, alors qu’elle est suppos´ee venir du bas (la photosph´ere).

– Le m´ecanisme d’instabilit´e d´epend de la valeur d’un gradient moyen de B que l’on peut supposer ˆetre un courant moyen. Pourtant lors de la relaxation le courant total est conserv´e et distribu´e aux plus proches voisins. Ce com-portement est assez diff´erent de ce que l’on peut attendre de la reconnexion. – La petite taille du syst`eme (au maximum 50 × 50 × 50) ne permet pas d’as-surer que la SOC ne soit pas un effet artificiel, bien que le mod`ele ressemble beaucoup au tas de sable de Bak et al. et soit donc construit pour pr´esenter de la SOC.

– Les temps d’attente entre 2 ´eruptions semblent ˆetre ´egalement distribu´es selon une loi de puissance (Pearce et al., 1993 ; Crosby et al., 1998 ; Wheat-land et al., 1998), tandis que les mod`eles d’avalanche suivent un processus de Poisson (distribution exponentielle).

– L’existence de SOC peut-ˆetre mise en doute dans un milieu aussi inhomog`ene (Jensen, 1998) que la couronne. De plus elle est difficilement compatible avec la pr´esence de structures de relativement longue dur´ee de vie, comme les points brillants ou les ”blinckers”, car tout le syst`eme est fr´equemment balay´e par des avalanches.

Certains de ces probl`emes sont inh´erents `a la SOC, d’autres peuvent ˆetre partiellement r´esolus ou contourn´es par des mod`eles sur r´eseau appropri´es. A la suite de Lu & Hamilton, d’autres mod`eles statistiques sur r´eseau d’´eruptions, plus ou moins inspir´es par la SOC, sont apparus. Nous pr´esentons une br`eve (et n´ecessairement incompl`ete) revue de ces travaux.

– Plusieurs interpr´etations pour la variable B ont ´et´e propos´ees. La plus simple fa¸con de contourner ∇ · B = 0 en 3D, est de consid´erer B comme un scalaire (Vlahos et al., 1995 ; Georgoulis & Vlahos, 1996). Des arguments pour soute-nir l’interpr´etation de B comme un champ magn´etique ont ´et´e propos´es par (Vassiliadis et al., 1998 ; Isliker et al., 1998), lesquels voient les mod`eles d’ava-lanche comme une discr´etisation de l’´equation d’induction magn´etique. Il y a cependant une divergence d’opinion entre ceux qui consid`erent B comme le champ discr´etis´e (Vassiliadis et al., 1998), et ceux qui le consid`erent comme une sorte de champ magn´etique moyen (Isliker et al., 1998). En particulier, la limite continue pose un probl`eme d’instabilit´e num´erique du mod`ele. La variable peut aussi ˆetre interpr´et´ee comme un vecteur potentiel A (Lu

et al., 1993 ; Galsgaard, 1996 ; Einaudi & Velli, 1999). Ainsi, le probl`eme de ∇·B 6= 0 est r´esolu, et la perturbation peut-ˆetre comprise comme une torsion

des lignes de champ. (Isliker et al., 2000 ; Isliker et al., 2001) ont propos´e un mod`ele d’avalanche o`u les d´eriv´ees de A sont calcul´ees par interpolation par splines.

D’autres interpr´etation ont aussi ´et´e propos´ees. Par exemple, (Zirker & Cle-veland, 1993) associent la variable `a la torsion interne des tubes de flux, et (Longcope & Noonan, 2000) ne consid`erent pour seule variable que des courants qui se propagent sur une grille. Parfois, aucune interpr´etation n’est donn´ee (MacKinnon et al., 1996).

– Quelques variantes de la source ont ´et´e propos´ees. D’une part on a peu d’in-formations exp´erimentales sur la source, et d’autre part la SOC est assez sensible `a ses propri´et´es, ce qui limite la marge de manoeuvre. Dans la ma-jorit´e des cas, la source ne s’applique qu’en un seul point choisi au hasard et est une variable al´eatoire (de moyenne non-nulle) distribu´ee uniform´ement, d’amplitude moyenne plus petite que le seuil. Cependant, (Georgoulis &

Vlahos, 1996 ; Isliker et al., 2000) la choisissent distribu´ee selon une loi de puissance. (Norman et al., 2001) utilisent une source non-stationnaire dans le temps. Cela leur permet de retrouver une distribution des temps d’attente entre ´eruptions approximativement en loi de puissance. On peut cependant se demander si avec une telle source le syst`eme atteint un ´etat statistiquement stationnaire. (Einaudi & Velli, 1999) ont utilis´e une source due `a des vortex de grande ´echelle. Cette approche est inspir´ee par les cascades turbulentes o`u l’´energie est inject´ee aux grandes ´echelles et dissip´ee aux petites.

– Les variantes du m´ecanisme d’instabilit´e d´ependent entre autres de l’in-terpr´etation de la variable B, mais en g´en´eral sont suppos´ees correspondre d’une fa¸con ou d’une autre `a la dissipation d’une couche de courant.

Dans les mod`eles d’avalanche qui utilisent le champ magn´etique comme variable, l’´energie dissip´ee est calcul´ee comme le changement de ^PB2

i dˆu `a la relaxation. (Vlahos et al., 1995) et (Georgoulis & Vlahos, 1996) ont choisi un crit`ere d’instabilit´e anisotrope, reposant sur la diff´erence du champ magn´etique entre 2 cases voisines et redistribuent le champ dissip´e sur toutes les cases voisines. Cela conduit `a des loi de puissance d´ecroissant plus rapi-dement que dans le cas isotrope.

Les mod`eles qui utilisent A comme variable utilisent J = ∆A > J<sub>c</sub> comme crit`ere d’instabilit´e, et redistribuent la quantit´e dissip´ee aux voisins (Gals-gaard, 1996) ou non (Einaudi & Velli, 1999). Dans ce dernier cas, le cou-rant n’est pas totalement dissip´ee en un pas de temps. L’´energie dissip´ee est calcul´ee comme ^PJ2

dissip. Cependant, le courant est encore calcul´e par des diff´erences moyennes avec l’ensemble des cases voisines.

– Quelques mod`eles prennent en compte certaines structures ”g´eom´etriques” de la couronne. Par exemple (Wheatland & Sturrock, 1996) ´etudient un mod`ele d’avalanches sur un ensemble de grilles mod´elisant un ensemble de zones actives. (Aletti, 2001) ´etudie un mod`ele de chauffage dans une boucle magn´etique ferm´ee, o`u la propagation de l’information est assur´ee par des ondes d’Alfv´en.

– (MacKinnon et al., 1996) ont propos´e un mod`ele tr`es diff´erent des avalanches, inspir´e d’un mod`ele encore plus simple de criticalit´e auto-organis´ee (les feux de forˆet (Jensen, 1998).)

A la suite des travaux de Lu et Hamilton, on peut donc voir une tendance `a r´eviser l’interpr´etation physique du mod`ele et `a y ajouter des ´el´ements nouveaux. Ces ´el´ements nouveaux ajoutent des param`etres suppl´ementaires au mod`ele, dans le but de s’approcher encore plus des lois de puissance tir´ees des observations des

´emissions en X et en EUV associ´ees aux ´eruptions et micro´eruptions. De ce point de vue, ces mod`eles ont rencontr´es des succ`es certains (voir par ex. (Georgoulis

et al., 2001) qui comparent les r´esultats num´eriques du mod`ele de (Georgoulis &

Vlahos, 1996) aux observations de WATCH). Il convient finalement de noter que d’autres mod`eles ph´enom´enologiques produisent ´egalement des lois de puissance (Rosner et al., 1978 ; Litvinenko, 1994).