Crit`eres de dissipation

La dissipation des champs magn´etiques convertit l’´energie magn´etique en ´energie thermique et assure le couplage entre les ´el´ements des champs magn´etiques dans notre mod`ele. Ph´enom´enologiquement, la reconnexion peut ˆetre trait´ee comme une dissipation de petites couches de courant de petits ´echelles quand la densit´e de courant exc`ede une certaine valeur seuil (Somov & Syrovatsky, 1977 ; Syro-vatskii, 1981 ; SyroSyro-vatskii, 1982 ; Priest & Forbes, 2000). Si nous n´egligeons le courant de d´eplacement, la densit´e de courant peut ˆetre calcul´ee `a l’aide de la loi de Maxwell-Amp`ere

∇ × B = µ₀j,

dont la forme en diff´erences finies peut ˆetre ´ecrite comme à jx jy ! = ¹ δµ₀ à B (x,y) − B (x,y + δ) B (x + δ,y) − B (x,y) ! ,

O´u δ est le pas du r´eseau. Pour la simplicit´e de la notation, nous prenons δ = 1 et

µ₀ = 1. Les courants sont ainsi calcul´es comme des gradients locaux et suppos´es se propager le long des fronti`eres entre les cellules. On voit que l’analogue discret de l’´equation de continuit´e de courant ∇ · j = 0 est v´erifi´e, c’est-`a-dire, que la somme des courants entrants et sortants est ´egale `a z´ero `a chaque noeud du r´eseau. Les m´ecanismes pour la dissipation des courants sont de deux types :

– La r´esistivit´e anormale, est due `a une instabilit´e qui se manifeste quand le courant ´electrique exc`ede une certaine valeur critique (qui peut ˆetre parfois tr`es petite), ce qui provoque une augmentation de la r´esistivit´e du plasma non-collisionel. Ce ph´enom`ene d´ecrit l’´echange d’impulsion et d’´energie entre ´electrons et ions, ou entre diff´erents groupes de particules de mˆeme nature par l’interm´ediaire de la turbulence plasma g´en´er´ee par l’instabilit´e (Galeev & Sagdeev, 1979 ; Galeev & Sagdeev, 1984). En effet, suite au d´eveloppement de l’instabilit´e, des ondes sont g´en´er´ees (par exemple des ondes de d´erive, ou des ondes ioniques acoustiques, ou hybrides basses) qui absorbent une partie de l’´energie des ´electrons pour la redistribuer aux ions. Cela r´esulte en une dissipation du courant tout `a fait semblable `a la dissipation par effet Joule (voir le paragraphe suivant pour plus de d´etails). Finalement, il faut noter que la r´esistivit´e anormale n’exige pas de configuration particuli`ere du champ magn´etique, `a part un courant fort. Elle peut survenir mˆeme en pr´esence de champs magn´etiques parall`eles dirig´es dans la mˆeme direction, par exemple dans des trous coronaux ou `a l’int´erieur des cellules. Dans notre mod`ele, nous supposons que les courants sont compl`etement annihil´es chaque fois qu’ils exc`edent un certain seuil,

|j| ≥ j_max.

– La reconnexion est g´en´eralement comprise comme un changement relati-vement soudain d’un ´etat d’´equilibre `a un autre, impliquant un changement de la topologie du champ magn´etique, accompagn´e par une transformation d’´energie magn´etique en ´energie cin´etique (Priest & Forbes, 2000). Sous sa forme ”primaire”, le processus de reconnexion stationnaire repr´esente la dis-sipation du champ magn´etique au voisinage des points-X de la configuration des champs magn´etique ou aux voisinage d’une couche de courant. Cela peut ˆetre interpr´et´e comme l’augmentation et l’explosion de minces couches de courant s´eparant des domaines avec des champs magn´etiques oppos´es. Pour imiter ce processus nous supposons que les deux conditions suivantes doivent

ˆetre satisfaites simultan´ement :

|j| = |B − B⁰| ≥ j_max,

B · B0 < 0, (2.2)

o`u B et B0 sont les amplitudes des champs magn´etiques dans des cellules voisines. Un crit`ere semblable est utilis´e pour la reconnexion plane conven-tionnelle avec un point–X (Petschek, 1964 ; Syrovatskii, 1981). L’´equation (2.2) aboutit `a l’existence de courants qui peuvent exc´eder de beaucoup de la valeur du seuil. En exigeant que les champs magn´etiques dans des cellules adjacentes aient des directions oppos´ees, ont suppose donc l’existence d’un point o`u le champ magn´etique est nul entre les cellules et donc un ´equilibre instable favorable `a la reconnexion.

Ces conditions permettent de distinguer les deux m´ecanismes de dissipation dans le cadre d’un mod`ele d’automate cellulaire. La reconnexion n´ecessite une configuration sp´eciale (un point–X, par exemple), tandis que le seul crit`ere pour la r´esistivit´e anormale est un courant plus grand qu’un seuil donn´e. La reconnexion magn´etique correspond en effet `a un changement important de la topologie du champ magn´etique, contrairement `a la r´esistivit´e anormale. Dans les conditions physiques r´eelles de la couronne, les deux processus peuvent coexister. Il faut toutefois noter que le seuil de courant pour la r´esistivit´e anormale est en g´en´eral suppos´e beaucoup plus grand que pour la reconnexion avec des param`etres du plasma semblables. Cette nuance n’est cependant pas essentielle dans notre travail qui a pour but l’´etude des relations entre les propri´et´es statistiques de l’´energie dissip´ee et les processus physiques mis en jeux.

Pour simplifier la formulation du probl`eme, nous consid´erons ici que toute l’´energie magn´etique dissip´ee est transform´ee en chauffage. Les r`egles sont les sui-vantes : quand le courant est annihil´e, les valeurs des champs magn´etiques dans les cellules voisines, B et B0, sont remplac´ees par (B + B0)/2 et l’´energie magn´etique dissip´ee dans le processus est

∆E = ¹ 2^{(B − B} 0)2 = ¹ 2^j 2 & ¹ 2^j 2 max.

La proc´edure mod´elisant la dissipation des courants est la mˆeme tant pour la r´esistivit´e anormale que pour la reconnexion. A chaque pas de temps, les courants satisfaisant le crit`ere de dissipation sont dissip´es avant que tous les courants ne deviennent sous-critiques (ou aient le mˆeme signe dans le cas de la reconnexion). Ensuite, nous passons au prochain pas de temps et r´eactivons la source. En effet, les m´ecanismes de dissipation sont suppos´es ˆetre plus rapides que le for¸cage. L’´energie

totale dissip´ee pour un pas de temps est la somme des ´energies dissip´ees pour tous les courants.