Nous r´esumons `a pr´esent les r´esultats de ce chapitre, qui rassemble les mesures locales. Nous avons commenc´e par justifier l’´etude de la mousse comme un milieu continu dans le cadre de nos exp´eriences (section 4.1).
Dans la section 4.2, consacr´ee au comportement de la mousse autour d’un obstacle circulaire, nous avons quantifi´e l’ensemble des champs `a l’´echelle locale. Nous avons ainsi mis en ´evidence l’asym´etrie amont/aval de l’´ecoulement sur le champ des vitesses, sur celui du tenseur de d´eformation statistique, ainsi que la r´epartition spatiale des T1. Nous avons pu quantifier les variations du champ de pression, en quantifiant la surpression en amont et la d´epression en aval de l’obstacle. L’´etude des gradients de vitesse a fait ressortir la d´ecroissance complexe de la fonction de dissipation avec la distance `a l’obstacle, ainsi que l’existence d’un rotationnel significatif, ces deux quantit´es ´etant elles aussi asym´etriques amont/aval. Nous avons pu d´ecrire et quantifier tensoriellement les T1, et montrer leur couplage avec la d´eformations et avec le gradient de vitesse (section 4.3).
La section 4.4 a permis de montrer que dans la gamme de param`etres ´etudi´ee, les grandeurs locales d´ecrivant l’´ecoulement sont qualitativement ind´ependantes aussi bien du d´ebit, de l’aire de bulles que de la viscosit´e de la solution ; seule la fraction fluide influe quantitativement sur les champs ´etudi´es, notamment en r´eduisant l’asym´etrie amont/aval. Nous avons donc mis en ´evidence un r´egime quasistatique, domin´e par l’´elasticit´e.
L’influence de quelques obstacles a ´et´e pass´ee en revue dans la section 4.5 ; nous avons ainsi montr´e que l’ancrage des bulles `a l’obstacle joue un rˆole mino-ritaire sur les champs (comme sur la traˆın´ee), et nous avons quantifi´e l’effet de la constriction sur les cˆot´es des obstacles circulaires. Nous avons aussi ´evoqu´e le d´eveloppement de zones de stagnation en amont et en aval du carr´e parall`ele `a l’´ecoulement. Enfin, nous avons pu expliquer quantitativement la portance in-verse subie par l’aile cambr´ee grˆace `a l’analyse des vitesses, de la pression et des d´eformations autour de cet obstacle.
Nous esp´erons ainsi avoir accumul´e suffisamment de donn´ees pour permettre de contraindre s´ev`erement les mod`eles rh´eologiques locaux, ce qui est le but principal de ce chapitre descriptif.
Chapitre 5
Discussion des r´esultats
Nous allons maintenant discuter les r´esultats pr´esent´es au cours des deux derniers chapitres et tenter de les comparer aux r´esultats existants. Nous com-men¸cons (section 5.1) par identifier les contributions `a la force subie sur l’obstacle, reliant la traˆın´ee seuil `a la distribution anisotrope de des cˆot´es de bulles en contact avec l’obstacle (contribution de tension) et `a celle de la pression (contribution de pression), et la composante dynamique de la force comme la perte de charge au frottement bulle/paroi. La section 5.2 est consacr´ee `a la discussion des r´esultats des mesures globales, force et perte de charge. Nous discutons ensuite nos mesures locales (section 5.3). Enfin, dans la section 5.4, nous comparons mesures globales, locales et simulations par le biais d’une mˆeme grandeur : la traˆın´ee seuil.
5.1 Origine de la force subie par l’obstacle
Avant de discuter les r´esultats des mesures de force, il convient de comprendre l’origine physique de la force subie par l’obstacle.
5.1.1 Contributions hors mousse
Rappelons en pr´eliminaire que l’obstacle est en contact avec le couvercle via un pont capillaire, et qu’il est partiellement immerg´e dans la solution. On a soigneusement ´ecart´e les frottements solides entre l’obstacle et le couvercle, les frottements fluides r´esiduels ne contribuent pas `a la force mesur´ee en r´egime permanent (section 2.1.2). Par contre, la solution est partiellement entraˆın´ee par la mousse en ´ecoulement, donc elle exerce une force visqueuse suppl´ementaire sur la partie immerg´ee du flotteur.
On peut estimer un majorant de cette contribution. Nous n’avons pas mesur´e `a quelle vitesse la solution est entraˆın´ee, mais au maximum elle atteint la vitesse de la mousse en ´ecoulementV. La partie immerg´ee du flotteur a un rayonR= 15 mm ; la hauteur totale du flotteur ´etant 23 mm, sa hauteur immerg´ee vaut, pour
une ´epaisseur de mousse de r´ef´erence 3,5 mm, himm = 19,5 mm. La force exerc´ee par la solution sur cette partie immerg´ee vaut donc [53] :
F ≃ ln4πhimmηVD/R
−0,91, (5.1)
o`uD= 10 cm est la largeur du canal. Un majorant de cette force s’obtient donc en prenant la vitesse V = 3 cm·s−1 et la viscosit´e de la solution η= 1,04×10−2 Pa·s maximales atteintes :F ≃0,2 mN, ce qui est comparable aux autres sources d’incertitudes exp´erimentales et bien inf´erieur aux forces effectivement mesur´ees. Nous mesurons donc bien la force de la mousse sur l’obstacle.
5.1.2 Contributions de la mousse
Nous avons vu au chapitre 3 que de fa¸con g´en´erale, la force exerc´ee par la mousse en ´ecoulement se d´ecompose en une force seuil `a d´ebit tendant vers z´ero, et en une contribution dynamique qui augmente avec la vitesse d’´ecoulement.
Traˆın´ee seuil
Qualitativement, la traˆın´ee seuil vient des propri´et´es solides de la mousse, notamment de sa contrainte seuil. On peut l’interpr´eter comme la force minimale `a exercer sur un obstacle initialement immobile pour le mettre en mouvement dans la mousse. Pour une force inf´erieure, la mousse encaisse sans broncher, en stockant de l’´energie ´elastique : la manifestation la plus visible de ce stockage est la d´eformation r´eversible des bulles autour de l’obstacle. Quand la traˆın´ee seuil est atteinte, le seuil de d´eformation est atteint, des r´earrangements de bulles se d´eclenchent et l’obstacle peut se mettre en mouvement. Pour ˆetre rigoureux, cette image est partiellement fausse : quand on travaille `a force impos´ee, il existe une gamme de forces pour lequel on observe plutˆot un r´egime intermittent, avec des situations de bloquage alternant avec des situations d’´ecoulements. Ceci a par exemple ´et´e observ´e lors de la chute d’une sph`ere dans une mousse 3D au repos [34].
Pour ˆetre plus pr´ecis, la traˆın´ee seuil vient de deux contributions. La premi`ere est la cons´equence la plus visible de la d´eformation des bulles autour de l’obstacle : les bulles ´etant plus ´etir´ees en aval, la densit´e lin´eique de cˆot´es de bulles le long de l’obstacle est maximale en aval et minimale en amont. Or chaque cˆot´e de bulle en contact avec l’obstacle exerce une force de tension λℓ, o`ˆ u λ est la tension de ligne effective de la mousse1 et o`u ˆℓ est le vecteur unitaire du lien pointant vers l’ext´erieur de l’obstacle. Donc la dissym´etrie de distribution des cˆot´es apporte `a
1
Cette grandeur reste pertinente tant que la mousse est bien constitu´ee d’une monocouche de bulles, et ce mˆeme si la structure 3D des bulles a un rˆole pr´epond´erant sur sa valeur (voir section 2.1.4).
la force seuil une contribution de tension ´egale `a : ~ FT =λX i ˆ ℓi, (5.2)
o`u la somme porte sur les cˆot´es i en contact avec l’obstacle. Par ailleurs, la pression dans les bulles est ´egalement modifi´ee : comme le montre la figure 4.6, elle est maximale en amont de l’obstacle et minimale en aval. On aura donc une contribution de pression des bulles `a la force seuil, ´egale `a :
~ FP =−X b Pb ZZ Sb ˆ n·ˆexdS, (5.3)
o`u la somme porte sur les bulles b en contact avec l’obstacle et l’int´egrale sur la surfaceSb de contact entre la bullebet l’obstacle, ˆnd´esignant la normale sortante `a l’obstacle et Pb la pression dans la bulle b, suppos´ee uniforme car l’´equilibre m´ecanique est atteint quasiment instantan´ement.
Composante dynamique
La composante dynamique est plus subtile `a interpr´eter. Elle n’est pas reli´ee `a la viscosit´e intrins`eque de la mousse, mais d’une part au frottement dans les films de lubrification entre l’obstacle et les bulles en contact, et d’autre part `a la perte de charge, qui elle-mˆeme est une cons´equence du frottement entre les bulles et le couvercle sup´erieur.
Le frottement dans les films entre l’obstacle et les bulles est extrˆemement difficile `a quantifier. En effet, on ne connaˆıt pas l’´epaisseur de ces films ; mais mˆeme si cette ´epaisseur ´etait parfaitement connue, le calcul du frottement dans le film constitue en lui-mˆeme un sujet de recherche ouvert et ardu [83, 20, 41], o`u le rˆole de la rh´eologie interfaciale reste `a pr´eciser.
Par contre, il est facile de quantifier l’effet de la perte de charge. Plac´e dans un gradient de pression constant ∇~P, l’obstacle subit une pouss´ee d’Archim`ede effective ΠA = −Sh~∇P, o`u S est sa section et h sa hauteur de contact avec la mousse. Pour le flotteur nu, ∇P vaut au maximum 2×102 Pa (chapitre 3.2), donc la pouss´ee d’Archim`ede vaut au maximum 0,5 mN, `a comparer `a l’ordre de grandeur de la composante dynamique (3 mN d’apr`es le chapitre 3.1) : la pouss´ee d’Archim`ede est donc une contribution non n´egligeable, mais minoritaire, `a la composante dynamique de la traˆın´ee. Pour ˆetre pr´ecis, l’obstacle subit aussi la vraie pouss´ee d’Archim`ede, exerc´ee par la solution sur la partie immerg´ee. Cela ajoute `a la traˆın´ee une contribution Π′
A =ρsgπR2himmsinα, o`uαest l’inclinaison
du banc (figure 2.10). Mais cette inclinaison reste faible ; au maximum,α= 1,1◦, donc Π′