4.2.1 Données d’entrée
Dans un modèle de contact en 3 dimensions, on doit considérer plusieurs lignes de rugosité. Dans le chapitre 2, la première étape de la caractérisation de la rugosité du rail est de déterminer la largeur de la bande de roulement. Sur la voie sélectionnée pour l’essai, la bande de roulement mesurait environ 8 mm. Généralement, elle est de 1 cm (cf. Chapitre 1). En considérant que les lignes de rugosité mesurées sont espacées d’environ 2 mm, on construit 5 lignes de rugosité sinusoidales sur le rail, avec un déphasage arbitraire entre chacune :
rRi(xR) = ARsin(2π λR xR+ ϕ(i)), (3.40) avec i = {1, ..., 5} et ϕ = {0,π5,π 4, π 3, π
2 }, les phases introduites entre chaque ligne de rugosité du rail.
La roue se déplaçant latéralement sur le rail lors du passage du train, sa bande de roulement peut être considérée équivalente à toute sa surface. Dans le chapitre 2, on a pu constater que les lignes de rugosité mesurées en parallèle sur la roue sont très similaires. On choisit donc de considérer 5 lignes de rugosités sinusoidales identiques équivalentes à rW définie dans (3.1).
Pour construire la rugosité relative wr(x, y), on applique le traitement décrit dans le paragraphe
1 à chaque combinaison de lignes de rugosité.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5x 10 −4 Distance (m) Amplitude (m)
(a) Rugosité relative spatiale (m).
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 Fréquence (Hz) Amplitude (dB. ref.1e−006 m)
(b) Représentation spectrale (dB ref. 0.000001 m) pour une vitesse de train de 80 km/h.
Figure 3.10 – Résultat du prétraitement des données de rugosité sinusoidales lorsque plusieurs lignes sont prises en compte. Chaque couleur représente une ligne de rugosité relative.
Les résultats obtenus dans le domaine spatial sont représentés sur la figure 3.10(a). On constate que le déphasage entre les lignes de rugosité du rail introduit une différence d’amplitude entre les lignes de rugosité relative. Les spectres de la rugosité de la roue , du rail et de la rugosité relative sont représentés sur la figure 3.10(b). Le déphasage des lignes de rugosité du rail introduit des
variations d’amplitude très faibles entre les spectres de chaque ligne de rugosité relative, en dehors des zones porteuses d’énergie. On retrouve toujours les principales informations fréquentielles de la rugosité du rail et de la roue dans la rugosité relative.
4.2.2 Simulation de l’interaction roue/rail
On analyse l’influence de la prise en compte du contact total dans les mêmes situations qu’aux paragraphes 3.2.1 et 3.2.2. On réalise 2 simulations avec le modèle d’interaction roue/rail simplifié (3.18), (3.19) ; la force d’interaction est calculée grâce à la formule (3.39). La première simulation considère des profils de rugosité lisses et la seconde des profils de rugosité sinusoidaux. Par souci de clarté, le spectre d’une seule ligne de rugosité relative est représenté. On effectue ainsi des parallèles entre ces résultats et ceux obtenus en utilisant les modèles de contact 1D et 2D.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 10 4 Temps (s) Force d’interaction (N)
(a) Cas de surfaces lisses.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18x 10 4 Temps (s) Force d’interaction (N)
(b) Cas de profils de rugosité sinusoidaux.
Figure 3.11 – Evolution temporelle de la force d’interaction dans le cas d’un modèle de contact 3D.
L’évolution temporelle de la force d’interaction est représentée sur la figure 3.11 pour chaque cas de simulation. Dans les deux cas, on observe un comportement équivalent à celui obtenu avec des modèles de contact de dimensions inférieures (cf Figures 3.4 et 3.7). Cependant, les valeurs maximales atteintes sont moins élevées avec un modèle de contact 3D. Dans le cas de surfaces lisses (Figure 3.11(a)), la force d’interaction est très faible et tend vers une valeur constante égale à environ 1 kN. Aucune perte de contact n’a lieu, si l’on ne considère pas les effets de bord. Dans le cas de profils de rugosité sinusoidaux (Figure 3.11(b)), on observe des pertes de contact mais les valeurs maximales atteintes sont plus réalistes que dans le cas de modèles de contact de dimensions inférieures (cf Figure 3.7). Ici, la valeur maximale est l’ordre de 170 kN, atteinte à la moitié du temps de passage c’est à dire lorsque la roue est au milieu de la poutre.
L’évolution temporelle des déplacements verticaux de la roue et du rail est représentée sur la figure 3.12 pour chaque scénario de simulation. Dans le cas de surfaces lisses (Figure 3.12(a)), les déplace-
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0x 10 −5 Temps (s) Déplacement vertical (m)
(a) Cas de surfaces lisses.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 −2 −1 0 1 2 x 10−4 Temps (s) Déplacement vertical (m)
(b) Cas de profils de rugosité sinusoidaux.
Figure3.12 – Evolution temporelle des déplacements verticaux de la roue et du rail, dans le cas d’un modèle de contact 3D. ( ) Déplacement vertical du rail en chaque point de contact avec la roue ; ( ) Déplacement vertical de la roue ; (...) Rugosité relative en chaque point de contact (m).
ments verticaux sont quasiment similaires à ceux obtenus avec un modèle de contact de dimensions inférieures (Figure 3.5). Le déplacement du rail est d’amplitude plus petite, probablement due à une force d’interaction plus faible. Dans le cas de profils de rugosité sinusoidaux (Figure 3.12(b)), les déplacements verticaux sont différents de ceux obtenus avec un modèle de contact de dimen- sions inférieures (Figure 3.8). Avec le modèle de contact 3D, le déplacement vertical de la roue est d’amplitude plus faible et semble décrire un lien fort avec celui du rail. Le comportement de ce dernier est caractéristique d’un déplacement vertical mesuré. Les amplitudes maximales atteintes sont réalistes.
Les spectres des déplacements verticaux de la roue et du rail de même que le spectre de la force d’interaction et de la rugosité relative sont représentés sur les figures 3.13 pour chaque profil de rugosité testé. Si les surfaces de la roue et du rail sont lisses (Figure 3.13(a)), on obtient des résultats proches de ceux avec un modèle de contact 1D (Figure 3.6(a)). En-dessous de 1000 Hz, on observe les mêmes émergences localisées à la fréquence naturelle du modèle de roue et à ses harmoniques. Le spectre du déplacement vertical de la roue est quasiment similaire pour les 3 modèles de contact. Pour le rail, on obtient pratiquement le même résultat pour les modèles de contact 1D et 3D. Le rail répond aux fréquences caractéristiques de la roue ainsi que sur ses modes, malgré un décalage probablement dû à la mauvaise résolution fréquentielle. Dans le cas du modèle de contact 2D (Figure 3.6(b)), on avait observé deux émergences, à 1450 et 1780 Hz, aussi présents dans le spectre de l’excitation. Dans le cas du modèle de contact 3D (Figure 3.13(a)), ces deux émergences n’existent plus.
Avec les observations formulées précédemment sur les figures 3.11 et 3.12, on peut conclure que la force d’interaction calculée avec le modèle de contact 3D est plus adéquate que celle obtenue avec le modèle de contact 1D car elle n’injecte pas d’excitation aux fréquences que l’on peut qualifier
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −200 −180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 Fréquence (Hz) Spectre (dB)
(a) Cas de surfaces lisses.
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −150 −100 −50 0 Fréquence (Hz) Spectre (dB)
(b) Cas de profils de rugosité sinusoidaux.
Figure3.13 – Comparaison des spectres de déplacement vertical de la roue, du rail (au milieu de la poutre) et du spectre de l’évolution de la force d’interaction dans le cas d’un modèle de contact 3D. ( ) Spectre du déplacement vertical du rail en L/2 (dB ref. 0.00001 m) ; ( ) Spectre du déplacement vertical de la roue (dB ref. 0.00001 m) ; ( ) Spectre de l’évolution temporelle de la force d’interaction (dB ref. 33 kN) ; (- - -) Spectre de la rugosité relative (dB ref. 0.0001 m) ; (...) Fréquence de résonance de la roue ; (-.-) Fréquences propres du rail.
de "parasites", à 1450 et 1780 Hz.
Cette conclusion peut aussi être validée dans le cas de surfaces de rugosité sinusoidales, dont les spectres obtenus sont représentés sur la figure 3.13(b). Dans le paragraphe 3, il a été mis en évi- dence que la force d’interaction devait tenir compte d’au moins une dimension du contact pour que la rugosité soit considérée. Néanmoins, il était difficile d’évaluer l’influence de la rugosité à la fréquence d’excitation fW = 1480 Hz (Figure 3.9(b)). Les résultats obtenus avec le modèle de
contact 3D (Figure 3.13(b)) montrent une émergence nette à la fréquence fW. On note aussi que
l’influence de la roue sur la réponse du rail est atténuée en dessous de 1000 Hz. Seules deux émer- gences importantes sont présentes, à 651 Hz, et à 800 Hz environ. On observe aussi l’influence des harmoniques de ces trois fréquences (651, 800 et 1480 Hz), à 2100, 2300 et 2950 Hz environ. Le modèle de contact 3D est donc le mieux adapté pour le calcul de la force d’interaction du modèle.
5
Conclusions
Dans ce chapitre, une méthode pour formuler les données d’entrée d’un modèle d’interaction roue/rail, à partir de données de rugosité spatiales, a été validée. Cette méthode permet de construire un déplacement relatif entre la roue et le rail que l’on appelle rugosité relative. Cette dernière peut être transmise à un modèle de contact pour obtenir la force d’interaction entre la roue et le rail, à chaque instant t de la simulation temporelle. La méthode de traitement de données de rugosité a été validée grâce à un modèle d’interaction roue/rail simplifié.
De plus, un modèle de contact Hertzien non-linéaire en 3 dimensions, a été développé. Il sera dorénavant utilisé dans le modèle d’interaction complet, même s’il peut entrainer des estimations de la force d’interaction erronées, comme cela a été montré au paragraphe 2.3 du chapitre 1. En
effet, il a été démontré qu’un modèle non Hertzien non linéaire peut être mieux adapté dans le cas de défauts importants sur la roue et/ou sur le rail. Néanmoins, la validité du modèle Hertzien non linéaire tient au fait qu’il autorise les pertes de contact et qu’il tient compte de l’influence de la rugosité. Dans le chapitre 1, il a été montré qu’un modèle de roue type masse-ressort-amortisseur était suffisant pour le calcul de la réponse du rail (Chapitre 1, Paragraphe 3.1). Le modèle de roue utilisé ici sera donc conservé dans le modèle d’interaction roue/rail complet.
Le modèle de voie n’est pas suffisamment développé. L’influence des appuis périodiques, com- prenant la semelle et le système d’attache, les traverses et le ballast, n’est pas considérée. De plus, la simulation du comportement vibratoire d’une seule travée ne permet pas d’obtenir le compor- tement vibratoire caractéristique, autour de 1000 Hz, qui se produit lorsque la longueur d’onde du déplacement vertical du rail est égale à la longueur de 2 travées.
L’objet du chapitre suivant est la description du modèle de voie complet. On allonge la longueur du rail et on tient compte de son support, consistant en une distribution périodique de systèmes masse-ressort-amortisseur, pour représenter les systèmes semelles-traverses-ballast. L’utilisation d’une longueur finie de poutre engendre cependant des reflexions des ondes aux frontières de celle- ci. On décrit une méthode permettant de développer des conditions aux limites absorbantes, dans le domaine temporel, pour une poutre d’Euler-Bernoulli. On explique ensuite la construction d’un schéma aux différences finies du modèle d’interaction complet et on détermine les conditions de stabilité de celui-ci.
Le modèle de voie
Sommaire
1 Modèle de voie . . . 111 2 Conditions aux limites absorbantes . . . 112
2.1 Impédance absorbante dans le domaine fréquentiel. . . 113