Conditions aux limites absorbantes

La résolution numérique de problèmes physiques, dans le domaine temporel, impose inévitable- ment de tronquer l’espace de résolution, généralement infini, en un espace fini. Le modèle de type éléments finis de J. Nielsen et al. [36] considère un modèle fini de longueur suffisamment grande pour que l’influence des réflexions aux bords soit négligeable. Cette précaution suit les préconi-

sations faites par K. Knothe et al. [31]. Néanmoins, l’utilisation de ce modèle dans le domaine temporel demande de calculer, au préalable, un nombre important de fonctions de Green. Bien qu’une fois calculées, leur utilisation dans un modèle d’interaction est avantageux en temps de calcul [42,45], ces fonctions ne représentent qu’une configuration de voie particulière. De plus, leur temps de calcul est relativement important à cause de la longueur importante de voie nécessaire. Une alternative à l’utilisation d’une longueur de poutre importante serait de développer des condi- tions aux limites absorbantes mathématiques, qui permettent d’éviter les réflexions artificielles aux extrémités du modèle de rail. Une première approche peut être la construction d’une couche li- mite absorbante [25], plus précisément une couche de matériau absorbant artificiel, adjacente aux frontières du modèle et complètement indépendante des conditions aux limites. Lorsqu’une onde rencontre cette couche absorbante, elle est atténuée par absorption et décroît exponentiellement. Même si elle se réfléchit sur la frontière, l’onde est exponentiellement plus petite après un passage dans la couche absorbante. Il persiste néanmoins un problème avec cette approche : lorsqu’il y a transition d’un matériau vers un autre, les ondes se réfléchissent généralement. La transition d’un matériau non absorbant vers un matériau absorbant ne fait pas exception. Techniquement, les réflexions apparaissent lorsque la symétrie translationnelle est rompue. Néanmoins, il est possible de construire un milieu spécial absorbant tel que les ondes ne se réfléchissent plus sur l’interface : c’est ce que l’on appelle une Perfectly Matched Layer (PML). Dans le cas de l’équation d’onde, une PML est formulée en deux étapes : la première est le prolongement analytique de l’espace de coordonnées réelles en coordonnées complexes ; la seconde est un changement de variables pour revenir aux coordonnées réelles modifiées, tenant compte de la couche de matériau absorbant. Cette approche est applicable pour un modèle en 3 dimensions.

Le changement de variable utilisé pour obtenir les coordonnées spatiales modifiées est basé sur la relation de dispersion de l’équation d’onde. Cela est possible puisque les ondes, dans ce cas, sont non dispersives, le nombre d’onde ne dépend pas de la pulsation. Cette propriété n’est pas vérifiée pour les équations de type poutre. La deuxième étape de l’élaboration d’une PML n’est pas aussi évidente que pour l’équation d’onde. Cette technique n’est pas forcément inadaptée aux modèles de poutre. Néanmoins, son application demande une analyse mathématique rigoureuse pour pouvoir être utilisée.

Une approche basée sur les principes de contrôle actif peut aussi être envisagée. L’idée géné- rale est de construire une extrémité absorbante, permettant d’extrapoler la solution, depuis les points du maillage intérieur vers les points de la frontière, afin de simuler une propagation des ondes à l’infini. Cette approche est parfaitement adaptée pour les modèles 1D car les ondes ne se propagent que vers les deux directions. En 2D ou 3D, les ondes peuvent se propager dans toutes les directions. Les conditions aux limites ne sont donc plus adaptées car elles ne seraient applicables qu’à un certain nombre d’angles d’ondes incidentes. Cette approche n’est donc valable que pour un modèle de type poutre.

été trouvé dans la littérature. Cela est en particulier dû à la nature dispersive du modèle. Ce- pendant, l’étude de certains phénomènes de réflexion/transmission des ondes a été réalisé par B. Mace [33], pour le modèle d’Euler-Bernoulli, puis par C. Mei et B. Mace [35], pour le modèle de Timoshenko. Plus particulièrement, ces phénomènes sont analysés en présence d’un support ponctuel, d’un changement de section le long de la poutre ainsi que sur différentes extrémités. Récemment, J. Svensson et al. ont proposé deux méthodes pour étudier et contrôler les propriétés de réflexion/transmission dans les poutres d’Euler-Bernoulli [52,53]. La première [52] s’appuie sur les travaux de B. Mace [33] pour calculer les matrices de réflexion et de transmission des ondes entre 2 poutres jointes, de propriétés de section et de matériau différentes. Ainsi, il est possible de calculer les expressions d’un vecteur additionnel, contenant un moment et une force extérieurs, dépendant des propriétés des deux poutres. Ce vecteur additionnel permet d’adapter les matrices de réflexion et de transmission de façon à obtenir l’échange d’énergie souhaité à la jonction. Par exemple, il est possible d’adapter le vecteur additionnel tel que la matrice de réflexion soit nulle, traduisant une transmission totale de l’énergie et donc, la simulation de la propagation à l’infini. Cette méthode est similaire aux techniques de contrôle actif et peut être facilement adaptée aux cas de conditions aux limites idéales pour les poutres d’Euler-Bernoulli (cf Annexe C). Pour la seconde méthode [53], les matrices de réflexion et de transmission, à la jonction entre deux poutres (ou aux extrémités d’une seule) sont déterminées en fonction des matrices d’impédance de la poutre pour des ondes se propageant dans les deux directions, ainsi que de la matrice d’impédance de jonction (ou de frontière). De la même manière que dans [52], il est possible d’insérer une matrice d’impédance de jonction (ou de frontière) additionnelle, qui permet de contrôler les propriétés de réflexion/transmission. Dans le cas de conditions aux limites idéales, cette méthode s’applique plus facilement aux conditions aux limites libres (matrice d’impédance de frontière nulle) que dans les autres cas. Par exemple, si la poutre est simplement supportée, l’un des coefficients de la matrice d’impédance de frontière sera infini.

Les techniques proposées par J. Svensson et al. [52,53] s’avèrent très avantageuses pour le dévelop- pement de conditions aux limites absorbantes. Les travaux Mei [35] peuvent aussi être utilisés pour étendre les techniques de J. Svensson et al. aux poutres de Timoshenko. Si l’option du développe- ment d’un modèle de poutre avec des conditions aux limites absorbantes est choisie, la technique basée sur les impédances du modèle semble être la plus adaptée, en utilisant des conditions aux limites libres comme configuration initiale. En effet, dans le cas de l’approche contrôle actif, les conditions aux limites idéales entrainent nécessairement que certains paramètres soient infinis [52].

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Conclusions

Ce chapitre résume de la façon la plus exhaustive possible l’état de l’art de la modélisation de l’interaction roue/rail, dans le contexte du bruit de roulement et du bruit d’impact ferroviaire. Les premières hypothèses de modélisation peuvent maintenant être posées. Il est important de rappeler que le problème du rayonnement et de la propagation acoustique du bruit au passage

n’est pas étudié dans ces travaux.

Avant de décrire ces hypothèses, la question du nombre de roues et de rails à considérer dans la modélisation de l’interaction véhicule/voie doit être réglée. L’étude de l’interaction roue/rail présentée tout au long de ce chapitre ne considère qu’une seule roue se déplaçant sur un seul rail. En situation de roulement, cependant, plusieurs roues se déplacent simultanément sur les 2 rails de la voie. Il est démontré que pour la gamme de fréquence considérée (entre 100 et 5000 ou 8000 Hz), les différentes roues peuvent être considérées comme des sources incohérentes et leur contribution acoustique peut être sommée dans le domaine fréquentiel [65]. Néanmoins, l’influence de plusieurs roues peut être importante dans l’étude de vibration dans les sols au passage d’un train. La présence de plusieurs roues simultanément sur le rail peut aussi influencer le compor- tement dynamique de ce dernier. Il se trouve que ce phénomène est important lors de l’étude de l’évolution de la rugosité mais a une influence négligeable sur le bruit de roulement [65]. Dans la suite, l’interaction d’une seule roue sur un seul rail sera considéré.

La vitesse du train est supposée constante. Le véhicule est représenté par une charge statique verticale au-dessus de la roue. L’accent est mis sur le développement d’un modèle de voie, dans le domaine temporel, qui soit efficace d’un point de vue du temps de calcul et des capacités informatiques nécessaires. Dans ces conditions, la roue est représentée par un système masse- ressort-amortisseur (cf paragraphes 2.1.2 et 3.1).

Devant les conclusions obtenues avec les différents modèles de contact roue/rail, ce dernier sera représenté à partir de la théorie de Hertz. L’approche temporelle permet de prendre en compte le caractère non-linéaire des relations et de gérer les éventuelles pertes de contact. De plus, la rugosité spatiale mesurée sur la roue et le rail peut être considérée dans le calcul de la force d’interaction, à chaque instant t. Néanmoins, une nouvelle formulation des données d’entrée, adaptée à cette approche temporelle, est requise. La formulation des données d’entrée, le modèle d’excitation et le modèle de roue sont détaillés au chapitre 3.

De plus, seul le cas d’une voie en ligne droite est considéré. Plusieurs hypothèses peuvent être déduites de ce choix :

– La position latérale du contact roue/rail est supposée stable pendant le déplacement de la roue sur le rail. Cela implique que le moment d’excitation a une influence négligeable (cf paragraphe 3.3.3).

– Les forces d’interaction tangentes sont ignorées ; ces dernières, dans la direction longitudinale, n’étant pas significatives pour la simulation du bruit de roulement [65] (cf paragraphe 3.3.2). Le support du rail, c’est à dire la distribution des systèmes ballast-traverse-semelle/attaches sous ce dernier, sera modélisée comme une couche périodique de systèmes masse-ressorts-amortisseurs (cf paragraphes 2.2.2 et 3.2.2).

formations de section sont importantes. Si c’est le cas, un modèle numérique de type éléments finis s’avère nécessaire (cf paragraphes 2.2.2 et 3.2) mais peut demander des capacités informatiques conséquentes. Dans le cas contraire, le développement d’un modèle de voie innovant, pouvant être facilement adapté à tous types de géométrie de voie en ligne droite, peut être possible en utilisant la technique des conditions aux limites absorbantes et la méthode des différences finies.

Dans le chapitre suivant, la campagne de mesures, spécialement dédiée à ces travaux de thèse, est présentée. Le cahier des charges de cet essai a été rédigé de façon à répondre à deux objectifs. D’une part, elle doit pouvoir à la fois alimenter le modèle temporel, avec des données de rugosité et d’autre part, permettre d’explorer les performances de ce modèle, avec des données d’accélé- ration mesurées sur la voie. Le second objectif est d’évaluer la faisabilité d’un outil de détection de défauts de roue, à partir de mesures en bords de voie. Les mesures déjà citées sont aussi utiles pour atteindre cet objectif mais des mesures acoustiques, à différentes distances des sources, sont nécessaires pour évaluer l’influence des défauts de roue sur le niveau de bruit au passage. Plusieurs roues avec des défauts identifiés doivent être utilisées.

Enfin, la caractérisation acoustique et vibratoire du passage d’un train sur un joint de rail est détaillée dans l’annexe A. L’objectif est de vérifier à la fois les hypothèses et les résultats de modélisation obtenus dans le passé (cf paragraphes 2.4 et 3.3.4).

Caractérisation acoustique et

vibratoire de l’interaction roue/rail

Sommaire

1 Dispositif expérimental. . . 45

1.1 Description du site de l’essai. . . 45